Resistencia de materiales: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 14 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Tensión y deformación axial

Tensión normal: σ = F/A
Deformación: ε = ΔL/L
Ley de Hooke: σ = E·ε
Alargamiento: ΔL = FL/(EA)
Deformación térmica: ε_T = α·ΔT

Torsión de ejes

Tensión cortante: τ = T·r/J
Eje macizo: J = πd⁴/32
Eje hueco: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ)
Potencia: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Halla el momento polar de inercia: J = πd⁴/32 para un eje macizo.
Tensión tangencial en la superficie: τ = T·r/J, con r el radio exterior.
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ) en radianes.
Si te dan la potencia, halla primero el par con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cortante y momento flector

Cortante y momento: V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
Tensión de flexión: σ = M·y/I
Rectángulo: I = bh³/12
Módulo resistente: W = I/y_max
Viga biapoyada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.

Centroide y momento de inercia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectángulo: I = bh³/12
Teorema de Steiner: I = I_c + A·d²
Sección compuesta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Radio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensiones principales: σ_1,2 = C ± R
Dirección principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcula el centro del círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcula el radio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Las tensiones principales son C ± R y la tensión tangencial máxima en el plano es R.
Los ángulos en el círculo son el doble que los ángulos en el elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flecha de la viga

Carga puntual en el centro del vano: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoyada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Voladizo, carga en el extremo: δ = PL³/(3EI)
Voladizo, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposición: δ = δ₁ + δ₂

Pandeo de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Factor de longitud de pandeo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 empotrado–empotrado, 0,7 empotrado–articulado, 2 empotrado–libre
Tensión crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Problemas de práctica

1.Tensión y deformación axialMedia

Halla la deformación axial ε en la barra de cobre, en microdeformaciones (µε = 10⁻⁶).

P = 85 kNd = 10 mmL = 2 mE = 117 GPa

ε = µε

2.Tensión y deformación axialDifícil

Una varilla de acero (diámetro 30 mm, E = 200 GPa, tensión admisible 200 MPa) está dentro de un tubo de cobre (diámetro exterior 120 mm, diámetro interior 70 mm, E = 120 GPa, tensión admisible 80 MPa). Se comprimen juntos entre placas rígidas. Halla la mayor carga P_max.

barra: Ø30 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 200 MPatubo: Ø120/Ø70 mm, E = 120 GPa, σ_allow = 80 MPa

P_max = kN

3.Torsión de ejesMedia

Un eje hueco de latón (diámetro exterior 50 mm, diámetro interior 35 mm, longitud 3 m) está empotrado en un extremo y se tuerce con un par de 1500 N·m en el otro. Halla el ángulo de torsión φ en grados.

T = 1500 N·md_o = 50 mmd_i = 35 mmL = 3 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torsión de ejesDifícil

Un eje hueco transmite 50 kW a 3000 rpm. Halla la tensión cortante máxima τ_max en el eje.

P = 50 kWN = 3000 rpmd_o = 75 mmd_i = 60 mm

τ_max = MPa

5.Cortante y momento flectorMedia

Halla el momento flector M_x en la sección x = 1 m desde el apoyo A. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.

L = 4 mw = 2 kN/m de 0 a 4 mx = 1 m

M_x = kN·m

6.Cortante y momento flectorDifícil

Halla el momento flector M_x en la sección x = 4 m desde el apoyo A. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.

L = 8 mP = 35 kN en 6 mw = 3 kN/m de 0 a 8 mx = 4 m

M_x = kN·m

7.Centroide y momento de inerciaMedia

Halla el momento de inercia I_x de la sección en T respecto al eje horizontal x que pasa por su centroide.

b_f = 260 mmt_f = 30 mmt_w = 10 mmh_w = 260 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centroide y momento de inerciaDifícil

Una viga de fundición tiene la sección en T de la figura, con el ala arriba. Las tensiones admisibles son 35 MPa a tracción y 100 MPa a compresión. Halla el mayor momento flector negativo M_allow que puede soportar la viga (da su valor absoluto).

b_f = 220 mmt_f = 20 mmt_w = 18 mmh_w = 220 mmσ_t,allow = 35 MPaσ_c,allow = 100 MPa

M_allow = kN·m

9.Círculo de Mohr y transformación de tensionesMedia

Un punto de una pieza cargada tiene σₓ = 0 MPa, σᵧ = 50 MPa y τₓᵧ = −40 MPa (tracción positiva). Halla el ángulo θ_p desde el eje x hasta la dirección de la tensión principal mayor, entre −90° y 90°.

σ_x = 0 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = −40 MPa

θ_p = °

10.Círculo de Mohr y transformación de tensionesDifícil

Un eje macizo de 40 mm de diámetro soporta una fuerza axial de tracción de 30 kN junto con un par de 1000 N·m. En la superficie del eje, halla la tensión principal mayor σ₁.

d = 40 mmF = 30 kNT = 1000 N·m

σ₁ = MPa

11.Flecha de la vigaMedia

Un voladizo de longitud L está empotrado en A y soporta una carga puntual P a una distancia a = 1 m de A. Halla la flecha δ_B en el extremo libre B.

P = 9 kNa = 1 mL = 2,5 mE = 11 GPa (madera estructural)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

12.Flecha de la vigaDifícil

Una viga está empotrada en A y simplemente apoyada en B (viga empotrada y apoyada). Soporta una carga uniformemente repartida w en toda su longitud. EI es constante. Halla la reacción R_B en el apoyo B.

L = 5 mw = 4 kN/m

R_B = kN

13.Pandeo de pilaresMedia

Un pilar de longitud L de acero está empotrado en la base y libre arriba. Con la fórmula de Euler, halla su carga crítica de pandeo P_cr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (acero)b × h = 25 × 100 mm

P_cr = kN

14.Pandeo de pilaresDifícil

Un pilar de longitud L de aluminio está empotrado en la base y articulado arriba. Halla su esbeltez y la tensión crítica de pandeo σ_cr con la fórmula de Euler.

L = 2 mE = 70 GPa (aluminio)d = 60 mm

σ_cr = MPa

3Disoluciones

1.Tensión y deformación axial

Respuesta: ε = 9250 µε

Ley de Hooke: en el rango elástico σ = E·ε. Junto con σ = P/A y ε = δ/L se obtiene δ = PL/(AE).

Tensión

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 85·1000/78,54 = 1082 MPa

Deformación (ley de Hooke)

E for cobre = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 1082/117000 = 0,00925 = 9250 µε

Respuesta

ε = 9250 µε

2.Tensión y deformación axial

Respuesta: P_max = 691,2 kN

Dos materiales: en serie (uno tras otro) cada tramo soporta la misma fuerza y los alargamientos se suman: δ = P·Σ L/(E·A). En paralelo (lado a lado entre placas rígidas) ambas partes se acortan lo mismo, así que sus deformaciones unitarias son iguales: la parte más rígida toma la mayor porción, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, y σ_i = E_i·ε. Una barra sujeta entre dos muros rígidos con una carga en la unión es estáticamente indeterminada: los dos tramos se reparten la carga en proporción a su rigidez k = EA/L.

Áreas

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

Rigidez axial combinada

ΣEA = 200·10³·706,9 + 120·10³·7461 = 1,037 × 10⁹ N

Deformación determinante

ε = min(0,001, 0,0006667) = 0,0006667 (cobre)

Mayor carga

P_max = 0,0006667·1,037 × 10⁹ = 691150 N = 691,2 kN

Respuesta

P_max = 691,2 kN

3.Torsión de ejes

Respuesta: φ = 14,18 °

Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τ_max = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω.

Momento polar de inercia

J = π(50⁴ − 35⁴)/32 = 466269 mm⁴

Ángulo de torsión

T = 1500 N·m = 1,5 × 10⁶ N·mm

L = 3 m = 3000 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = TL/(GJ) = 1,5 × 10⁶·3000/(39000·466269) = 0,2475 rad

φ = 0,2475·180/π = 14,18°

Respuesta

φ = 14,18°

4.Torsión de ejes

Respuesta: τ_max = 3,254 MPa

Par

ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314,2 rad/s

T = P/ω = 50000/314,2 = 159,2 N·m

Momento polar de inercia

J = π(75⁴ − 60⁴)/32 = 1,834 × 10⁶ mm⁴

Tensión cortante máxima

τ_max = T·(d_o/2)/J = 159155·37,5/1,834 × 10⁶ = 3,254 MPa

Respuesta

τ_max = 3,254 MPa

5.Cortante y momento flector

Respuesta: M_x = 3 kN·m

Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte.

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la viga.

Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 2·4 = 8 kN, aplicada en x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 2·4·2

R_B = 16/4 = 4 kN

ΣF_y = 0: R_A = 8 − 4 = 4 kN

Corta en x = 1 m y quédate con la parte izquierda

Solo aparecen las fuerzas a la izquierda del corte. Un tramo de carga repartida actúa como una fuerza en el centro de ese tramo.

M = R_A·x − (cada carga a la izquierda del corte × su distancia al corte)

M_x = 4·1 − 2·1·0,5 = 3 kN·m

Respuesta

M_x = 3 kN·m

6.Cortante y momento flector

Respuesta: M_x = 59 kN·m

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la viga.

Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 3·8 = 24 kN, aplicada en x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 35·6 + 3·8·4

R_B = 306/8 = 38,25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 59 − 38,25 = 20,75 kN

Corta en x = 4 m y quédate con la parte izquierda

Solo aparecen las fuerzas a la izquierda del corte. Un tramo de carga repartida actúa como una fuerza en el centro de ese tramo.

M = R_A·x − (cada carga a la izquierda del corte × su distancia al corte)

M_x = 20,75·4 − 3·4·2 = 59 kN·m

Respuesta

M_x = 59 kN·m

7.Centroide y momento de inercia

Respuesta: I_x = 56,23 × 10⁶ mm⁴

Áreas compuestas: divide la sección en rectángulos. El centroide es la media ponderada por áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. El momento de inercia respecto al eje que pasa por el centroide suma el bh³/12 propio de cada parte y su término de Steiner A·d², donde d es la distancia del centroide de la parte al centroide global. La tensión de flexión es σ = M·y/I.

Divide en dos rectángulos

Mide cada y desde el borde inferior.

ala: A_f = 260·30 = 7800 mm², y_f = 260 + 30/2 = 275 mm

alma: A_w = 10·260 = 2600 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (7800·275 + 2600·130)/10400 = 238,8 mm

Teorema de Steiner

ala: 260·30³/12 + 7800·(275 − 238,8)² = 1,083 × 10⁷ mm⁴

alma: 10·260³/12 + 2600·(130 − 238,8)² = 4,54 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,083 × 10⁷ + 4,54 × 10⁷ = 5,623 × 10⁷ mm⁴ = 56,23 × 10⁶ mm⁴

Respuesta

I_x = 56,23 × 10⁶ mm⁴

8.Centroide y momento de inercia

Respuesta: M_allow = 24,16 kN·m

Centroide

ȳ = (4400·230 + 3960·110)/8360 = 173,2 mm

borde superior: c = 240 − 173,2 = 66,84 mm

Momento de inercia

I = 220·20³/12 + 4400·56,84² + 18·220³/12 + 3960·63,16² = 4,613 × 10⁷ mm⁴

Momento admisible por cada borde

Momento negativo: la parte superior está traccionada y la inferior comprimida.

borde superior: M = 35·4,613 × 10⁷/66,84 = 24,16 kN·m

borde inferior: M = 100·4,613 × 10⁷/173,2 = 26,64 kN·m

Valor determinante

M_allow = min = 24,16 kN·m (borde superior)

Respuesta

M_allow = 24,16 kN·m

9.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: θ_p = −61 °

Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R.

Ángulo en el círculo

En el círculo de Mohr, el punto x está a un ángulo 2θp del eje σ; el cuadrante se deduce de los signos de σₓ − σᵧ y τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·−40, 0 − 50) = −122°

Ángulo en el elemento

θ_p = −61°

Respuesta

θ_p = −61°

Los ángulos positivos son en sentido antihorario.

10.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: σ₁ = 92,4 MPa

Tensiones en la superficie

σ = F/A = 30000/(π·40²/4) = 30000/1257 = 23,87 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·1000000/(π·40³) = 79,58 MPa

Círculo de Mohr

C = σ/2 = 11,94 MPa

R = √(11,94² + 79,58²) = 80,47 MPa

σ₁ = C + R = 92,4 MPa

σ₂ = C − R = −68,53 MPa

Respuesta

σ₁ = 92,4 MPa

11.Flecha de la viga

Respuesta: δ_B = 24,62 mm

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 9000 N, a = 1000 mm, L = 2500 mm

EI = 3,96 × 10¹¹ N·mm²

Flecha en el extremo libre

Flecha en la carga más el giro en la carga por la longitud restante.

δ_P = Pa³/(3EI) = 7,576 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,01136 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 24,62 mm

Respuesta

δ_B = 24,62 mm

12.Flecha de la viga

Respuesta: R_B = 7,5 kN

Quita el apoyo adicional

Sin el apoyo adicional la viga es un voladizo. Su extremo libre descendería bajo la carga.

δ_load = wL⁴/(8EI)

Compatibilidad en el apoyo B

La reacción del apoyo R_B por sí sola levanta el extremo libre R_BL³/(3EI). El apoyo mantiene B con flecha nula, así que ambas deben anularse. EI se simplifica.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·4·5/8 = 7,5 kN

Respuesta

R_B = 7,5 kN

13.Pandeo de pilares

Respuesta: P_cr = 10,28 kN

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en P_cr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Menor momento de inercia

Un rectángulo pandea respecto a su eje débil, usando la dimensión menor al cubo.

I_min = h·b³/12 = 100·25³/12 = 130208 mm⁴

Longitud de pandeo

KL = 2·2500 = 5000 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·130208/5000² = 10281 N = 10,28 kN

Respuesta

P_cr = 10,28 kN

14.Pandeo de pilares

Respuesta: σ_cr = 79,31 MPa

Menor momento de inercia

Una sección circular tiene el mismo I respecto a cualquier eje.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Radio de giro y esbeltez

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

KL/r = 1400/15 = 93,33

Tensión crítica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/93,33² = 79,31 MPa

Respuesta

σ_cr = 79,31 MPa

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