Resistencia de materiales: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 14 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Tensión y deformación axial

Tensión normal: σ = F/A
Deformación: ε = ΔL/L
Ley de Hooke: σ = E·ε
Alargamiento: ΔL = FL/(EA)
Deformación térmica: ε_T = α·ΔT

Torsión de ejes

Tensión cortante: τ = T·r/J
Eje macizo: J = πd⁴/32
Eje hueco: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ)
Potencia: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Halla el momento polar de inercia: J = πd⁴/32 para un eje macizo.
Tensión tangencial en la superficie: τ = T·r/J, con r el radio exterior.
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ) en radianes.
Si te dan la potencia, halla primero el par con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cortante y momento flector

Cortante y momento: V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
Tensión de flexión: σ = M·y/I
Rectángulo: I = bh³/12
Módulo resistente: W = I/y_max
Viga biapoyada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.

Centroide y momento de inercia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectángulo: I = bh³/12
Teorema de Steiner: I = I_c + A·d²
Sección compuesta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Radio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensiones principales: σ_1,2 = C ± R
Dirección principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcula el centro del círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcula el radio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Las tensiones principales son C ± R y la tensión tangencial máxima en el plano es R.
Los ángulos en el círculo son el doble que los ángulos en el elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flecha de la viga

Carga puntual en el centro del vano: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoyada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Voladizo, carga en el extremo: δ = PL³/(3EI)
Voladizo, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposición: δ = δ₁ + δ₂

Pandeo de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Factor de longitud de pandeo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 empotrado–empotrado, 0,7 empotrado–articulado, 2 empotrado–libre
Tensión crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Problemas de práctica

1.Tensión y deformación axialMedia

Una varilla de acero (diámetro 40 mm, E = 200 GPa) está dentro de un tubo de aluminio (diámetro exterior 120 mm, diámetro interior 50 mm, E = 70 GPa). Ambos miden 300 mm de largo y se comprimen juntos entre placas rígidas con 250 kN. Halla el acortamiento δ.

P = 250 kNbarra: Ø40 mm, E = 200 GPatubo: Ø120/Ø50 mm, E = 70 GPaL = 300 mm

δ = mm

2.Tensión y deformación axialDifícil

Una varilla de acero (diámetro 20 mm, E = 200 GPa, tensión admisible 120 MPa) está dentro de un tubo de latón (diámetro exterior 120 mm, diámetro interior 70 mm, E = 100 GPa, tensión admisible 70 MPa). Se comprimen juntos entre placas rígidas. Halla la mayor carga P_max.

barra: Ø20 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 120 MPatubo: Ø120/Ø70 mm, E = 100 GPa, σ_allow = 70 MPa

P_max = kN

3.Torsión de ejesMedia

Un eje macizo de aluminio está empotrado en la pared y se tuerce con un par T en su extremo libre. Halla el ángulo de torsión φ del extremo libre, en grados.

T = 500 N·md = 50 mmL = 2 mG = 26 GPa

φ = °

4.Torsión de ejesDifícil

Un eje macizo de latón de 40 mm de diámetro está empotrado en A. En B, a 2,5 m de A, actúa un par de 1000 N·m, y en el extremo libre C, 2,5 m más allá, actúa un par de 200 N·m en el mismo sentido. Halla la tensión cortante máxima τ_max en el eje.

d = 40 mmT_B = 1000 N·mT_C = 200 N·mAB = 2,5 mBC = 2,5 m

τ_max = MPa

5.Cortante y momento flectorMedia

La viga descansa sobre una articulación en A y un apoyo deslizante en B, y vuela 1 m más allá de B hasta el extremo libre C. Soporta una carga puntual P₁ entre los apoyos y una carga puntual P₂ en C. Halla el esfuerzo cortante V_x justo a la izquierda del apoyo B. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.

L = 5 mP₁ = 70 kN en 1,5 mP₂ = 15 kN en 5 mapoyos en x = 0 y x = 4 m

V_x = kN

6.Cortante y momento flectorDifícil

La viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida w en toda su luz y una carga puntual P. Halla el momento flector máximo M_max en la viga.

L = 10 mP = 15 kN en 5 mw = 6 kN/m de 0 a 10 m

M_max = kN·m

7.Centroide y momento de inerciaMedia

Halla el momento de inercia I_x de la sección en T respecto al eje horizontal x que pasa por su centroide.

b_f = 240 mmt_f = 15 mmt_w = 14 mmh_w = 180 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centroide y momento de inerciaDifícil

Una viga de fundición tiene la sección en T de la figura, con el ala arriba. Las tensiones admisibles son 30 MPa a tracción y 120 MPa a compresión. Halla el mayor momento flector positivo M_allow que puede soportar la viga.

b_f = 280 mmt_f = 15 mmt_w = 20 mmh_w = 260 mmσ_t,allow = 30 MPaσ_c,allow = 120 MPa

M_allow = kN·m

9.Círculo de Mohr y transformación de tensionesMedia

Un punto de una pieza cargada tiene σₓ = 40 MPa, σᵧ = 100 MPa y τₓᵧ = 30 MPa (tracción positiva). Halla la tensión cortante máxima en el plano τ_max.

σ_x = 40 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = 30 MPa

τ_max = MPa

10.Círculo de Mohr y transformación de tensionesDifícil

Un punto de una placa delgada está en tensión plana: σₓ = −60 MPa, σᵧ = −50 MPa y τₓᵧ = −60 MPa (σ_z = 0). El material tiene un límite elástico de 355 MPa. Halla el coeficiente de seguridad n frente a la plastificación según el criterio de von Mises (energía de distorsión).

σ_x = −60 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = −60 MPaσ_Y = 355 MPa

n =

11.Flecha de la vigaMedia

Una viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida w en toda su luz. Halla la flecha máxima δ_max, en el centro del vano.

w = 10 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (madera estructural)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Flecha de la vigaDifícil

Una viga de madera simplemente apoyada, de sección rectangular de 150 mm de ancho, soporta una carga uniformemente repartida w en toda su luz. Su flecha en el centro no puede superar luz/300. Halla el canto mínimo h_req de la sección.

w = 1 kN/mL = 6 mE = 11 GPa (madera estructural)b = 150 mm

h_req = mm

13.Pandeo de pilaresMedia

Un pilar de longitud L de acero está empotrado en la base y articulado arriba. Con la fórmula de Euler, halla su carga crítica de pandeo P_cr.

L = 5 mE = 200 GPa (acero)b × h = 30 × 60 mm

P_cr = kN

14.Pandeo de pilaresDifícil

Un pilar de longitud L de aluminio está empotrado en la base y libre arriba. Halla su esbeltez y la tensión crítica de pandeo σ_cr con la fórmula de Euler.

L = 1,5 mE = 70 GPa (aluminio)d = 30 mm

σ_cr = MPa

3Disoluciones

1.Tensión y deformación axial

Respuesta: δ = 0,08282 mm

Dos materiales: en serie (uno tras otro) cada tramo soporta la misma fuerza y los alargamientos se suman: δ = P·Σ L/(E·A). En paralelo (lado a lado entre placas rígidas) ambas partes se acortan lo mismo, así que sus deformaciones unitarias son iguales: la parte más rígida toma la mayor porción, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, y σ_i = E_i·ε. Una barra sujeta entre dos muros rígidos con una carga en la unión es estáticamente indeterminada: los dos tramos se reparten la carga en proporción a su rigidez k = EA/L.

Áreas

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

Rigidez axial combinada

ΣEA = 200·10³·1257 + 70·10³·9346 = 9,056 × 10⁸ N

Acortamiento

δ = 250000·300/9,056 × 10⁸ = 0,08282 mm

Respuesta

δ = 0,08282 mm

2.Tensión y deformación axial

Respuesta: P_max = 485,4 kN

Áreas

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

Rigidez axial combinada

ΣEA = 200·10³·314,2 + 100·10³·7461 = 8,09 × 10⁸ N

Deformación determinante

ε = min(0,0006, 0,0007) = 0,0006 (acero)

Mayor carga

P_max = 0,0006·8,09 × 10⁸ = 485376 N = 485,4 kN

Respuesta

P_max = 485,4 kN

3.Torsión de ejes

Respuesta: φ = 3,591 °

Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τ_max = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω.

Momento polar de inercia

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Ángulo de torsión

φ = TL/(GJ) = 500·1000·2000/(26000·613592) = 0,06268 rad

φ = 0,06268·180/π = 3,591°

Respuesta

φ = 3,591°

4.Torsión de ejes

Respuesta: τ_max = 95,49 MPa

Pares internos

Se toma positivo el sentido de T_C.

T_BC = T_C = 200 N·m

T_AB = T_C + T_B = 200 + 1000 = 1200 N·m

Tensión cortante máxima

El tramo con el mayor par interno tiene la mayor tensión (mismo diámetro).

|T|_max = 1200 N·m

τ_max = 16·1,2 × 10⁶/(π·40³) = 95,49 MPa

Respuesta

τ_max = 95,49 MPa

5.Cortante y momento flector

Respuesta: V_x = −30 kN

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la viga. La carga del voladizo también produce momento respecto a A.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 70·1,5 + 15·5

R_B = 180/4 = 45 kN

ΣF_y = 0: R_A = 85 − 45 = 40 kN

Corta justo a la izquierda de B y quédate con la parte izquierda

V_x = R_A − P₁ = 40 − 70 = −30 kN

Respuesta

V_x = −30 kN

6.Cortante y momento flector

Respuesta: M_max = 112,5 kN·m

Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte. Momento máximo: como dM/dx = V, el momento flector alcanza su máximo donde el cortante pasa por cero, ya sea en una carga puntual o dentro de una carga repartida.

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la viga.

Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 6·10 = 60 kN, aplicada en x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 15·5 + 6·10·5

R_B = 375/10 = 37,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 75 − 37,5 = 37,5 kN

¿Dónde es V = 0?

V(5⁻) = R_A − w·5 = 7,5 kN

V(5⁺) = 7,5 − 15 = −7,5 kN

El cortante cambia de signo en la carga, así que el máximo está bajo la carga.

Momento máximo

M_max = R_A·5 − w·5²/2 = 37,5·5 − 6·5²/2 = 112,5 kN·m

Respuesta

M_max = 112,5 kN·m

Se produce en x = 5 m desde A.

7.Centroide y momento de inercia

Respuesta: I_x = 20,96 × 10⁶ mm⁴

Áreas compuestas: divide la sección en rectángulos. El centroide es la media ponderada por áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. El momento de inercia respecto al eje que pasa por el centroide suma el bh³/12 propio de cada parte y su término de Steiner A·d², donde d es la distancia del centroide de la parte al centroide global. La tensión de flexión es σ = M·y/I.

Divide en dos rectángulos

Mide cada y desde el borde inferior.

ala: A_f = 240·15 = 3600 mm², y_f = 180 + 15/2 = 187,5 mm

alma: A_w = 14·180 = 2520 mm², y_w = 180/2 = 90 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3600·187,5 + 2520·90)/6120 = 147,4 mm

Teorema de Steiner

ala: 240·15³/12 + 3600·(187,5 − 147,4)² = 5,87 × 10⁶ mm⁴

alma: 14·180³/12 + 2520·(90 − 147,4)² = 1,509 × 10⁷ mm⁴

I_x = 5,87 × 10⁶ + 1,509 × 10⁷ = 2,096 × 10⁷ mm⁴ = 20,96 × 10⁶ mm⁴

Respuesta

I_x = 20,96 × 10⁶ mm⁴

8.Centroide y momento de inercia

Respuesta: M_allow = 11,49 kN·m

Centroide

ȳ = (4200·267,5 + 5200·130)/9400 = 191,4 mm

borde superior: c = 275 − 191,4 = 83,56 mm

Momento de inercia

I = 280·15³/12 + 4200·76,06² + 20·260³/12 + 5200·61,44² = 7,33 × 10⁷ mm⁴

Momento admisible por cada borde

Momento positivo: la parte superior está comprimida y la inferior traccionada.

borde superior: M = 120·7,33 × 10⁷/83,56 = 105,3 kN·m

borde inferior: M = 30·7,33 × 10⁷/191,4 = 11,49 kN·m

Valor determinante

M_allow = min = 11,49 kN·m (borde inferior)

Respuesta

M_allow = 11,49 kN·m

9.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: τ_max = 42,43 MPa

Radio del círculo de Mohr

τ_max = R = √(((40 − 100)/2)² + 30²) = 42,43 MPa

Respuesta

τ_max = 42,43 MPa

10.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: n = 3,011

Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R. Criterios de plastificación: von Mises predice la plastificación cuando σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) alcanza σ_Y; Tresca, cuando la tensión cortante máxima absoluta alcanza σ_Y/2.

Tensiones principales

C = −55 MPa, R = 60,21 MPa

σ₁ = 5,208 MPa, σ₂ = −115,2 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(5,208² − 5,208·(−115,2) + (−115,2)²) = 117,9 MPa

n = 355/117,9 = 3,011

Respuesta

n = 3,011

n > 1 significa que el punto no plastifica; Tresca es algo más conservador que von Mises.

11.Flecha de la viga

Respuesta: δ_max = 41,69 mm

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

w = 10 N/mm, L = 3000 mm

EI = 2,53 × 10¹¹ N·mm²

Flecha

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·10·3000⁴/(384·2,53 × 10¹¹) = 41,69 mm

Respuesta

δ_max = 41,69 mm

12.Flecha de la viga

Respuesta: h_req = 183,1 mm

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

w = 1 N/mm, L = 6000 mm, E = 11000 N/mm²

Límite de flecha

δ_allow = L/300 = 6000/300 = 20 mm

Momento de inercia necesario

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·1·6000⁴/(384·11000·20) = 7,67 × 10⁷ mm⁴

Canto necesario

bh³/12 = I_req → h = (12·7,67 × 10⁷/150)^1/3 = 183,1 mm

Respuesta

h_req = 183,1 mm

En la práctica, elige el canto normalizado inmediatamente superior a este valor.

13.Pandeo de pilares

Respuesta: P_cr = 21,75 kN

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en P_cr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Menor momento de inercia

Un rectángulo pandea respecto a su eje débil, usando la dimensión menor al cubo.

I_min = h·b³/12 = 60·30³/12 = 135000 mm⁴

Longitud de pandeo

KL = 0,7·5000 = 3500 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·135000/3500² = 21753 N = 21,75 kN

Respuesta

P_cr = 21,75 kN

14.Pandeo de pilares

Respuesta: σ_cr = 4,318 MPa

Menor momento de inercia

Una sección circular tiene el mismo I respecto a cualquier eje.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Radio de giro y esbeltez

A = 706,9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm

KL = 2·1500 = 3000 mm

KL/r = 3000/7,5 = 400

Tensión crítica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/400² = 4,318 MPa

Respuesta

σ_cr = 4,318 MPa

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