Resistencia de materiales: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 14 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Tensión y deformación axial

Tensión normal: σ = F/A
Deformación: ε = ΔL/L
Ley de Hooke: σ = E·ε
Alargamiento: ΔL = FL/(EA)
Deformación térmica: ε_T = α·ΔT

Torsión de ejes

Tensión cortante: τ = T·r/J
Eje macizo: J = πd⁴/32
Eje hueco: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ)
Potencia: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Halla el momento polar de inercia: J = πd⁴/32 para un eje macizo.
Tensión tangencial en la superficie: τ = T·r/J, con r el radio exterior.
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ) en radianes.
Si te dan la potencia, halla primero el par con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cortante y momento flector

Cortante y momento: V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
Tensión de flexión: σ = M·y/I
Rectángulo: I = bh³/12
Módulo resistente: W = I/y_max
Viga biapoyada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.

Centroide y momento de inercia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectángulo: I = bh³/12
Teorema de Steiner: I = I_c + A·d²
Sección compuesta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Radio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensiones principales: σ_1,2 = C ± R
Dirección principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcula el centro del círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcula el radio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Las tensiones principales son C ± R y la tensión tangencial máxima en el plano es R.
Los ángulos en el círculo son el doble que los ángulos en el elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flecha de la viga

Carga puntual en el centro del vano: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoyada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Voladizo, carga en el extremo: δ = PL³/(3EI)
Voladizo, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposición: δ = δ₁ + δ₂

Pandeo de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Factor de longitud de pandeo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 empotrado–empotrado, 0,7 empotrado–articulado, 2 empotrado–libre
Tensión crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Problemas de práctica

1.Tensión y deformación axialMedia

Una varilla de acero (diámetro 40 mm, E = 200 GPa) está dentro de un tubo de cobre (diámetro exterior 100 mm, diámetro interior 60 mm, E = 120 GPa). Ambos miden 800 mm de largo y se comprimen juntos entre placas rígidas con 80 kN. Halla el acortamiento δ.

P = 80 kNbarra: Ø40 mm, E = 200 GPatubo: Ø100/Ø60 mm, E = 120 GPaL = 800 mm

δ = mm

2.Tensión y deformación axialDifícil

Un tramo de acero (diámetro 40 mm, longitud 600 mm, E = 200 GPa) y un tramo de cobre (diámetro 30 mm, longitud 300 mm, E = 120 GPa) se unen extremo con extremo y se fijan entre dos muros rígidos. Una carga axial de 30 kN actúa en la unión, hacia el tramo 2. Halla el valor de la tensión σ₂ en el tramo 2.

tramo 1: acero, Ø40 mm, 600 mm, E = 200 GPatramo 2: cobre, Ø30 mm, 300 mm, E = 120 GPaP = 30 kN

σ₂ = MPa

3.Torsión de ejesMedia

Un eje macizo de acero está empotrado en la pared y se tuerce con un par T en su extremo libre. Halla el ángulo de torsión φ del extremo libre, en grados.

T = 400 N·md = 40 mmL = 1,5 mG = 80 GPa

φ = °

4.Torsión de ejesDifícil

Un eje macizo debe transmitir 50 kW a 1450 rpm sin que la tensión cortante supere 80 MPa. Halla el diámetro mínimo d que sirve.

P = 50 kWN = 1450 rpmτ_allow = 80 MPa

d = mm

5.Cortante y momento flectorMedia

Halla el momento flector M_x en la sección x = 5,5 m desde el apoyo A. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.

L = 6 mw = 10 kN/m de 0 a 6 mx = 5,5 m

M_x = kN·m

6.Cortante y momento flectorDifícil

Halla el momento flector M_x en la sección x = 3,5 m desde el apoyo A. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.

L = 4 mP = 60 kN en 2,5 mw = 6 kN/m de 0 a 4 mx = 3,5 m

M_x = kN·m

7.Centroide y momento de inerciaMedia

Una placa de 120 mm × 300 mm tiene un agujero circular de diámetro 30 mm en su línea central vertical, con su centro a 195 mm por encima del fondo. Halla el momento de inercia I_x respecto al eje horizontal que pasa por el centroide.

b = 120 mmh = 300 mmd = 30 mmcentro del agujero: y = 195 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centroide y momento de inerciaDifícil

Una sección en I simétrica tiene alas de 150 mm de ancho y 20 mm de espesor, un canto total de 380 mm y un alma de 12 mm de espesor. Soporta un momento flector de 150 kN·m respecto al eje x. Halla el valor de la tensión de flexión máxima σ_max en la sección.

B = 150 mmH = 380 mmt_f = 20 mmt_w = 12 mmM = 150 kN·m

σ_max = MPa

9.Círculo de Mohr y transformación de tensionesMedia

En un punto σₓ = −60 MPa, σᵧ = 70 MPa y τₓᵧ = 50 MPa (tracción positiva). El elemento se gira 30° en sentido antihorario. Halla la tensión normal σ_y′ en las caras del elemento girado perpendiculares al eje girado y′.

σ_x = −60 MPaσ_y = 70 MPaτ_xy = 50 MPaθ = 30°

σ_y′ = MPa

10.Círculo de Mohr y transformación de tensionesDifícil

Un punto de una pieza cargada tiene σₓ = 110 MPa, σᵧ = −20 MPa y τₓᵧ = 30 MPa (tracción positiva). Halla la tensión cortante τ_θ en un plano cuya normal está girada 45° en sentido horario respecto al eje x (positiva en el mismo sentido que τₓᵧ).

σ_x = 110 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = 30 MPaθ = -45°

τ_θ = MPa

11.Flecha de la vigaMedia

Un voladizo soporta una carga uniformemente repartida w en toda su longitud. Halla la flecha δ en el extremo libre.

w = 5 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (acero)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Flecha de la vigaDifícil

Una viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida w y una carga puntual P en el centro del vano. Usando superposición, halla la flecha en el centro δ_max.

P = 15 kNw = 10 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (aluminio)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Pandeo de pilaresMedia

Un pilar de longitud L de acero está articulado en ambos extremos. Con la fórmula de Euler, halla su carga crítica de pandeo P_cr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (acero)b × h = 20 × 80 mm

P_cr = kN

14.Pandeo de pilaresDifícil

Un pilar de longitud L de aluminio está articulado en ambos extremos. Halla su esbeltez y la tensión crítica de pandeo σ_cr con la fórmula de Euler.

L = 4 mE = 70 GPa (aluminio)d = 50 mm

σ_cr = MPa

3Disoluciones

1.Tensión y deformación axial

Respuesta: δ = 0,0749 mm

Dos materiales: en serie (uno tras otro) cada tramo soporta la misma fuerza y los alargamientos se suman: δ = P·Σ L/(E·A). En paralelo (lado a lado entre placas rígidas) ambas partes se acortan lo mismo, así que sus deformaciones unitarias son iguales: la parte más rígida toma la mayor porción, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, y σ_i = E_i·ε. Una barra sujeta entre dos muros rígidos con una carga en la unión es estáticamente indeterminada: los dos tramos se reparten la carga en proporción a su rigidez k = EA/L.

Áreas

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²

Rigidez axial combinada

ΣEA = 200·10³·1257 + 120·10³·5027 = 8,545 × 10⁸ N

Acortamiento

δ = 80000·800/8,545 × 10⁸ = 0,0749 mm

Respuesta

δ = 0,0749 mm

2.Tensión y deformación axial

Respuesta: σ₂ = 17,1 MPa

Rigideces

k₁ = 200000·1257/600 = 418879 N/mm

k₂ = 120000·706,9/300 = 282743 N/mm

Parte del tramo 2

F₂ = 30000·282743/701622 = 12090 N

Tensión

σ₂ = 12090/706,9 = 17,1 MPa (compresión)

Respuesta

σ₂ = 17,1 MPa

3.Torsión de ejes

Respuesta: φ = 1,71 °

Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τ_max = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω.

Momento polar de inercia

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Ángulo de torsión

φ = TL/(GJ) = 400·1000·1500/(80000·251327) = 0,02984 rad

φ = 0,02984·180/π = 1,71°

Respuesta

φ = 1,71°

4.Torsión de ejes

Respuesta: d = 27,57 mm

Par

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 50000/151,8 = 329,3 N·m

Diámetro a partir de la tensión admisible

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·329286/(π·80)) = 27,57 mm

Respuesta

d = 27,57 mm

En la práctica redondearías al siguiente tamaño normalizado.

5.Cortante y momento flector

Respuesta: M_x = 13,75 kN·m

Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte.

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la viga.

Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 10·6 = 60 kN, aplicada en x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 10·6·3

R_B = 180/6 = 30 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 30 = 30 kN

Corta en x = 5,5 m y quédate con la parte izquierda

Solo aparecen las fuerzas a la izquierda del corte. Un tramo de carga repartida actúa como una fuerza en el centro de ese tramo.

M = R_A·x − (cada carga a la izquierda del corte × su distancia al corte)

M_x = 30·5,5 − 10·5,5·2,75 = 13,75 kN·m

Respuesta

M_x = 13,75 kN·m

6.Cortante y momento flector

Respuesta: M_x = 24 kN·m

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la viga.

Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 6·4 = 24 kN, aplicada en x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 60·2,5 + 6·4·2

R_B = 198/4 = 49,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 84 − 49,5 = 34,5 kN

Corta en x = 3,5 m y quédate con la parte izquierda

Solo aparecen las fuerzas a la izquierda del corte. Un tramo de carga repartida actúa como una fuerza en el centro de ese tramo.

M = R_A·x − (cada carga a la izquierda del corte × su distancia al corte)

M_x = 34,5·3,5 − 60·(3,5 − 2,5) − 6·3,5·1,75 = 24 kN·m

Respuesta

M_x = 24 kN·m

7.Centroide y momento de inercia

Respuesta: I_x = 268,5 × 10⁶ mm⁴

Secciones con huecos: trata un hueco como un área negativa. El centroide es ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), con A₁, y₁ para la placa completa y A₂, y₂ para el hueco. Para el momento de inercia (segundo momento de área) respecto al eje centroidal, usa el teorema de los ejes paralelos para cada parte y resta el hueco: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), donde d es la distancia del centroide propio de cada parte al eje que pasa por ȳ. Un rectángulo tiene I_c = bh³/12 y un círculo I_c = πd⁴/64.

Centroide

ȳ = (36000·150 − 706,9·195)/(36000 − 706,9) = 149,1 mm

Placa completa respecto a ȳ

120·300³/12 + 36000·0,9013² = 270 × 10⁶ mm⁴

Agujero respecto a ȳ

π·30⁴/64 + 706,9·45,9² = 1,529 × 10⁶ mm⁴

Resta

I_x = 268,5 × 10⁶ mm⁴

Respuesta

I_x = 268,5 × 10⁶ mm⁴

8.Centroide y momento de inercia

Respuesta: σ_max = 121,8 MPa

Áreas compuestas: divide la sección en rectángulos. El centroide es la media ponderada por áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. El momento de inercia respecto al eje que pasa por el centroide suma el bh³/12 propio de cada parte y su término de Steiner A·d², donde d es la distancia del centroide de la parte al centroide global. La tensión de flexión es σ = M·y/I.

Rectángulo exterior menos los dos huecos laterales

Los dos huecos juntos miden (B − t_w) de ancho y h_w = H − 2t_f de alto, y comparten el eje x.

h_w = 380 − 2·20 = 340 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (150·380³ − 138·340³)/12

I_x = 2,339 × 10⁸ mm⁴

Tensión de flexión

y = 190 mm

σ = M·y/I = 1,5 × 10⁸·190/2,339 × 10⁸ = 121,8 MPa

Respuesta

σ_max = 121,8 MPa

9.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: σ_y′ = −5,801 MPa

Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R.

Ecuación de transformación para la cara y′

σ_y′ = 5 − (−65)·0,5 − 50·0,866 = −5,801 MPa

Comprobación

La suma de las tensiones normales no cambia con el giro.

σ_x′ = 15,8 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 10 = σ_x + σ_y

Respuesta

σ_y′ = −5,801 MPa

10.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: τ_θ = 65 MPa

Ecuación de transformación

τ_θ = −65·−1 + 30·0 = 65 MPa

Respuesta

τ_θ = 65 MPa

11.Flecha de la viga

Respuesta: δ = 4,441 mm

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 3000 mm

EI = 1,14 × 10¹³ N·mm²

Flecha

δ = wL⁴/(8EI) = 5·3000⁴/(8·1,14 × 10¹³) = 4,441 mm

Respuesta

δ = 4,441 mm

12.Flecha de la viga

Respuesta: δ_max = 6,349 mm

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 15000 N, w = 10 N/mm, L = 4000 mm, EI = 8,4 × 10¹² N·mm²

Cada carga por separado

δ_P = PL³/(48EI) = 15000·4000³/(48·8,4 × 10¹²) = 2,381 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·10·4000⁴/(384·8,4 × 10¹²) = 3,968 mm

Súmalas

δ_max = 2,381 + 3,968 = 6,349 mm

Respuesta

δ_max = 6,349 mm

13.Pandeo de pilares

Respuesta: P_cr = 16,84 kN

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en P_cr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Menor momento de inercia

Un rectángulo pandea respecto a su eje débil, usando la dimensión menor al cubo.

I_min = h·b³/12 = 80·20³/12 = 53333 mm⁴

Longitud de pandeo

KL = 1·2500 = 2500 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·53333/2500² = 16844 N = 16,84 kN

Respuesta

P_cr = 16,84 kN

14.Pandeo de pilares

Respuesta: σ_cr = 6,747 MPa

Menor momento de inercia

Una sección circular tiene el mismo I respecto a cualquier eje.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Radio de giro y esbeltez

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 1·4000 = 4000 mm

KL/r = 4000/12,5 = 320

Tensión crítica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/320² = 6,747 MPa

Respuesta

σ_cr = 6,747 MPa

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