Resistencia de materiales: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 14 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Tensión y deformación axial

Tensión normal: σ = F/A
Deformación: ε = ΔL/L
Ley de Hooke: σ = E·ε
Alargamiento: ΔL = FL/(EA)
Deformación térmica: ε_T = α·ΔT

Torsión de ejes

Tensión cortante: τ = T·r/J
Eje macizo: J = πd⁴/32
Eje hueco: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ)
Potencia: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Halla el momento polar de inercia: J = πd⁴/32 para un eje macizo.
Tensión tangencial en la superficie: τ = T·r/J, con r el radio exterior.
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ) en radianes.
Si te dan la potencia, halla primero el par con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cortante y momento flector

Cortante y momento: V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
Tensión de flexión: σ = M·y/I
Rectángulo: I = bh³/12
Módulo resistente: W = I/y_max
Viga biapoyada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.

Centroide y momento de inercia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectángulo: I = bh³/12
Teorema de Steiner: I = I_c + A·d²
Sección compuesta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Radio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensiones principales: σ_1,2 = C ± R
Dirección principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcula el centro del círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcula el radio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Las tensiones principales son C ± R y la tensión tangencial máxima en el plano es R.
Los ángulos en el círculo son el doble que los ángulos en el elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flecha de la viga

Carga puntual en el centro del vano: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoyada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Voladizo, carga en el extremo: δ = PL³/(3EI)
Voladizo, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposición: δ = δ₁ + δ₂

Pandeo de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Factor de longitud de pandeo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 empotrado–empotrado, 0,7 empotrado–articulado, 2 empotrado–libre
Tensión crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Problemas de práctica

1.Tensión y deformación axialMedia

Halla el alargamiento δ de la barra de aluminio bajo la carga axial.

P = 10 kNd = 25 mmL = 2,5 mE = 70 GPa

δ = mm

2.Tensión y deformación axialDifícil

La barra escalonada está empotrada en la pared y cargada en su extremo libre. Halla el alargamiento total δ.

P = 110 kNtramo 1: Ø40 mm, 1 m, acero (E = 200 GPa)tramo 2: Ø16 mm, 2 m, acero (E = 200 GPa)

δ = mm

3.Torsión de ejesMedia

Un eje macizo de aluminio está empotrado en la pared y se tuerce con un par T en su extremo libre. Halla el ángulo de torsión φ del extremo libre, en grados.

T = 400 N·md = 25 mmL = 1 mG = 26 GPa

φ = °

4.Torsión de ejesDifícil

Un eje macizo debe transmitir 20 kW a 1500 rpm sin que la tensión cortante supere 60 MPa. Halla el diámetro mínimo d que sirve.

P = 20 kWN = 1500 rpmτ_allow = 60 MPa

d = mm

5.Cortante y momento flectorMedia

Las marcas A a G dividen la viga en seis partes iguales. ¿En qué marca es mayor el momento flector en valor absoluto, positivo o negativo? Haz clic en ella en el diagrama.

25 kN @ 5 m25 kN @ 2 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Cortante y momento flectorDifícil

Las marcas A a G dividen la viga en seis partes iguales. ¿En qué marca es mayor el momento flector en valor absoluto, positivo o negativo? Haz clic en ella en el diagrama.

50 kN @ 12 m55 kN @ 2 m8 kN/m, 0–8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Centroide y momento de inerciaMedia

Una placa de 100 mm × 300 mm tiene un agujero circular de diámetro 60 mm en su línea central vertical, con su centro a 180 mm por encima del fondo. Halla el momento de inercia I_x respecto al eje horizontal que pasa por el centroide.

b = 100 mmh = 300 mmd = 60 mmcentro del agujero: y = 180 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centroide y momento de inerciaDifícil

La sección en T se usa como viga con el ala arriba y soporta un momento flector positivo de 20 kN·m. Halla el valor de la tensión de flexión σ_superior en el borde superior.

b_f = 200 mmt_f = 15 mmt_w = 20 mmh_w = 240 mmM = 20 kN·m

σ_superior = MPa

9.Círculo de Mohr y transformación de tensionesMedia

Un punto de una placa delgada está en tensión plana: σₓ = 30 MPa, σᵧ = 40 MPa y τₓᵧ = 60 MPa, con σ_z = 0. Halla la tensión cortante máxima absoluta τ_abs en el punto (considerando todos los planos en tres dimensiones).

σ_x = 30 MPaσ_y = 40 MPaτ_xy = 60 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

10.Círculo de Mohr y transformación de tensionesDifícil

Un depósito cilíndrico de pared delgada, con un diámetro interior de 1000 mm y un espesor de pared de 15 mm, contiene gas a una presión manométrica de 1 MPa. Está fabricado con chapa soldada a lo largo de una costura helicoidal a 30° del eje del cilindro. Halla la tensión normal σ_n que actúa perpendicularmente a la costura de soldadura.

D = 1000 mmt = 15 mmp = 1 MPaα = 30°

σ_n = MPa

11.Flecha de la vigaMedia

Una viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida w en toda su luz. Halla la flecha máxima δ_max, en el centro del vano.

w = 15 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (aluminio)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Flecha de la vigaDifícil

Una viga de madera simplemente apoyada, de sección rectangular de 125 mm de ancho, soporta una carga uniformemente repartida w en toda su luz. Su flecha en el centro no puede superar luz/360. Halla el canto mínimo h_req de la sección.

w = 1,5 kN/mL = 6 mE = 11 GPa (madera estructural)b = 125 mm

h_req = mm

13.Pandeo de pilaresMedia

Un pilar de longitud L de acero está articulado en ambos extremos. Con la fórmula de Euler, halla su carga crítica de pandeo P_cr.

L = 1 mE = 200 GPa (acero)d = 30 mm

P_cr = kN

14.Pandeo de pilaresDifícil

Un pilar macizo circular de longitud L de acero está empotrado en la base y libre arriba. Debe soportar 60 kN con un coeficiente de seguridad de 3 frente al pandeo. Halla el diámetro mínimo d.

P = 60 kNn = 3L = 2,5 mE = 200 GPa (acero)

d = mm

3Disoluciones

1.Tensión y deformación axial

Respuesta: δ = 0,7276 mm

Ley de Hooke: en el rango elástico σ = E·ε. Junto con σ = P/A y ε = δ/L se obtiene δ = PL/(AE).

Tensión

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 10·1000/490,9 = 20,37 MPa

Deformación (ley de Hooke)

E for aluminio = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 20,37/70000 = 0,000291 = 291 µε

Alargamiento

δ = ε·L = 0,000291·2500 mm = 0,7276 mm

Respuesta

δ = 0,7276 mm

2.Tensión y deformación axial

Respuesta: δ = 5,909 mm

Elementos con carga axial: cada tramo prismático cumple δ = PL/(AE). En tramos en serie los alargamientos se suman.

La misma fuerza en ambos tramos

El extremo libre soporta P, así que cada sección de la barra soporta el mismo esfuerzo axial P. Solo cambian las áreas y los materiales.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 87,54 MPa

σ₂ = 547,1 MPa

Suma los alargamientos de los tramos

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 87,54·1000/200000 = 0,4377 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 547,1·2000/200000 = 5,471 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 5,909 mm

Respuesta

δ = 5,909 mm

3.Torsión de ejes

Respuesta: φ = 22,99 °

Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τ_max = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω.

Momento polar de inercia

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Ángulo de torsión

φ = TL/(GJ) = 400·1000·1000/(26000·38350) = 0,4012 rad

φ = 0,4012·180/π = 22,99°

Respuesta

φ = 22,99°

4.Torsión de ejes

Respuesta: d = 22,11 mm

Par

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 20000/157,1 = 127,3 N·m

Diámetro a partir de la tensión admisible

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·127324/(π·60)) = 22,11 mm

Respuesta

d = 22,11 mm

En la práctica redondearías al siguiente tamaño normalizado.

5.Cortante y momento flector

Respuesta: C (x = 2 m)

Mayor momento flector: M cambia de pendiente allí donde cambia el esfuerzo cortante, así que sus picos están donde el esfuerzo cortante cruza el cero: bajo una carga puntual, dentro de una carga distribuida, o sobre un apoyo de un voladizo. En el empotramiento de una ménsula, el momento es máximo en la pared. Compara el valor de M en esos lugares, positivo o negativo.

Reacciones en los apoyos

Toma momentos respecto a un apoyo y luego usa el equilibrio de fuerzas verticales.

R₁ = 20,83 kN, R₂ = 29,17 kN

Momento flector en cada marca

Suma los momentos de todas las fuerzas a un lado del corte. El momento positivo hace que la viga se comba hacia abajo; el negativo, hacia arriba.

M_A = 0, M_B = 20,83, M_C = 41,67 kN·m, M_D = 37,5, M_E = 33,33, M_F = 29,17, M_G = 0

Respuesta

Marca C: M_C = 41,67 kN·m

6.Cortante y momento flector

Respuesta: E (x = 8 m)

Reacciones en los apoyos

Toma momentos respecto a un apoyo y luego usa el equilibrio de fuerzas verticales.

R₁ = 48,25 kN, R₂ = 120,8 kN

Momento flector en cada marca

Suma los momentos de todas las fuerzas a un lado del corte. El momento positivo hace que la viga se comba hacia abajo; el negativo, hacia arriba.

M_A = 0, M_B = 80,5, M_C = 19, M_D = −74,5, M_E = −200 kN·m, M_F = −100, M_G = 0

Respuesta

Marca E: M_E = −200 kN·m

7.Centroide y momento de inercia

Respuesta: I_x = 221,6 × 10⁶ mm⁴

Secciones con huecos: trata un hueco como un área negativa. El centroide es ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), con A₁, y₁ para la placa completa y A₂, y₂ para el hueco. Para el momento de inercia (segundo momento de área) respecto al eje centroidal, usa el teorema de los ejes paralelos para cada parte y resta el hueco: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), donde d es la distancia del centroide propio de cada parte al eje que pasa por ȳ. Un rectángulo tiene I_c = bh³/12 y un círculo I_c = πd⁴/64.

Centroide

ȳ = (30000·150 − 2827·180)/(30000 − 2827) = 146,9 mm

Placa completa respecto a ȳ

100·300³/12 + 30000·3,122² = 225,3 × 10⁶ mm⁴

Agujero respecto a ȳ

π·60⁴/64 + 2827·33,12² = 3,738 × 10⁶ mm⁴

Resta

I_x = 221,6 × 10⁶ mm⁴

Respuesta

I_x = 221,6 × 10⁶ mm⁴

8.Centroide y momento de inercia

Respuesta: σ_superior = 32,37 MPa

Áreas compuestas: divide la sección en rectángulos. El centroide es la media ponderada por áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. El momento de inercia respecto al eje que pasa por el centroide suma el bh³/12 propio de cada parte y su término de Steiner A·d², donde d es la distancia del centroide de la parte al centroide global. La tensión de flexión es σ = M·y/I.

Divide en dos rectángulos

Mide cada y desde el borde inferior.

ala: A_f = 200·15 = 3000 mm², y_f = 240 + 15/2 = 247,5 mm

alma: A_w = 20·240 = 4800 mm², y_w = 240/2 = 120 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3000·247,5 + 4800·120)/7800 = 169 mm

Teorema de Steiner

ala: 200·15³/12 + 3000·(247,5 − 169)² = 1,852 × 10⁷ mm⁴

alma: 20·240³/12 + 4800·(120 − 169)² = 3,458 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,852 × 10⁷ + 3,458 × 10⁷ = 5,311 × 10⁷ mm⁴

Tensión de flexión

El borde superior está a h − ȳ del eje.

y = 255 − 169 = 85,96 mm

σ = M·y/I = 2 × 10⁷·85,96/5,311 × 10⁷ = 32,37 MPa

Respuesta

σ_superior = 32,37 MPa

9.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: τ_abs = 60,21 MPa

Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R. En tres dimensiones la tensión cortante máxima absoluta es (σ_max − σ_min)/2 entre las tres tensiones principales; en tensión plana la tercera es nula.

Tensiones principales en el plano

C = 35 MPa, R = √((−5)² + 60²) = 60,21 MPa

σ₁ = 95,21 MPa, σ₂ = −25,21 MPa, σ_z = 0

El mayor de los tres círculos

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(120,4, 95,21, 25,21)/2 = 60,21 MPa

Respuesta

τ_abs = 60,21 MPa

Aquí σ₁ y σ₂ tienen signos opuestos, así que el máximo en el plano R es también el máximo absoluto.

10.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: σ_n = 29,17 MPa

Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R. Cilindro de pared delgada: tensión circunferencial σ_h = pr/t y tensión axial σ_a = pr/(2t); son las tensiones principales en la pared.

Tensiones en la pared

r = 1000/2 = 500 mm

σ_h = pr/t = 1·500/15 = 33,33 MPa

σ_a = pr/(2t) = 16,67 MPa

Transforma a la costura

Toma x a lo largo del eje (σ_a) e y en dirección circunferencial (σ_h). La normal de la costura forma 90° − α con el eje.

σ_n = 16,67·sin²30° + 33,33·cos²30° = 29,17 MPa

Respuesta

σ_n = 29,17 MPa

11.Flecha de la viga

Respuesta: δ_max = 1,24 mm

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

w = 15 N/mm, L = 2000 mm

EI = 2,52 × 10¹² N·mm²

Flecha

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·2000⁴/(384·2,52 × 10¹²) = 1,24 mm

Respuesta

δ_max = 1,24 mm

12.Flecha de la viga

Respuesta: h_req = 236,7 mm

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

w = 1,5 N/mm, L = 6000 mm, E = 11000 N/mm²

Límite de flecha

δ_allow = L/360 = 6000/360 = 16,67 mm

Momento de inercia necesario

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·1,5·6000⁴/(384·11000·16,67) = 1,381 × 10⁸ mm⁴

Canto necesario

bh³/12 = I_req → h = (12·1,381 × 10⁸/125)^1/3 = 236,7 mm

Respuesta

h_req = 236,7 mm

En la práctica, elige el canto normalizado inmediatamente superior a este valor.

13.Pandeo de pilares

Respuesta: P_cr = 78,48 kN

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en P_cr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Menor momento de inercia

Una sección circular tiene el mismo I respecto a cualquier eje.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Longitud de pandeo

KL = 1·1000 = 1000 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/1000² = 78485 N = 78,48 kN

Respuesta

P_cr = 78,48 kN

14.Pandeo de pilares

Respuesta: d = 82,55 mm

Carga crítica necesaria

P_cr = n·P = 3·60000 = 180000 N

KL = 2·2500 = 5000 mm

Despeja el diámetro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·180000·5000²/(π³·200000))^(1/4) = 82,55 mm

Respuesta

d = 82,55 mm

Comprobación: la esbeltez KL/r es 242,3, así que el pilar es esbelto y Euler es válido.

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