Resistencia de materiales: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 14 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Tensión y deformación axial

Tensión normal: σ = F/A
Deformación: ε = ΔL/L
Ley de Hooke: σ = E·ε
Alargamiento: ΔL = FL/(EA)
Deformación térmica: ε_T = α·ΔT

Torsión de ejes

Tensión cortante: τ = T·r/J
Eje macizo: J = πd⁴/32
Eje hueco: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ)
Potencia: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Halla el momento polar de inercia: J = πd⁴/32 para un eje macizo.
Tensión tangencial en la superficie: τ = T·r/J, con r el radio exterior.
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ) en radianes.
Si te dan la potencia, halla primero el par con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cortante y momento flector

Cortante y momento: V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
Tensión de flexión: σ = M·y/I
Rectángulo: I = bh³/12
Módulo resistente: W = I/y_max
Viga biapoyada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.

Centroide y momento de inercia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectángulo: I = bh³/12
Teorema de Steiner: I = I_c + A·d²
Sección compuesta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Radio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensiones principales: σ_1,2 = C ± R
Dirección principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcula el centro del círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcula el radio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Las tensiones principales son C ± R y la tensión tangencial máxima en el plano es R.
Los ángulos en el círculo son el doble que los ángulos en el elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flecha de la viga

Carga puntual en el centro del vano: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoyada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Voladizo, carga en el extremo: δ = PL³/(3EI)
Voladizo, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposición: δ = δ₁ + δ₂

Pandeo de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Factor de longitud de pandeo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 empotrado–empotrado, 0,7 empotrado–articulado, 2 empotrado–libre
Tensión crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Problemas de práctica

1.Tensión y deformación axialMedia

Una varilla de acero (diámetro 40 mm, E = 200 GPa) está dentro de un tubo de cobre (diámetro exterior 80 mm, diámetro interior 50 mm, E = 120 GPa). Ambos miden 600 mm de largo y se comprimen juntos entre placas rígidas con 80 kN. Halla el acortamiento δ.

P = 80 kNbarra: Ø40 mm, E = 200 GPatubo: Ø80/Ø50 mm, E = 120 GPaL = 600 mm

δ = mm

2.Tensión y deformación axialDifícil

La barra escalonada está empotrada en la pared y cargada en su extremo libre. Halla el alargamiento total δ.

P = 50 kNtramo 1: Ø30 mm, 1,5 m, acero (E = 200 GPa)tramo 2: Ø12 mm, 0,5 m, cobre (E = 117 GPa)

δ = mm

3.Torsión de ejesMedia

Un eje macizo de acero está empotrado en la pared y se tuerce con un par T en su extremo libre. Halla el ángulo de torsión φ del extremo libre, en grados.

T = 750 N·md = 40 mmL = 3 mG = 80 GPa

φ = °

4.Torsión de ejesDifícil

Un eje macizo debe transmitir 100 kW a 500 rpm sin que la tensión cortante supere 75 MPa. Halla el diámetro mínimo d que sirve.

P = 100 kWN = 500 rpmτ_allow = 75 MPa

d = mm

5.Cortante y momento flectorMedia

Las marcas A a G dividen la viga en seis partes iguales. ¿En qué marca es mayor el momento flector en valor absoluto, positivo o negativo? Haz clic en ella en el diagrama.

50 kN @ 2 m4 kN/m, 0–4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Cortante y momento flectorDifícil

Halla el momento flector M_x en la sección x = 2 m desde el apoyo A. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.

L = 8 mP = 45 kN en 1 mw = 12 kN/m de 0 a 8 mx = 2 m

M_x = kN·m

7.Centroide y momento de inerciaMedia

Una sección rectangular hueca (en cajón) tiene una anchura exterior B = 120 mm, una altura exterior H = 225 mm y un espesor de pared uniforme t = 10 mm. Halla su radio de giro r respecto al eje centroidal horizontal.

B = 120 mmH = 225 mmt = 10 mm

r = mm

8.Centroide y momento de inerciaDifícil

La sección en T se usa como viga con el ala arriba y soporta un momento flector positivo de 30 kN·m. Halla el valor de la tensión de flexión σ_superior en el borde superior.

b_f = 300 mmt_f = 30 mmt_w = 8 mmh_w = 120 mmM = 30 kN·m

σ_superior = MPa

9.Círculo de Mohr y transformación de tensionesMedia

En un punto σₓ = 50 MPa, σᵧ = −60 MPa y τₓᵧ = −10 MPa (tracción positiva). Halla el ángulo θ_s, entre −90° y 90°, desde el eje x hasta la normal del plano en el que la tensión cortante tiene su valor positivo máximo +R (cortante positivo en el mismo sentido que τₓᵧ).

σ_x = 50 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = −10 MPa

θ_s = °

10.Círculo de Mohr y transformación de tensionesDifícil

Un punto de una pieza cargada tiene σₓ = 60 MPa, σᵧ = −60 MPa y τₓᵧ = 10 MPa (tracción positiva). Halla la tensión normal σ_θ en un plano cuya normal está girada 35° en sentido antihorario respecto al eje x.

σ_x = 60 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = 10 MPaθ = 35°

σ_θ = MPa

11.Flecha de la vigaMedia

Un voladizo soporta una carga uniformemente repartida w en toda su longitud. Halla la flecha δ en el extremo libre.

w = 4 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (madera estructural)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Flecha de la vigaDifícil

Una viga simplemente apoyada soporta una carga puntual P a b = 3 m del apoyo B. Halla la flecha máxima δ_max de la viga.

P = 21 kNb = 3 mL = 8 mE = 70 GPa (aluminio)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Pandeo de pilaresMedia

Un pilar de longitud L de acero está articulado en ambos extremos. Con la fórmula de Euler, halla su carga crítica de pandeo P_cr.

L = 1 mE = 200 GPa (acero)d = 25 mm

P_cr = kN

14.Pandeo de pilaresDifícil

Un pilar de longitud L de acero está empotrado en la base y articulado arriba. Halla su esbeltez y la tensión crítica de pandeo σ_cr con la fórmula de Euler.

L = 4 mE = 200 GPa (acero)d = 80 mm

σ_cr = MPa

3Disoluciones

1.Tensión y deformación axial

Respuesta: δ = 0,07756 mm

Dos materiales: en serie (uno tras otro) cada tramo soporta la misma fuerza y los alargamientos se suman: δ = P·Σ L/(E·A). En paralelo (lado a lado entre placas rígidas) ambas partes se acortan lo mismo, así que sus deformaciones unitarias son iguales: la parte más rígida toma la mayor porción, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, y σ_i = E_i·ε. Una barra sujeta entre dos muros rígidos con una carga en la unión es estáticamente indeterminada: los dos tramos se reparten la carga en proporción a su rigidez k = EA/L.

Áreas

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²

Rigidez axial combinada

ΣEA = 200·10³·1257 + 120·10³·3063 = 6,189 × 10⁸ N

Acortamiento

δ = 80000·600/6,189 × 10⁸ = 0,07756 mm

Respuesta

δ = 0,07756 mm

2.Tensión y deformación axial

Respuesta: δ = 2,42 mm

Elementos con carga axial: cada tramo prismático cumple δ = PL/(AE). En tramos en serie los alargamientos se suman.

La misma fuerza en ambos tramos

El extremo libre soporta P, así que cada sección de la barra soporta el mismo esfuerzo axial P. Solo cambian las áreas y los materiales.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 70,74 MPa

σ₂ = 442,1 MPa

Suma los alargamientos de los tramos

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 70,74·1500/200000 = 0,5305 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 442,1·500/117000 = 1,889 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 2,42 mm

Respuesta

δ = 2,42 mm

3.Torsión de ejes

Respuesta: φ = 6,412 °

Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τ_max = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω.

Momento polar de inercia

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Ángulo de torsión

φ = TL/(GJ) = 750·1000·3000/(80000·251327) = 0,1119 rad

φ = 0,1119·180/π = 6,412°

Respuesta

φ = 6,412°

4.Torsión de ejes

Respuesta: d = 50,62 mm

Par

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 100000/52,36 = 1910 N·m

Diámetro a partir de la tensión admisible

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·1,91 × 10⁶/(π·75)) = 50,62 mm

Respuesta

d = 50,62 mm

En la práctica redondearías al siguiente tamaño normalizado.

5.Cortante y momento flector

Respuesta: C (x = 2 m)

Mayor momento flector: M cambia de pendiente allí donde cambia el esfuerzo cortante, así que sus picos están donde el esfuerzo cortante cruza el cero: bajo una carga puntual, dentro de una carga distribuida, o sobre un apoyo de un voladizo. En el empotramiento de una ménsula, el momento es máximo en la pared. Compara el valor de M en esos lugares, positivo o negativo.

Reacciones en los apoyos

Toma momentos respecto a un apoyo y luego usa el equilibrio de fuerzas verticales.

R₁ = 44 kN, R₂ = 22 kN

Momento flector en cada marca

Suma los momentos de todas las fuerzas a un lado del corte. El momento positivo hace que la viga se comba hacia abajo; el negativo, hacia arriba.

M_A = 0, M_B = 42, M_C = 80 kN·m, M_D = 64, M_E = 44, M_F = 22, M_G = 0

Respuesta

Marca C: M_C = 80 kN·m

6.Cortante y momento flector

Respuesta: M_x = 105,8 kN·m

Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte.

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la viga.

Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 12·8 = 96 kN, aplicada en x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 45·1 + 12·8·4

R_B = 429/8 = 53,63 kN

ΣF_y = 0: R_A = 141 − 53,63 = 87,38 kN

Corta en x = 2 m y quédate con la parte izquierda

Solo aparecen las fuerzas a la izquierda del corte. Un tramo de carga repartida actúa como una fuerza en el centro de ese tramo.

M = R_A·x − (cada carga a la izquierda del corte × su distancia al corte)

M_x = 87,38·2 − 45·(2 − 1) − 12·2·1 = 105,8 kN·m

Respuesta

M_x = 105,8 kN·m

7.Centroide y momento de inercia

Respuesta: r = 80,49 mm

Momento de inercia: para un rectángulo respecto a su propio eje centroidal I = bh³/12, y respecto a su base bh³/3 (teorema de Steiner I = I_c + A·d²). Un hueco se trata restando su I, siempre que ambas partes compartan el mismo eje. El módulo resistente elástico es S = I/c, donde c es la distancia a la fibra extrema. El radio de giro r = √(I/A) es la distancia a la que toda el área daría el mismo I; se usa en el pandeo de pilares.

Área neta y momento de inercia neto

b = 100 mm, h = 205 mm

A = BH − bh = 120·225 − 100·205 = 6500 mm²

I = (BH³ − bh³)/12 = 4,211 × 10⁷ mm⁴

Radio de giro

r = √(I/A) = √(4,211 × 10⁷/6500) = 80,49 mm

Respuesta

r = 80,49 mm

8.Centroide y momento de inercia

Respuesta: σ_superior = 99,44 MPa

Áreas compuestas: divide la sección en rectángulos. El centroide es la media ponderada por áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. El momento de inercia respecto al eje que pasa por el centroide suma el bh³/12 propio de cada parte y su término de Steiner A·d², donde d es la distancia del centroide de la parte al centroide global. La tensión de flexión es σ = M·y/I.

Divide en dos rectángulos

Mide cada y desde el borde inferior.

ala: A_f = 300·30 = 9000 mm², y_f = 120 + 30/2 = 135 mm

alma: A_w = 8·120 = 960 mm², y_w = 120/2 = 60 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (9000·135 + 960·60)/9960 = 127,8 mm

Teorema de Steiner

ala: 300·30³/12 + 9000·(135 − 127,8)² = 1,145 × 10⁶ mm⁴

alma: 8·120³/12 + 960·(60 − 127,8)² = 5,561 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1,145 × 10⁶ + 5,561 × 10⁶ = 6,707 × 10⁶ mm⁴

Tensión de flexión

El borde superior está a h − ȳ del eje.

y = 150 − 127,8 = 22,23 mm

σ = M·y/I = 3 × 10⁷·22,23/6,707 × 10⁶ = 99,44 MPa

Respuesta

σ_superior = 99,44 MPa

9.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: θ_s = −50,15 °

Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R.

Ángulo en el círculo

En el círculo de Mohr el punto más alto (+R) está a 90° del punto principal σ₁; en el elemento eso son 45°.

cos 2θ_s = −10/55,9 = −0,1789, sin 2θ_s = −55/55,9 = −0,9839

2θ_s = atan2(−55, −10) = −100,3°

Ángulo en el elemento

θ_s = −50,15°

comprobación: θ_s − θ_p = −50,15 − (−5,152) = −45°

Respuesta

θ_s = −50,15°

Los ángulos positivos son en sentido antihorario.

10.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: σ_θ = 29,92 MPa

Ecuación de transformación

σ_θ = 0 + 60·0,342 + 10·0,9397 = 29,92 MPa

Respuesta

σ_θ = 29,92 MPa

11.Flecha de la viga

Respuesta: δ = 60,61 mm

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 2000 mm

EI = 1,32 × 10¹¹ N·mm²

Flecha

δ = wL⁴/(8EI) = 4·2000⁴/(8·1,32 × 10¹¹) = 60,61 mm

Respuesta

δ = 60,61 mm

12.Flecha de la viga

Respuesta: δ_max = 51,64 mm

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 21000 N, b = 3000 mm, L = 8000 mm

EI = 3,99 × 10¹² N·mm²

Posición del máximo

Igualando a cero el giro en el tramo más largo se obtiene la posición.

x = √((L² − b²)/3) = √((8000² − 3000²)/3) = 4282 mm

Flecha máxima

δ_max = Pb(L² − b²)^3/2/(9√3·EIL) = 51,64 mm

Respuesta

δ_max = 51,64 mm

13.Pandeo de pilares

Respuesta: P_cr = 37,85 kN

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en P_cr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Menor momento de inercia

Una sección circular tiene el mismo I respecto a cualquier eje.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Longitud de pandeo

KL = 1·1000 = 1000 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/1000² = 37849 N = 37,85 kN

Respuesta

P_cr = 37,85 kN

14.Pandeo de pilares

Respuesta: σ_cr = 100,7 MPa

Menor momento de inercia

Una sección circular tiene el mismo I respecto a cualquier eje.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Radio de giro y esbeltez

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

KL/r = 2800/20 = 140

Tensión crítica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/140² = 100,7 MPa

Respuesta

σ_cr = 100,7 MPa

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