Resistencia de materiales: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 14 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Tensión y deformación axial

Tensión normal: σ = F/A
Deformación: ε = ΔL/L
Ley de Hooke: σ = E·ε
Alargamiento: ΔL = FL/(EA)
Deformación térmica: ε_T = α·ΔT

Torsión de ejes

Tensión cortante: τ = T·r/J
Eje macizo: J = πd⁴/32
Eje hueco: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ)
Potencia: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Halla el momento polar de inercia: J = πd⁴/32 para un eje macizo.
Tensión tangencial en la superficie: τ = T·r/J, con r el radio exterior.
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ) en radianes.
Si te dan la potencia, halla primero el par con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cortante y momento flector

Cortante y momento: V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
Tensión de flexión: σ = M·y/I
Rectángulo: I = bh³/12
Módulo resistente: W = I/y_max
Viga biapoyada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.

Centroide y momento de inercia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectángulo: I = bh³/12
Teorema de Steiner: I = I_c + A·d²
Sección compuesta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Radio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensiones principales: σ_1,2 = C ± R
Dirección principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcula el centro del círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcula el radio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Las tensiones principales son C ± R y la tensión tangencial máxima en el plano es R.
Los ángulos en el círculo son el doble que los ángulos en el elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flecha de la viga

Carga puntual en el centro del vano: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoyada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Voladizo, carga en el extremo: δ = PL³/(3EI)
Voladizo, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposición: δ = δ₁ + δ₂

Pandeo de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Factor de longitud de pandeo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 empotrado–empotrado, 0,7 empotrado–articulado, 2 empotrado–libre
Tensión crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Problemas de práctica

1.Tensión y deformación axialMedia

Una barra está formada por un tramo de acero (diámetro 25 mm, longitud 300 mm, E = 200 GPa) unido extremo con extremo a un tramo de bronce (diámetro 40 mm, longitud 300 mm, E = 110 GPa). Está empotrada en un extremo y se tira del otro. Halla la carga axial P que la alarga 0,5 mm en total.

tramo 1: acero, Ø25 mm, 300 mm, E = 200 GPatramo 2: bronce, Ø40 mm, 300 mm, E = 110 GPaδ = 0,5 mm

P = kN

2.Tensión y deformación axialDifícil

Una varilla de acero (diámetro 40 mm, E = 200 GPa, tensión admisible 160 MPa) está dentro de un tubo de aluminio (diámetro exterior 100 mm, diámetro interior 70 mm, E = 70 GPa, tensión admisible 60 MPa). Se comprimen juntos entre placas rígidas. Halla la mayor carga P_max.

barra: Ø40 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 160 MPatubo: Ø100/Ø70 mm, E = 70 GPa, σ_allow = 60 MPa

P_max = kN

3.Torsión de ejesMedia

Un eje macizo escalonado de aluminio está empotrado en A. El tramo AB tiene un diámetro de 75 mm y una longitud de 2 m; el tramo BC tiene un diámetro de 50 mm y una longitud de 1 m. En el extremo libre C actúa un par de 1000 N·m. Halla el ángulo de torsión φ_C del extremo C, en grados.

T = 1000 N·md₁ = 75 mm, L₁ = 2 md₂ = 50 mm, L₂ = 1 mG = 26 GPa

φ_C = °

4.Torsión de ejesDifícil

Un eje hueco transmite 50 kW a 750 rpm. Halla la tensión cortante máxima τ_max en el eje.

P = 50 kWN = 750 rpmd_o = 100 mmd_i = 80 mm

τ_max = MPa

5.Cortante y momento flectorMedia

Las marcas A a G dividen la viga en seis partes iguales. ¿En qué marca es mayor el momento flector en valor absoluto, positivo o negativo? Haz clic en ella en el diagrama.

50 kN @ 4 m6 kN/m, 0–12 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Cortante y momento flectorDifícil

Halla el momento flector M_x en la sección x = 4 m desde el apoyo A. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.

L = 8 mP = 10 kN en 4 mw = 12 kN/m de 0 a 8 mx = 4 m

M_x = kN·m

7.Centroide y momento de inerciaMedia

Una placa de 100 mm × 150 mm tiene un agujero circular de diámetro 40 mm en su línea central vertical, con su centro a 90 mm por encima del fondo. Halla el momento de inercia I_x respecto al eje horizontal que pasa por el centroide.

b = 100 mmh = 150 mmd = 40 mmcentro del agujero: y = 90 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centroide y momento de inerciaDifícil

Una placa de 150 mm × 300 mm tiene un recorte rectangular de 40 mm de ancho y 40 mm de alto, centrado en la línea central vertical con su centro a 195 mm por encima del fondo. Halla el momento de inercia I_x respecto al eje horizontal que pasa por el centroide.

b = 150 mmh = 300 mmrecorte: 40 × 40 mmcentro del agujero: y = 195 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Círculo de Mohr y transformación de tensionesMedia

Un punto de una pieza cargada tiene σₓ = −20 MPa, σᵧ = 70 MPa y τₓᵧ = −10 MPa (tracción positiva). Halla la tensión cortante máxima en el plano τ_max.

σ_x = −20 MPaσ_y = 70 MPaτ_xy = −10 MPa

τ_max = MPa

10.Círculo de Mohr y transformación de tensionesDifícil

Un eje macizo de 40 mm de diámetro soporta una fuerza axial de compresión de 180 kN junto con un par de 750 N·m. En la superficie del eje, halla la tensión principal mayor σ₁.

d = 40 mmF = −180 kNT = 750 N·m

σ₁ = MPa

11.Flecha de la vigaMedia

Una viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida w en toda su luz. Halla la flecha máxima δ_max, en el centro del vano.

w = 10 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (aluminio)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Flecha de la vigaDifícil

Una viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida w. Su flecha no puede superar luz/360. Halla el momento de inercia mínimo I_req que cumple este límite.

w = 6 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (aluminio)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Pandeo de pilaresMedia

Un pilar de longitud L de aluminio está empotrado en la base y articulado arriba. Con la fórmula de Euler, halla su carga crítica de pandeo P_cr.

L = 2 mE = 70 GPa (aluminio)b × h = 50 × 60 mm

P_cr = kN

14.Pandeo de pilaresDifícil

Un pilar macizo circular de longitud L de acero está empotrado en la base y libre arriba. Debe soportar 100 kN con un coeficiente de seguridad de 2 frente al pandeo. Halla el diámetro mínimo d.

P = 100 kNn = 2L = 4 mE = 200 GPa (acero)

d = mm

3Disoluciones

1.Tensión y deformación axial

Respuesta: P = 95,67 kN

Dos materiales: en serie (uno tras otro) cada tramo soporta la misma fuerza y los alargamientos se suman: δ = P·Σ L/(E·A). En paralelo (lado a lado entre placas rígidas) ambas partes se acortan lo mismo, así que sus deformaciones unitarias son iguales: la parte más rígida toma la mayor porción, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, y σ_i = E_i·ε. Una barra sujeta entre dos muros rígidos con una carga en la unión es estáticamente indeterminada: los dos tramos se reparten la carga en proporción a su rigidez k = EA/L.

Áreas

A₁ = 490,9 mm², A₂ = 1257 mm²

Flexibilidades

L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·490,9) = 3,056 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 300/(110000·1257) = 2,17 × 10⁻⁶ mm/N

Carga

P = 0,5/5,226 × 10⁻⁶ = 95674 N = 95,67 kN

Respuesta

P = 95,67 kN

2.Tensión y deformación axial

Respuesta: P_max = 425,4 kN

Áreas

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²

Rigidez axial combinada

ΣEA = 200·10³·1257 + 70·10³·4006 = 5,317 × 10⁸ N

Deformación determinante

ε = min(0,0008, 0,0008571) = 0,0008 (acero)

Mayor carga

P_max = 0,0008·5,317 × 10⁸ = 425372 N = 425,4 kN

Respuesta

P_max = 425,4 kN

3.Torsión de ejes

Respuesta: φ_C = 5,01 °

Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τ_max = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω.

Momentos polares

J₁ = π·75⁴/32 = 3,106 × 10⁶ mm⁴

J₂ = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Torsión de cada tramo

T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ_AB = 1 × 10⁶·2000/(26000·3,106 × 10⁶) = 0,02476 rad

φ_BC = 1 × 10⁶·1000/(26000·613592) = 0,06268 rad

Torsión total

φ_C = 0,02476 + 0,06268 = 0,08745 rad = 5,01°

Respuesta

φ_C = 5,01°

4.Torsión de ejes

Respuesta: τ_max = 5,492 MPa

Par

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 50000/78,54 = 636,6 N·m

Momento polar de inercia

J = π(100⁴ − 80⁴)/32 = 5,796 × 10⁶ mm⁴

Tensión cortante máxima

τ_max = T·(d_o/2)/J = 636620·50/5,796 × 10⁶ = 5,492 MPa

Respuesta

τ_max = 5,492 MPa

5.Cortante y momento flector

Respuesta: C (x = 4 m)

Mayor momento flector: M cambia de pendiente allí donde cambia el esfuerzo cortante, así que sus picos están donde el esfuerzo cortante cruza el cero: bajo una carga puntual, dentro de una carga distribuida, o sobre un apoyo de un voladizo. En el empotramiento de una ménsula, el momento es máximo en la pared. Compara el valor de M en esos lugares, positivo o negativo.

Reacciones en los apoyos

Toma momentos respecto a un apoyo y luego usa el equilibrio de fuerzas verticales.

R₁ = 69,33 kN, R₂ = 52,67 kN

Momento flector en cada marca

Suma los momentos de todas las fuerzas a un lado del corte. El momento positivo hace que la viga se comba hacia abajo; el negativo, hacia arriba.

M_A = 0, M_B = 126,7, M_C = 229,3 kN·m, M_D = 208, M_E = 162,7, M_F = 93,33, M_G = 0

Respuesta

Marca C: M_C = 229,3 kN·m

6.Cortante y momento flector

Respuesta: M_x = 116 kN·m

Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte.

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la viga.

Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 12·8 = 96 kN, aplicada en x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 10·4 + 12·8·4

R_B = 424/8 = 53 kN

ΣF_y = 0: R_A = 106 − 53 = 53 kN

Corta en x = 4 m y quédate con la parte izquierda

Solo aparecen las fuerzas a la izquierda del corte. Un tramo de carga repartida actúa como una fuerza en el centro de ese tramo.

M = R_A·x − (cada carga a la izquierda del corte × su distancia al corte)

M_x = 53·4 − 12·4·2 = 116 kN·m

Respuesta

M_x = 116 kN·m

7.Centroide y momento de inercia

Respuesta: I_x = 27,69 × 10⁶ mm⁴

Secciones con huecos: trata un hueco como un área negativa. El centroide es ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), con A₁, y₁ para la placa completa y A₂, y₂ para el hueco. Para el momento de inercia (segundo momento de área) respecto al eje centroidal, usa el teorema de los ejes paralelos para cada parte y resta el hueco: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), donde d es la distancia del centroide propio de cada parte al eje que pasa por ȳ. Un rectángulo tiene I_c = bh³/12 y un círculo I_c = πd⁴/64.

Centroide

ȳ = (15000·75 − 1257·90)/(15000 − 1257) = 73,63 mm

Placa completa respecto a ȳ

100·150³/12 + 15000·1,372² = 28,15 × 10⁶ mm⁴

Agujero respecto a ȳ

π·40⁴/64 + 1257·16,37² = 0,4625 × 10⁶ mm⁴

Resta

I_x = 27,69 × 10⁶ mm⁴

Respuesta

I_x = 27,69 × 10⁶ mm⁴

8.Centroide y momento de inercia

Respuesta: I_x = 333,9 × 10⁶ mm⁴

Centroide

ȳ = (45000·150 − 1600·195)/(45000 − 1600) = 148,3 mm

Placa completa respecto a ȳ

150·300³/12 + 45000·1,659² = 337,6 × 10⁶ mm⁴

Agujero respecto a ȳ

40·40³/12 + 1600·46,66² = 3,697 × 10⁶ mm⁴

Resta

I_x = 333,9 × 10⁶ mm⁴

Respuesta

I_x = 333,9 × 10⁶ mm⁴

9.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: τ_max = 46,1 MPa

Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R.

Radio del círculo de Mohr

τ_max = R = √(((−20 − 70)/2)² + −10²) = 46,1 MPa

Respuesta

τ_max = 46,1 MPa

10.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: σ₁ = 21,61 MPa

Tensiones en la superficie

σ = F/A = −180000/(π·40²/4) = −180000/1257 = −143,2 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·750000/(π·40³) = 59,68 MPa

Círculo de Mohr

C = σ/2 = −71,62 MPa

R = √((−71,62)² + 59,68²) = 93,23 MPa

σ₁ = C + R = 21,61 MPa

σ₂ = C − R = −164,8 MPa

Respuesta

σ₁ = 21,61 MPa

11.Flecha de la viga

Respuesta: δ_max = 1,794 mm

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

w = 10 N/mm, L = 3000 mm

EI = 5,88 × 10¹² N·mm²

Flecha

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·10·3000⁴/(384·5,88 × 10¹²) = 1,794 mm

Respuesta

δ_max = 1,794 mm

12.Flecha de la viga

Respuesta: I_req = 25,71 × 10⁶ mm⁴

Límite de flecha

δ_allow = L/360 = 4000/360 = 11,11 mm

Momento de inercia necesario

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·6·4000⁴/(384·70000·11,11) = 2,571 × 10⁷ mm⁴

I_req = 25,71 × 10⁶ mm⁴

Respuesta

I_req = 25,71 × 10⁶ mm⁴

13.Pandeo de pilares

Respuesta: P_cr = 220,3 kN

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en P_cr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Menor momento de inercia

Un rectángulo pandea respecto a su eje débil, usando la dimensión menor al cubo.

I_min = h·b³/12 = 60·50³/12 = 625000 mm⁴

Longitud de pandeo

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·625000/1400² = 220304 N = 220,3 kN

Respuesta

P_cr = 220,3 kN

14.Pandeo de pilares

Respuesta: d = 107,2 mm

Carga crítica necesaria

P_cr = n·P = 2·100000 = 200000 N

KL = 2·4000 = 8000 mm

Despeja el diámetro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·200000·8000²/(π³·200000))^(1/4) = 107,2 mm

Respuesta

d = 107,2 mm

Comprobación: la esbeltez KL/r es 298,5, así que el pilar es esbelto y Euler es válido.

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