Tensión y deformación axial
- Tensión normal
- σ = F/A
- Deformación
- ε = ΔL/L
- Ley de Hooke
- σ = E·ε
- Alargamiento
- ΔL = FL/(EA)
- Deformación térmica
- εT = α·ΔT
Resistencia de materiales: pack de repaso
Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 14 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.
1Fórmulas y métodos
Torsión de ejes
- Tensión cortante
- τ = T·r/J
- Eje macizo
- J = πd⁴/32
- Eje hueco
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- Ángulo de torsión
- φ = TL/(GJ)
- Potencia
- P = T·ω = 2πnT/60
Método
- Halla el momento polar de inercia: J = πd⁴/32 para un eje macizo.
- Tensión tangencial en la superficie: τ = T·r/J, con r el radio exterior.
- Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ) en radianes.
- Si te dan la potencia, halla primero el par con P = T·ω, ω = 2πn/60.
Cortante y momento flector
- Cortante y momento
- V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
- Tensión de flexión
- σ = M·y/I
- Rectángulo
- I = bh³/12
- Módulo resistente
- W = I/ymax
- Viga biapoyada, carga uniforme
- Mmax = wL²/8
Método
- Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
- Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
- Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
- Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.
Centroide y momento de inercia
- Centroide
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- Rectángulo
- I = bh³/12
- Teorema de Steiner
- I = Ic + A·d²
- Sección compuesta
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
Círculo de Mohr y transformación de tensiones
- Centro
- C = (σx + σy)/2
- Radio
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- Tensiones principales
- σ1,2 = C ± R
- Dirección principal
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- Plano inclinado
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
Método
- Calcula el centro del círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
- Calcula el radio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- Las tensiones principales son C ± R y la tensión tangencial máxima en el plano es R.
- Los ángulos en el círculo son el doble que los ángulos en el elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
Flecha de la viga
- Carga puntual en el centro del vano
- δ = PL³/(48EI)
- Carga uniforme, viga biapoyada
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- Voladizo, carga en el extremo
- δ = PL³/(3EI)
- Voladizo, carga uniforme
- δ = wL⁴/(8EI)
- Superposición
- δ = δ1 + δ2
Pandeo de pilares
- Carga crítica de Euler
- Pcr = π²EI/(KL)²
- Factor de longitud de pandeo
- K = 1 articulado–articulado, 0,5 empotrado–empotrado, 0,7 empotrado–articulado, 2 empotrado–libre
- Tensión crítica
- σcr = Pcr/A
- Esbeltez
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2Problemas de práctica
1.Tensión y deformación axialMedia
Halla la deformación axial ε en la barra de latón, en microdeformaciones (µε = 10⁻⁶).
P = 65 kNd = 10 mmL = 0,5 mE = 100 GPa
ε = µε
2.Tensión y deformación axialDifícil
La barra escalonada está empotrada en la pared y cargada en su extremo libre. Halla la tensión normal máxima σmax en la barra.
P = 20 kNtramo 1: Ø30 mm, 1,5 m, acero (E = 200 GPa)tramo 2: Ø16 mm, 2 m, cobre (E = 117 GPa)
σmax = MPa
3.Torsión de ejesMedia
En un ensayo de torsión, una probeta maciza de 15 mm de diámetro se tuerce con un par de 30 N·m. Los dos extremos de una longitud de medida de 250 mm giran 2,22° uno respecto al otro (el material sigue en régimen elástico). Halla el módulo de elasticidad transversal G del material.
T = 30 N·md = 15 mmL = 250 mmφ = 2,22°
G = GPa
4.Torsión de ejesDifícil
Un eje hueco transmite 15 kW a 1000 rpm. Halla la tensión cortante máxima τmax en el eje.
P = 15 kWN = 1000 rpmdo = 40 mmdi = 28 mm
τmax = MPa
5.Cortante y momento flectorMedia
Halla el esfuerzo cortante Vx en la sección x = 1 m desde el apoyo A. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.
L = 4 mw = 4 kN/m de 0 a 4 mx = 1 m
Vx = kN
6.Cortante y momento flectorDifícil
Halla el momento flector Mx en la sección x = 3 m desde el apoyo A. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.
L = 10 mP = 30 kN en 9 mw = 8 kN/m de 0 a 10 mx = 3 m
Mx = kN·m
7.Centroide y momento de inerciaMedia
Una placa de 200 mm × 240 mm tiene un agujero circular de diámetro 60 mm en su línea central vertical, con su centro a 168 mm por encima del fondo. Halla el momento de inercia Ix respecto al eje horizontal que pasa por el centroide.
b = 200 mmh = 240 mmd = 60 mmcentro del agujero: y = 168 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Centroide y momento de inerciaDifícil
Una placa de 200 mm × 200 mm tiene un recorte rectangular de 50 mm de ancho y 30 mm de alto, centrado en la línea central vertical con su centro a 70 mm por encima del fondo. Halla el momento de inercia Ix respecto al eje horizontal que pasa por el centroide.
b = 200 mmh = 200 mmrecorte: 50 × 30 mmcentro del agujero: y = 70 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.Círculo de Mohr y transformación de tensionesMedia
Un punto de una pieza cargada tiene σₓ = −20 MPa, σᵧ = −30 MPa y τₓᵧ = 10 MPa (tracción positiva). Halla el ángulo θp desde el eje x hasta la dirección de la tensión principal mayor, entre −90° y 90°.
σx = −20 MPaσy = −30 MPaτxy = 10 MPa
θp = °
10.Círculo de Mohr y transformación de tensionesDifícil
Un punto de una pieza cargada tiene σₓ = −10 MPa, σᵧ = 40 MPa y τₓᵧ = 30 MPa (tracción positiva). Halla la tensión cortante τθ en un plano cuya normal está girada 45° en sentido antihorario respecto al eje x (positiva en el mismo sentido que τₓᵧ).
σx = −10 MPaσy = 40 MPaτxy = 30 MPaθ = 45°
τθ = MPa
11.Flecha de la vigaMedia
Un voladizo soporta una carga uniformemente repartida w en toda su longitud. Halla la flecha δ en el extremo libre.
w = 15 kN/mL = 2,5 mE = 11 GPa (madera estructural)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.Flecha de la vigaDifícil
Una viga está empotrada en A y simplemente apoyada en B (viga empotrada y apoyada). Soporta una carga uniformemente repartida w en toda su longitud. EI es constante. Halla la reacción RB en el apoyo B.
L = 6 mw = 8 kN/m
RB = kN
13.Pandeo de pilaresMedia
Un pilar de longitud L de acero está empotrado en ambos extremos. Con la fórmula de Euler, halla su carga crítica de pandeo Pcr.
L = 3 mE = 200 GPa (acero)b × h = 20 × 80 mm
Pcr = kN
14.Pandeo de pilaresDifícil
Un pilar macizo circular de longitud L de acero está empotrado en la base y articulado arriba. Debe soportar 100 kN con un coeficiente de seguridad de 3 frente al pandeo. Halla el diámetro mínimo d.
P = 100 kNn = 3L = 1,5 mE = 200 GPa (acero)
d = mm
3Disoluciones
1.Tensión y deformación axial
Respuesta: ε = 8276 µε
Ley de Hooke: en el rango elástico σ = E·ε. Junto con σ = P/A y ε = δ/L se obtiene δ = PL/(AE).
Tensión
A = π·10²/4 = 78,54 mm²
σ = P/A = 65·1000/78,54 = 827,6 MPa
Deformación (ley de Hooke)
E for latón = 100 GPa = 100000 MPa.
ε = σ/E = 827,6/100000 = 0,008276 = 8276 µε
Respuesta
ε = 8276 µε
2.Tensión y deformación axial
Respuesta: σmax = 99,47 MPa
Elementos con carga axial: cada tramo prismático cumple δ = PL/(AE). En tramos en serie los alargamientos se suman.
La misma fuerza en ambos tramos
El extremo libre soporta P, así que cada sección de la barra soporta el mismo esfuerzo axial P. Solo cambian las áreas y los materiales.
A1 = π·30²/4 = 706,9 mm², A2 = π·16²/4 = 201,1 mm²
σ1 = 28,29 MPa
σ2 = 99,47 MPa
Tensión máxima
El tramo más delgado tiene menos área, así que soporta la tensión mayor.
σmax = 99,47 MPa
Respuesta
σmax = 99,47 MPa
3.Torsión de ejes
Respuesta: G = 38,95 GPa
Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τmax = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(do⁴ − di⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω.
Momento polar y ángulo
J = π·15⁴/32 = 4970 mm⁴
φ = 2,22·π/180 = 0,03875 rad
Módulo de elasticidad transversal
T = 30 N·m = 30000 N·mm
G = TL/(Jφ) = 30000·250/(4970·0,03875) = 38946 MPa
G = 38,95 GPa
Respuesta
G = 38,95 GPa
Compara: acero ≈ 80 GPa, latón ≈ 39 GPa, aluminio ≈ 26 GPa.
4.Torsión de ejes
Respuesta: τmax = 15 MPa
Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τmax = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(do⁴ − di⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω.
Par
ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s
T = P/ω = 15000/104,7 = 143,2 N·m
Momento polar de inercia
J = π(40⁴ − 28⁴)/32 = 190984 mm⁴
Tensión cortante máxima
τmax = T·(do/2)/J = 143239·20/190984 = 15 MPa
Respuesta
τmax = 15 MPa
5.Cortante y momento flector
Respuesta: Vx = 4 kN
Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte.
Reacciones en los apoyos
Equilibrio de toda la viga.
Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 4·4 = 16 kN, aplicada en x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 4·4·2
RB = 32/4 = 8 kN
ΣFy = 0: RA = 16 − 8 = 8 kN
Corta en x = 1 m y quédate con la parte izquierda
Solo aparecen las fuerzas a la izquierda del corte. Un tramo de carga repartida actúa como una fuerza en el centro de ese tramo.
V = RA − (todas las cargas hacia abajo a la izquierda del corte)
Vx = 8 − 4·1 = 4 kN
Respuesta
Vx = 4 kN
6.Cortante y momento flector
Respuesta: Mx = 93 kN·m
Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte.
Reacciones en los apoyos
Equilibrio de toda la viga.
Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 8·10 = 80 kN, aplicada en x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 30·9 + 8·10·5
RB = 670/10 = 67 kN
ΣFy = 0: RA = 110 − 67 = 43 kN
Corta en x = 3 m y quédate con la parte izquierda
Solo aparecen las fuerzas a la izquierda del corte. Un tramo de carga repartida actúa como una fuerza en el centro de ese tramo.
M = RA·x − (cada carga a la izquierda del corte × su distancia al corte)
Mx = 43·3 − 8·3·1,5 = 93 kN·m
Respuesta
Mx = 93 kN·m
7.Centroide y momento de inercia
Respuesta: Ix = 222,8 × 10⁶ mm⁴
Secciones con huecos: trata un hueco como un área negativa. El centroide es ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), con A₁, y₁ para la placa completa y A₂, y₂ para el hueco. Para el momento de inercia (segundo momento de área) respecto al eje centroidal, usa el teorema de los ejes paralelos para cada parte y resta el hueco: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), donde d es la distancia del centroide propio de cada parte al eje que pasa por ȳ. Un rectángulo tiene Ic = bh³/12 y un círculo Ic = πd⁴/64.
Centroide
ȳ = (48000·120 − 2827·168)/(48000 − 2827) = 117 mm
Placa completa respecto a ȳ
200·240³/12 + 48000·3,004² = 230,8 × 10⁶ mm⁴
Agujero respecto a ȳ
π·60⁴/64 + 2827·51² = 7,992 × 10⁶ mm⁴
Resta
Ix = 222,8 × 10⁶ mm⁴
Respuesta
Ix = 222,8 × 10⁶ mm⁴
8.Centroide y momento de inercia
Respuesta: Ix = 131,8 × 10⁶ mm⁴
Secciones con huecos: trata un hueco como un área negativa. El centroide es ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), con A₁, y₁ para la placa completa y A₂, y₂ para el hueco. Para el momento de inercia (segundo momento de área) respecto al eje centroidal, usa el teorema de los ejes paralelos para cada parte y resta el hueco: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), donde d es la distancia del centroide propio de cada parte al eje que pasa por ȳ. Un rectángulo tiene Ic = bh³/12 y un círculo Ic = πd⁴/64.
Centroide
ȳ = (40000·100 − 1500·70)/(40000 − 1500) = 101,2 mm
Placa completa respecto a ȳ
200·200³/12 + 40000·−1,169² = 133,4 × 10⁶ mm⁴
Agujero respecto a ȳ
50·30³/12 + 1500·−31,17² = 1,57 × 10⁶ mm⁴
Resta
Ix = 131,8 × 10⁶ mm⁴
Respuesta
Ix = 131,8 × 10⁶ mm⁴
9.Círculo de Mohr y transformación de tensiones
Respuesta: θp = 31,72 °
Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R.
Ángulo en el círculo
En el círculo de Mohr, el punto x está a un ángulo 2θp del eje σ; el cuadrante se deduce de los signos de σₓ − σᵧ y τₓᵧ.
2θp = atan2(2·10, −20 − −30) = 63,43°
Ángulo en el elemento
θp = 31,72°
Respuesta
θp = 31,72°
Los ángulos positivos son en sentido antihorario.
10.Círculo de Mohr y transformación de tensiones
Respuesta: τθ = 25 MPa
Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R.
Ecuación de transformación
τθ = −−25·1 + 30·0 = 25 MPa
Respuesta
τθ = 25 MPa
11.Flecha de la viga
Respuesta: δ = 55,49 mm
Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).
Unidades coherentes
Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.
w = 15 N/mm, L = 2500 mm
EI = 1,32 × 10¹² N·mm²
Flecha
δ = wL⁴/(8EI) = 15·2500⁴/(8·1,32 × 10¹²) = 55,49 mm
Respuesta
δ = 55,49 mm
12.Flecha de la viga
Respuesta: RB = 18 kN
Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición). En una viga hiperestática, quita un apoyo redundante e impón que la flecha ahí sea nula (compatibilidad).
Quita el apoyo adicional
Sin el apoyo adicional la viga es un voladizo. Su extremo libre descendería bajo la carga.
δload = wL⁴/(8EI)
Compatibilidad en el apoyo B
La reacción del apoyo RB por sí sola levanta el extremo libre RBL³/(3EI). El apoyo mantiene B con flecha nula, así que ambas deben anularse. EI se simplifica.
RB·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → RB = 3wL/8 = 3·8·6/8 = 18 kN
Respuesta
RB = 18 kN
13.Pandeo de pilares
Respuesta: Pcr = 46,79 kN
Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en Pcr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.
Menor momento de inercia
Un rectángulo pandea respecto a su eje débil, usando la dimensión menor al cubo.
Imin = h·b³/12 = 80·20³/12 = 53333 mm⁴
Longitud de pandeo
KL = 0,5·3000 = 1500 mm
Carga crítica
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·53333/1500² = 46789 N = 46,79 kN
Respuesta
Pcr = 46,79 kN
14.Pandeo de pilares
Respuesta: d = 42,98 mm
Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en Pcr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.
Carga crítica necesaria
Pcr = n·P = 3·100000 = 300000 N
KL = 0,7·1500 = 1050 mm
Despeja el diámetro
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·300000·1050²/(π³·200000))^(1/4) = 42,98 mm
Respuesta
d = 42,98 mm
Comprobación: la esbeltez KL/r es 97,71, así que el pilar es esbelto y Euler es válido.
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