Resistencia de materiales: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 14 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Tensión y deformación axial

Tensión normal: σ = F/A
Deformación: ε = ΔL/L
Ley de Hooke: σ = E·ε
Alargamiento: ΔL = FL/(EA)
Deformación térmica: ε_T = α·ΔT

Torsión de ejes

Tensión cortante: τ = T·r/J
Eje macizo: J = πd⁴/32
Eje hueco: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ)
Potencia: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Halla el momento polar de inercia: J = πd⁴/32 para un eje macizo.
Tensión tangencial en la superficie: τ = T·r/J, con r el radio exterior.
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ) en radianes.
Si te dan la potencia, halla primero el par con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cortante y momento flector

Cortante y momento: V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
Tensión de flexión: σ = M·y/I
Rectángulo: I = bh³/12
Módulo resistente: W = I/y_max
Viga biapoyada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.

Centroide y momento de inercia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectángulo: I = bh³/12
Teorema de Steiner: I = I_c + A·d²
Sección compuesta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Radio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensiones principales: σ_1,2 = C ± R
Dirección principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcula el centro del círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcula el radio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Las tensiones principales son C ± R y la tensión tangencial máxima en el plano es R.
Los ángulos en el círculo son el doble que los ángulos en el elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flecha de la viga

Carga puntual en el centro del vano: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoyada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Voladizo, carga en el extremo: δ = PL³/(3EI)
Voladizo, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposición: δ = δ₁ + δ₂

Pandeo de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Factor de longitud de pandeo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 empotrado–empotrado, 0,7 empotrado–articulado, 2 empotrado–libre
Tensión crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Problemas de práctica

1.Tensión y deformación axialMedia

Una varilla de acero (diámetro 40 mm, E = 200 GPa) está dentro de un tubo de aluminio (diámetro exterior 100 mm, diámetro interior 60 mm, E = 70 GPa). Ambos miden 600 mm de largo y se comprimen juntos entre placas rígidas con 200 kN. Halla el acortamiento δ.

P = 200 kNbarra: Ø40 mm, E = 200 GPatubo: Ø100/Ø60 mm, E = 70 GPaL = 600 mm

δ = mm

2.Tensión y deformación axialDifícil

Una varilla de acero (diámetro 40 mm, E = 200 GPa, tensión admisible 200 MPa) está dentro de un tubo de cobre (diámetro exterior 100 mm, diámetro interior 60 mm, E = 120 GPa, tensión admisible 50 MPa). Se comprimen juntos entre placas rígidas. Halla la mayor carga P_max.

barra: Ø40 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 200 MPatubo: Ø100/Ø60 mm, E = 120 GPa, σ_allow = 50 MPa

P_max = kN

3.Torsión de ejesMedia

Un eje macizo de acero está empotrado en la pared y se tuerce con un par T en su extremo libre. Halla el ángulo de torsión φ del extremo libre, en grados.

T = 400 N·md = 25 mmL = 1 mG = 80 GPa

φ = °

4.Torsión de ejesDifícil

Un eje hueco transmite 100 kW a 3000 rpm. Halla la tensión cortante máxima τ_max en el eje.

P = 100 kWN = 3000 rpmd_o = 50 mmd_i = 30 mm

τ_max = MPa

5.Cortante y momento flectorMedia

El voladizo está empotrado en A. Soporta una carga uniformemente repartida w en toda su longitud y una carga puntual P a 2 m de A. Halla el momento flector M_x en la sección x = 1 m desde el empotramiento A. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.

L = 5 mP = 45 kN en 2 mw = 3 kN/m de 0 a 5 mx = 1 m

M_x = kN·m

6.Cortante y momento flectorDifícil

Halla el momento flector M_x en la sección x = 6 m desde el apoyo A. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.

L = 8 mP = 20 kN en 7 mw = 2 kN/m de 0 a 8 mx = 6 m

M_x = kN·m

7.Centroide y momento de inerciaMedia

Una placa de 100 mm × 200 mm tiene un agujero circular de diámetro 50 mm en su línea central vertical, con su centro a 120 mm por encima del fondo. Halla el momento de inercia I_x respecto al eje horizontal que pasa por el centroide.

b = 100 mmh = 200 mmd = 50 mmcentro del agujero: y = 120 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centroide y momento de inerciaDifícil

La sección en T se usa como viga con el ala arriba y soporta un momento flector positivo de 30 kN·m. Halla el valor de la tensión de flexión σ_superior en el borde superior.

b_f = 100 mmt_f = 20 mmt_w = 18 mmh_w = 260 mmM = 30 kN·m

σ_superior = MPa

9.Círculo de Mohr y transformación de tensionesMedia

En un punto σₓ = 60 MPa, σᵧ = 80 MPa y τₓᵧ = 40 MPa (tracción positiva). El elemento se gira 25° en sentido antihorario. Halla la tensión normal σ_y′ en las caras del elemento girado perpendiculares al eje girado y′.

σ_x = 60 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = 40 MPaθ = 25°

σ_y′ = MPa

10.Círculo de Mohr y transformación de tensionesDifícil

Un punto de una pieza cargada tiene σₓ = 40 MPa, σᵧ = 100 MPa y τₓᵧ = −40 MPa (tracción positiva). Halla la tensión cortante τ_θ en un plano cuya normal está girada 35° en sentido antihorario respecto al eje x (positiva en el mismo sentido que τₓᵧ).

σ_x = 40 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = −40 MPaθ = 35°

τ_θ = MPa

11.Flecha de la vigaMedia

Una viga simplemente apoyada soporta una carga puntual P a a = 5 m del apoyo A. Halla la flecha δ_P bajo la carga.

P = 25 kNa = 5 mL = 8 mE = 200 GPa (acero)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Flecha de la vigaDifícil

Una viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida w. Su flecha no puede superar luz/360. Halla el momento de inercia mínimo I_req que cumple este límite.

w = 6 kN/mL = 6 mE = 11 GPa (madera estructural)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Pandeo de pilaresMedia

Un pilar de longitud L de acero está empotrado en ambos extremos. Con la fórmula de Euler, halla su carga crítica de pandeo P_cr.

L = 3 mE = 200 GPa (acero)d = 60 mm

P_cr = kN

14.Pandeo de pilaresDifícil

Un pilar macizo circular de longitud L de aluminio está empotrado en ambos extremos. Debe soportar 20 kN con un coeficiente de seguridad de 2,5 frente al pandeo. Halla el diámetro mínimo d.

P = 20 kNn = 2,5L = 4 mE = 70 GPa (aluminio)

d = mm

3Disoluciones

1.Tensión y deformación axial

Respuesta: δ = 0,1989 mm

Dos materiales: en serie (uno tras otro) cada tramo soporta la misma fuerza y los alargamientos se suman: δ = P·Σ L/(E·A). En paralelo (lado a lado entre placas rígidas) ambas partes se acortan lo mismo, así que sus deformaciones unitarias son iguales: la parte más rígida toma la mayor porción, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, y σ_i = E_i·ε. Una barra sujeta entre dos muros rígidos con una carga en la unión es estáticamente indeterminada: los dos tramos se reparten la carga en proporción a su rigidez k = EA/L.

Áreas

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²

Rigidez axial combinada

ΣEA = 200·10³·1257 + 70·10³·5027 = 6,032 × 10⁸ N

Acortamiento

δ = 200000·600/6,032 × 10⁸ = 0,1989 mm

Respuesta

δ = 0,1989 mm

2.Tensión y deformación axial

Respuesta: P_max = 356 kN

Áreas

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²

Rigidez axial combinada

ΣEA = 200·10³·1257 + 120·10³·5027 = 8,545 × 10⁸ N

Deformación determinante

ε = min(0,001, 0,0004167) = 0,0004167 (cobre)

Mayor carga

P_max = 0,0004167·8,545 × 10⁸ = 356047 N = 356 kN

Respuesta

P_max = 356 kN

3.Torsión de ejes

Respuesta: φ = 7,47 °

Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τ_max = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω.

Momento polar de inercia

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Ángulo de torsión

φ = TL/(GJ) = 400·1000·1000/(80000·38350) = 0,1304 rad

φ = 0,1304·180/π = 7,47°

Respuesta

φ = 7,47°

4.Torsión de ejes

Respuesta: τ_max = 14,9 MPa

Par

ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314,2 rad/s

T = P/ω = 100000/314,2 = 318,3 N·m

Momento polar de inercia

J = π(50⁴ − 30⁴)/32 = 534071 mm⁴

Tensión cortante máxima

τ_max = T·(d_o/2)/J = 318310·25/534071 = 14,9 MPa

Respuesta

τ_max = 14,9 MPa

5.Cortante y momento flector

Respuesta: M_x = −69 kN·m

Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte.

Quédate con la parte del extremo libre

P: −45·1 = −45 kN·m

w: −3·4²/2 = −24 kN·m

M_x = −45 − 24 = −69 kN·m

Respuesta

M_x = −69 kN·m

Negativo significa tracción en la cara superior.

6.Cortante y momento flector

Respuesta: M_x = 27 kN·m

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la viga.

Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 2·8 = 16 kN, aplicada en x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 20·7 + 2·8·4

R_B = 204/8 = 25,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 36 − 25,5 = 10,5 kN

Corta en x = 6 m y quédate con la parte izquierda

Solo aparecen las fuerzas a la izquierda del corte. Un tramo de carga repartida actúa como una fuerza en el centro de ese tramo.

M = R_A·x − (cada carga a la izquierda del corte × su distancia al corte)

M_x = 10,5·6 − 2·6·3 = 27 kN·m

Respuesta

M_x = 27 kN·m

7.Centroide y momento de inercia

Respuesta: I_x = 65,49 × 10⁶ mm⁴

Secciones con huecos: trata un hueco como un área negativa. El centroide es ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), con A₁, y₁ para la placa completa y A₂, y₂ para el hueco. Para el momento de inercia (segundo momento de área) respecto al eje centroidal, usa el teorema de los ejes paralelos para cada parte y resta el hueco: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), donde d es la distancia del centroide propio de cada parte al eje que pasa por ȳ. Un rectángulo tiene I_c = bh³/12 y un círculo I_c = πd⁴/64.

Centroide

ȳ = (20000·100 − 1963·120)/(20000 − 1963) = 97,82 mm

Placa completa respecto a ȳ

100·200³/12 + 20000·2,177² = 66,76 × 10⁶ mm⁴

Agujero respecto a ȳ

π·50⁴/64 + 1963·22,18² = 1,273 × 10⁶ mm⁴

Resta

I_x = 65,49 × 10⁶ mm⁴

Respuesta

I_x = 65,49 × 10⁶ mm⁴

8.Centroide y momento de inercia

Respuesta: σ_superior = 60,16 MPa

Áreas compuestas: divide la sección en rectángulos. El centroide es la media ponderada por áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. El momento de inercia respecto al eje que pasa por el centroide suma el bh³/12 propio de cada parte y su término de Steiner A·d², donde d es la distancia del centroide de la parte al centroide global. La tensión de flexión es σ = M·y/I.

Divide en dos rectángulos

Mide cada y desde el borde inferior.

ala: A_f = 100·20 = 2000 mm², y_f = 260 + 20/2 = 270 mm

alma: A_w = 18·260 = 4680 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2000·270 + 4680·130)/6680 = 171,9 mm

Teorema de Steiner

ala: 100·20³/12 + 2000·(270 − 171,9)² = 1,931 × 10⁷ mm⁴

alma: 18·260³/12 + 4680·(130 − 171,9)² = 3,459 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,931 × 10⁷ + 3,459 × 10⁷ = 5,389 × 10⁷ mm⁴

Tensión de flexión

El borde superior está a h − ȳ del eje.

y = 280 − 171,9 = 108,1 mm

σ = M·y/I = 3 × 10⁷·108,1/5,389 × 10⁷ = 60,16 MPa

Respuesta

σ_superior = 60,16 MPa

9.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: σ_y′ = 45,79 MPa

Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R.

Ecuación de transformación para la cara y′

σ_y′ = 70 − (−10)·0,6428 − 40·0,766 = 45,79 MPa

Comprobación

La suma de las tensiones normales no cambia con el giro.

σ_x′ = 94,21 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 140 = σ_x + σ_y

Respuesta

σ_y′ = 45,79 MPa

10.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: τ_θ = 14,51 MPa

Ecuación de transformación

τ_θ = −−30·0,9397 + −40·0,342 = 14,51 MPa

Respuesta

τ_θ = 14,51 MPa

11.Flecha de la viga

Respuesta: δ_P = 13,95 mm

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 25000 N, a = 5000 mm, b = 3000 mm, L = 8000 mm

EI = 1,68 × 10¹³ N·mm²

Flecha bajo la carga

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 25000·5000²·3000²/(3·1,68 × 10¹³·8000) = 13,95 mm

Respuesta

δ_P = 13,95 mm

12.Flecha de la viga

Respuesta: I_req = 552,3 × 10⁶ mm⁴

Límite de flecha

δ_allow = L/360 = 6000/360 = 16,67 mm

Momento de inercia necesario

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·6·6000⁴/(384·11000·16,67) = 5,523 × 10⁸ mm⁴

I_req = 552,3 × 10⁶ mm⁴

Respuesta

I_req = 552,3 × 10⁶ mm⁴

13.Pandeo de pilares

Respuesta: P_cr = 558,1 kN

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en P_cr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Menor momento de inercia

Una sección circular tiene el mismo I respecto a cualquier eje.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Longitud de pandeo

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/1500² = 558113 N = 558,1 kN

Respuesta

P_cr = 558,1 kN

14.Pandeo de pilares

Respuesta: d = 49,28 mm

Carga crítica necesaria

P_cr = n·P = 2,5·20000 = 50000 N

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

Despeja el diámetro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·50000·2000²/(π³·70000))^(1/4) = 49,28 mm

Respuesta

d = 49,28 mm

Comprobación: la esbeltez KL/r es 162,3, así que el pilar es esbelto y Euler es válido.

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