Tensión y deformación axial
- Tensión normal
- σ = F/A
- Deformación
- ε = ΔL/L
- Ley de Hooke
- σ = E·ε
- Alargamiento
- ΔL = FL/(EA)
- Deformación térmica
- εT = α·ΔT
Resistencia de materiales: pack de repaso
Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 14 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.
1Fórmulas y métodos
Torsión de ejes
- Tensión cortante
- τ = T·r/J
- Eje macizo
- J = πd⁴/32
- Eje hueco
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- Ángulo de torsión
- φ = TL/(GJ)
- Potencia
- P = T·ω = 2πnT/60
Método
- Halla el momento polar de inercia: J = πd⁴/32 para un eje macizo.
- Tensión tangencial en la superficie: τ = T·r/J, con r el radio exterior.
- Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ) en radianes.
- Si te dan la potencia, halla primero el par con P = T·ω, ω = 2πn/60.
Cortante y momento flector
- Cortante y momento
- V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
- Tensión de flexión
- σ = M·y/I
- Rectángulo
- I = bh³/12
- Módulo resistente
- W = I/ymax
- Viga biapoyada, carga uniforme
- Mmax = wL²/8
Método
- Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
- Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
- Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
- Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.
Centroide y momento de inercia
- Centroide
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- Rectángulo
- I = bh³/12
- Teorema de Steiner
- I = Ic + A·d²
- Sección compuesta
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
Círculo de Mohr y transformación de tensiones
- Centro
- C = (σx + σy)/2
- Radio
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- Tensiones principales
- σ1,2 = C ± R
- Dirección principal
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- Plano inclinado
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
Método
- Calcula el centro del círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
- Calcula el radio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- Las tensiones principales son C ± R y la tensión tangencial máxima en el plano es R.
- Los ángulos en el círculo son el doble que los ángulos en el elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
Flecha de la viga
- Carga puntual en el centro del vano
- δ = PL³/(48EI)
- Carga uniforme, viga biapoyada
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- Voladizo, carga en el extremo
- δ = PL³/(3EI)
- Voladizo, carga uniforme
- δ = wL⁴/(8EI)
- Superposición
- δ = δ1 + δ2
Pandeo de pilares
- Carga crítica de Euler
- Pcr = π²EI/(KL)²
- Factor de longitud de pandeo
- K = 1 articulado–articulado, 0,5 empotrado–empotrado, 0,7 empotrado–articulado, 2 empotrado–libre
- Tensión crítica
- σcr = Pcr/A
- Esbeltez
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2Problemas de práctica
1.Tensión y deformación axialMedia
Una barra está formada por un tramo de acero (diámetro 40 mm, longitud 500 mm, E = 200 GPa) unido extremo con extremo a un tramo de cobre (diámetro 30 mm, longitud 300 mm, E = 120 GPa). Está empotrada en un extremo y se tira del otro. Halla la carga axial P que la alarga 0,2 mm en total.
tramo 1: acero, Ø40 mm, 500 mm, E = 200 GPatramo 2: cobre, Ø30 mm, 300 mm, E = 120 GPaδ = 0,2 mm
P = kN
2.Tensión y deformación axialDifícil
La barra escalonada está empotrada en la pared y cargada en su extremo libre. Halla el alargamiento total δ.
P = 95 kNtramo 1: Ø30 mm, 0,5 m, acero (E = 200 GPa)tramo 2: Ø12 mm, 2 m, aluminio (E = 70 GPa)
δ = mm
3.Torsión de ejesMedia
Un eje hueco debe transmitir un par de 200 N·m. Su diámetro interior debe ser 0,5 veces su diámetro exterior, y la tensión cortante no debe superar 75 MPa. Halla el diámetro exterior mínimo do.
T = 200 N·mdi/do = 0,5τallow = 75 MPa
do = mm
4.Torsión de ejesDifícil
Un eje hueco debe transmitir 15 kW a 1000 rpm. Su diámetro interior debe ser 0,5 veces su diámetro exterior, y la tensión cortante no debe superar 60 MPa. Halla el diámetro exterior mínimo do.
P = 15 kWN = 1000 rpmdi/do = 0,5τallow = 60 MPa
do = mm
5.Cortante y momento flectorMedia
La viga simplemente apoyada soporta dos cargas puntuales. Halla el momento flector máximo Mmax en la viga.
L = 8 mP1 = 20 kN en 4 mP2 = 80 kN en 5 m
Mmax = kN·m
6.Cortante y momento flectorDifícil
Halla el momento flector Mx en la sección x = 3,5 m desde el apoyo A. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.
L = 4 mP = 50 kN en 2 mw = 5 kN/m de 0 a 4 mx = 3,5 m
Mx = kN·m
7.Centroide y momento de inerciaMedia
Una sección en U está colocada con el lado abierto hacia arriba: una placa de base de 280 mm de ancho con dos alas verticales de 100 mm de altura total. La base y las alas tienen todas 8 mm de espesor. Halla la altura ȳ del centroide sobre el borde inferior.
b = 280 mmh = 100 mmt = 8 mm
ȳ = mm
8.Centroide y momento de inerciaDifícil
La sección en T se usa como viga con el ala arriba y soporta un momento flector positivo de 5 kN·m. Halla la tensión de flexión σinferior en el borde inferior.
bf = 240 mmtf = 20 mmtw = 14 mmhw = 240 mmM = 5 kN·m
σinferior = MPa
9.Círculo de Mohr y transformación de tensionesMedia
Un punto de una pieza cargada tiene σₓ = 70 MPa, σᵧ = −50 MPa y τₓᵧ = 30 MPa (tracción positiva). Halla la tensión cortante máxima en el plano τmax.
σx = 70 MPaσy = −50 MPaτxy = 30 MPa
τmax = MPa
10.Círculo de Mohr y transformación de tensionesDifícil
Un punto de una pieza cargada tiene σₓ = 80 MPa, σᵧ = −50 MPa y τₓᵧ = 30 MPa (tracción positiva). Halla la tensión cortante τθ en un plano cuya normal está girada 20° en sentido horario respecto al eje x (positiva en el mismo sentido que τₓᵧ).
σx = 80 MPaσy = −50 MPaτxy = 30 MPaθ = -20°
τθ = MPa
11.Flecha de la vigaMedia
Un voladizo de longitud L está empotrado en A y soporta una carga puntual P a una distancia a = 1,5 m de A. Halla la flecha δP bajo la carga.
P = 10 kNa = 1,5 mL = 4 mE = 70 GPa (aluminio)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
12.Flecha de la vigaDifícil
Una viga de madera simplemente apoyada, de sección rectangular de 125 mm de ancho, soporta una carga uniformemente repartida w en toda su luz. Su flecha en el centro no puede superar luz/300. Halla el canto mínimo hreq de la sección.
w = 4 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (madera estructural)b = 125 mm
hreq = mm
13.Pandeo de pilaresMedia
Un pilar de longitud L de aluminio está empotrado en ambos extremos. Con la fórmula de Euler, halla su carga crítica de pandeo Pcr.
L = 3 mE = 70 GPa (aluminio)d = 20 mm
Pcr = kN
14.Pandeo de pilaresDifícil
Un pilar macizo circular de longitud L de acero está empotrado en la base y articulado arriba. Debe soportar 50 kN con un coeficiente de seguridad de 2,5 frente al pandeo. Halla el diámetro mínimo d.
P = 50 kNn = 2,5L = 6 mE = 200 GPa (acero)
d = mm
3Disoluciones
1.Tensión y deformación axial
Respuesta: P = 36,19 kN
Dos materiales: en serie (uno tras otro) cada tramo soporta la misma fuerza y los alargamientos se suman: δ = P·Σ L/(E·A). En paralelo (lado a lado entre placas rígidas) ambas partes se acortan lo mismo, así que sus deformaciones unitarias son iguales: la parte más rígida toma la mayor porción, Pi = P·EiAi/ΣEA, y σi = Ei·ε. Una barra sujeta entre dos muros rígidos con una carga en la unión es estáticamente indeterminada: los dos tramos se reparten la carga en proporción a su rigidez k = EA/L.
Áreas
A₁ = 1257 mm², A₂ = 706,9 mm²
Flexibilidades
L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·1257) = 1,989 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 300/(120000·706,9) = 3,537 × 10⁻⁶ mm/N
Carga
P = 0,2/5,526 × 10⁻⁶ = 36191 N = 36,19 kN
Respuesta
P = 36,19 kN
2.Tensión y deformación axial
Respuesta: δ = 24,34 mm
Elementos con carga axial: cada tramo prismático cumple δ = PL/(AE). En tramos en serie los alargamientos se suman.
La misma fuerza en ambos tramos
El extremo libre soporta P, así que cada sección de la barra soporta el mismo esfuerzo axial P. Solo cambian las áreas y los materiales.
A1 = π·30²/4 = 706,9 mm², A2 = π·12²/4 = 113,1 mm²
σ1 = 134,4 MPa
σ2 = 840 MPa
Suma los alargamientos de los tramos
δ1 = σ1L1/E1 = 134,4·500/200000 = 0,336 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 840·2000/70000 = 24 mm
δ = δ1 + δ2 = 24,34 mm
Respuesta
δ = 24,34 mm
3.Torsión de ejes
Respuesta: do = 24,38 mm
Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τmax = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(do⁴ − di⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω.
Diámetro exterior a partir de la tensión admisible
T = 200 N·m = 200000 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0,5⁴ = 0,9375
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·200000/(π·75·0,9375)) = 24,38 mm
di = 0,5·24,38 = 12,19 mm
Respuesta
do = 24,38 mm
Un eje macizo necesitaría d = 23,86 mm; el hueco es algo mayor pero mucho más ligero.
4.Torsión de ejes
Respuesta: do = 23,49 mm
Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τmax = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(do⁴ − di⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω.
Par
ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s
T = P/ω = 15000/104,7 = 143,2 N·m
Diámetro exterior a partir de la tensión admisible
T = 143,2 N·m = 143239 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0,5⁴ = 0,9375
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·143239/(π·60·0,9375)) = 23,49 mm
di = 0,5·23,49 = 11,75 mm
Respuesta
do = 23,49 mm
Un eje macizo necesitaría d = 22,99 mm; el hueco es algo mayor pero mucho más ligero.
5.Cortante y momento flector
Respuesta: Mmax = 180 kN·m
Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte. Momento máximo: como dM/dx = V, el momento flector alcanza su máximo donde el cortante pasa por cero, ya sea en una carga puntual o dentro de una carga repartida.
Reacciones en los apoyos
Equilibrio de toda la viga.
ΣMA = 0: RB·8 = 20·4 + 80·5
RB = 480/8 = 60 kN
ΣFy = 0: RA = 100 − 60 = 40 kN
Momento bajo cada carga
Quédate con la parte a la izquierda de cada carga.
bajo P1: M = RA·4 = 40·4 = 160 kN·m
bajo P2: M = RB·3 = 60·3 = 180 kN·m
Valor máximo
Mmax = 180 kN·m (bajo P2)
Respuesta
Mmax = 180 kN·m
6.Cortante y momento flector
Respuesta: Mx = 16,88 kN·m
Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte.
Reacciones en los apoyos
Equilibrio de toda la viga.
Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 5·4 = 20 kN, aplicada en x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 50·2 + 5·4·2
RB = 140/4 = 35 kN
ΣFy = 0: RA = 70 − 35 = 35 kN
Corta en x = 3,5 m y quédate con la parte izquierda
Solo aparecen las fuerzas a la izquierda del corte. Un tramo de carga repartida actúa como una fuerza en el centro de ese tramo.
M = RA·x − (cada carga a la izquierda del corte × su distancia al corte)
Mx = 35·3,5 − 50·(3,5 − 2) − 5·3,5·1,75 = 16,88 kN·m
Respuesta
Mx = 16,88 kN·m
7.Centroide y momento de inercia
Respuesta: ȳ = 23,83 mm
Áreas compuestas: divide la sección en rectángulos. El centroide es la media ponderada por áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. El momento de inercia respecto al eje que pasa por el centroide suma el bh³/12 propio de cada parte y su término de Steiner A·d², donde d es la distancia del centroide de la parte al centroide global. La tensión de flexión es σ = M·y/I.
Divide en rectángulos
Toma la base con su ancho completo y las dos alas encima de ella (altura h − t), para no contar nada dos veces.
base: A1 = 280·8 = 2240 mm², y1 = 4 mm
dos alas: A2 = 2·8·92 = 1472 mm², y2 = 8 + 92/2 = 54 mm
Centroide
ȳ = (2240·4 + 1472·54)/3712 = 23,83 mm
Respuesta
ȳ = 23,83 mm
8.Centroide y momento de inercia
Respuesta: σinferior = 19,77 MPa
Áreas compuestas: divide la sección en rectángulos. El centroide es la media ponderada por áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. El momento de inercia respecto al eje que pasa por el centroide suma el bh³/12 propio de cada parte y su término de Steiner A·d², donde d es la distancia del centroide de la parte al centroide global. La tensión de flexión es σ = M·y/I.
Divide en dos rectángulos
Mide cada y desde el borde inferior.
ala: Af = 240·20 = 4800 mm², yf = 240 + 20/2 = 250 mm
alma: Aw = 14·240 = 3360 mm², yw = 240/2 = 120 mm
Centroide
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (4800·250 + 3360·120)/8160 = 196,5 mm
Teorema de Steiner
ala: 240·20³/12 + 4800·(250 − 196,5)² = 1,391 × 10⁷ mm⁴
alma: 14·240³/12 + 3360·(120 − 196,5)² = 3,578 × 10⁷ mm⁴
Ix = 1,391 × 10⁷ + 3,578 × 10⁷ = 4,969 × 10⁷ mm⁴
Tensión de flexión
El borde inferior está a ȳ del eje.
y = 196,5 mm
σ = M·y/I = 5 × 10⁶·196,5/4,969 × 10⁷ = 19,77 MPa
Respuesta
σinferior = 19,77 MPa
9.Círculo de Mohr y transformación de tensiones
Respuesta: τmax = 67,08 MPa
Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R.
Radio del círculo de Mohr
τmax = R = √(((70 − −50)/2)² + 30²) = 67,08 MPa
Respuesta
τmax = 67,08 MPa
10.Círculo de Mohr y transformación de tensiones
Respuesta: τθ = 64,76 MPa
Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R.
Ecuación de transformación
τθ = −65·−0,6428 + 30·0,766 = 64,76 MPa
Respuesta
τθ = 64,76 MPa
11.Flecha de la viga
Respuesta: δP = 1,913 mm
Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).
Unidades coherentes
Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.
P = 10000 N, a = 1500 mm, L = 4000 mm
EI = 5,88 × 10¹² N·mm²
Flecha bajo la carga
δP = Pa³/(3EI) = 10000·1500³/(3·5,88 × 10¹²) = 1,913 mm
Respuesta
δP = 1,913 mm
12.Flecha de la viga
Respuesta: hreq = 154,4 mm
Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).
Unidades coherentes
Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.
w = 4 N/mm, L = 3000 mm, E = 11000 N/mm²
Límite de flecha
δallow = L/300 = 3000/300 = 10 mm
Momento de inercia necesario
Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·4·3000⁴/(384·11000·10) = 3,835 × 10⁷ mm⁴
Canto necesario
bh³/12 = Ireq → h = (12·3,835 × 10⁷/125)1/3 = 154,4 mm
Respuesta
hreq = 154,4 mm
En la práctica, elige el canto normalizado inmediatamente superior a este valor.
13.Pandeo de pilares
Respuesta: Pcr = 2,412 kN
Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en Pcr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.
Menor momento de inercia
Una sección circular tiene el mismo I respecto a cualquier eje.
I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴
Longitud de pandeo
KL = 0,5·3000 = 1500 mm
Carga crítica
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·7854/1500² = 2412 N = 2,412 kN
Respuesta
Pcr = 2,412 kN
14.Pandeo de pilares
Respuesta: d = 69,07 mm
Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en Pcr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.
Carga crítica necesaria
Pcr = n·P = 2,5·50000 = 125000 N
KL = 0,7·6000 = 4200 mm
Despeja el diámetro
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·125000·4200²/(π³·200000))^(1/4) = 69,07 mm
Respuesta
d = 69,07 mm
Comprobación: la esbeltez KL/r es 243,2, así que el pilar es esbelto y Euler es válido.
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