Tensión y deformación axial
- Tensión normal
- σ = F/A
- Deformación
- ε = ΔL/L
- Ley de Hooke
- σ = E·ε
- Alargamiento
- ΔL = FL/(EA)
- Deformación térmica
- εT = α·ΔT
Resistencia de materiales: pack de repaso
Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 14 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.
1Fórmulas y métodos
Torsión de ejes
- Tensión cortante
- τ = T·r/J
- Eje macizo
- J = πd⁴/32
- Eje hueco
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- Ángulo de torsión
- φ = TL/(GJ)
- Potencia
- P = T·ω = 2πnT/60
Método
- Halla el momento polar de inercia: J = πd⁴/32 para un eje macizo.
- Tensión tangencial en la superficie: τ = T·r/J, con r el radio exterior.
- Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ) en radianes.
- Si te dan la potencia, halla primero el par con P = T·ω, ω = 2πn/60.
Cortante y momento flector
- Cortante y momento
- V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
- Tensión de flexión
- σ = M·y/I
- Rectángulo
- I = bh³/12
- Módulo resistente
- W = I/ymax
- Viga biapoyada, carga uniforme
- Mmax = wL²/8
Método
- Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
- Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
- Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
- Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.
Centroide y momento de inercia
- Centroide
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- Rectángulo
- I = bh³/12
- Teorema de Steiner
- I = Ic + A·d²
- Sección compuesta
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
Círculo de Mohr y transformación de tensiones
- Centro
- C = (σx + σy)/2
- Radio
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- Tensiones principales
- σ1,2 = C ± R
- Dirección principal
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- Plano inclinado
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
Método
- Calcula el centro del círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
- Calcula el radio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- Las tensiones principales son C ± R y la tensión tangencial máxima en el plano es R.
- Los ángulos en el círculo son el doble que los ángulos en el elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
Flecha de la viga
- Carga puntual en el centro del vano
- δ = PL³/(48EI)
- Carga uniforme, viga biapoyada
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- Voladizo, carga en el extremo
- δ = PL³/(3EI)
- Voladizo, carga uniforme
- δ = wL⁴/(8EI)
- Superposición
- δ = δ1 + δ2
Pandeo de pilares
- Carga crítica de Euler
- Pcr = π²EI/(KL)²
- Factor de longitud de pandeo
- K = 1 articulado–articulado, 0,5 empotrado–empotrado, 0,7 empotrado–articulado, 2 empotrado–libre
- Tensión crítica
- σcr = Pcr/A
- Esbeltez
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2Problemas de práctica
1.Tensión y deformación axialMedia
Una varilla de acero (diámetro 25 mm, E = 200 GPa) está dentro de un tubo de bronce (diámetro exterior 100 mm, diámetro interior 60 mm, E = 110 GPa). Ambos miden 800 mm de largo y se comprimen juntos entre placas rígidas con 300 kN. Halla el acortamiento δ.
P = 300 kNbarra: Ø25 mm, E = 200 GPatubo: Ø100/Ø60 mm, E = 110 GPaL = 800 mm
δ = mm
2.Tensión y deformación axialDifícil
La barra escalonada está empotrada en la pared y cargada en su extremo libre. Halla la tensión normal máxima σmax en la barra.
P = 55 kNtramo 1: Ø30 mm, 2 m, latón (E = 100 GPa)tramo 2: Ø12 mm, 1,5 m, aluminio (E = 70 GPa)
σmax = MPa
3.Torsión de ejesMedia
En un ensayo de torsión, una probeta maciza de 15 mm de diámetro se tuerce con un par de 30 N·m. Los dos extremos de una longitud de medida de 300 mm giran 1,3° uno respecto al otro (el material sigue en régimen elástico). Halla el módulo de elasticidad transversal G del material.
T = 30 N·md = 15 mmL = 300 mmφ = 1,3°
G = GPa
4.Torsión de ejesDifícil
Un eje hueco transmite 75 kW a 750 rpm. Halla la tensión cortante máxima τmax en el eje.
P = 75 kWN = 750 rpmdo = 100 mmdi = 60 mm
τmax = MPa
5.Cortante y momento flectorMedia
La viga simplemente apoyada soporta dos cargas puntuales. Halla el momento flector máximo Mmax en la viga.
L = 5 mP1 = 45 kN en 2,5 mP2 = 65 kN en 4 m
Mmax = kN·m
6.Cortante y momento flectorDifícil
Halla el momento flector Mx en la sección x = 2 m desde el apoyo A. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.
L = 4 mP = 45 kN en 2 mw = 2 kN/m de 0 a 4 mx = 2 m
Mx = kN·m
7.Centroide y momento de inerciaMedia
Halla el momento de inercia Ix de la sección en T respecto al eje horizontal x que pasa por su centroide.
bf = 220 mmtf = 10 mmtw = 12 mmhw = 120 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Centroide y momento de inerciaDifícil
Una sección en I simétrica tiene alas de 230 mm de ancho y 20 mm de espesor, un canto total de 300 mm y un alma de 14 mm de espesor. Soporta un momento flector de 40 kN·m respecto al eje x. Halla el valor de la tensión de flexión σj en la unión del alma con el ala superior.
B = 230 mmH = 300 mmtf = 20 mmtw = 14 mmM = 40 kN·m
σj = MPa
9.Círculo de Mohr y transformación de tensionesMedia
Un punto de una pieza cargada tiene σₓ = 120 MPa, σᵧ = −50 MPa y τₓᵧ = 50 MPa (tracción positiva). Halla la tensión cortante máxima en el plano τmax.
σx = 120 MPaσy = −50 MPaτxy = 50 MPa
τmax = MPa
10.Círculo de Mohr y transformación de tensionesDifícil
Un punto de una pieza cargada tiene σₓ = −80 MPa, σᵧ = −20 MPa y τₓᵧ = 10 MPa (tracción positiva). Halla la tensión cortante τθ en un plano cuya normal está girada 35° en sentido antihorario respecto al eje x (positiva en el mismo sentido que τₓᵧ).
σx = −80 MPaσy = −20 MPaτxy = 10 MPaθ = 35°
τθ = MPa
11.Flecha de la vigaMedia
Un voladizo soporta una carga uniformemente repartida w en toda su longitud. Halla la flecha δ en el extremo libre.
w = 10 kN/mL = 1,5 mE = 70 GPa (aluminio)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.Flecha de la vigaDifícil
Una viga simplemente apoyada soporta dos cargas puntuales iguales P en sus tercios de la luz (a L/3 de cada apoyo). Usando superposición, halla la flecha en el centro δmax.
P = 2 kNL = 6 mE = 200 GPa (acero)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.Pandeo de pilaresMedia
Un pilar de longitud L de acero está empotrado en ambos extremos. Con la fórmula de Euler, halla su carga crítica de pandeo Pcr.
L = 3 mE = 200 GPa (acero)d = 30 mm
Pcr = kN
14.Pandeo de pilaresDifícil
Un pilar macizo circular de longitud L de acero está empotrado en la base y articulado arriba. Debe soportar 35 kN con un coeficiente de seguridad de 2 frente al pandeo. Halla el diámetro mínimo d.
P = 35 kNn = 2L = 2 mE = 200 GPa (acero)
d = mm
3Disoluciones
1.Tensión y deformación axial
Respuesta: δ = 0,3686 mm
Dos materiales: en serie (uno tras otro) cada tramo soporta la misma fuerza y los alargamientos se suman: δ = P·Σ L/(E·A). En paralelo (lado a lado entre placas rígidas) ambas partes se acortan lo mismo, así que sus deformaciones unitarias son iguales: la parte más rígida toma la mayor porción, Pi = P·EiAi/ΣEA, y σi = Ei·ε. Una barra sujeta entre dos muros rígidos con una carga en la unión es estáticamente indeterminada: los dos tramos se reparten la carga en proporción a su rigidez k = EA/L.
Áreas
Ar = π·25²/4 = 490,9 mm²
At = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²
Rigidez axial combinada
ΣEA = 200·10³·490,9 + 110·10³·5027 = 6,511 × 10⁸ N
Acortamiento
δ = 300000·800/6,511 × 10⁸ = 0,3686 mm
Respuesta
δ = 0,3686 mm
2.Tensión y deformación axial
Respuesta: σmax = 486,3 MPa
Elementos con carga axial: cada tramo prismático cumple δ = PL/(AE). En tramos en serie los alargamientos se suman.
La misma fuerza en ambos tramos
El extremo libre soporta P, así que cada sección de la barra soporta el mismo esfuerzo axial P. Solo cambian las áreas y los materiales.
A1 = π·30²/4 = 706,9 mm², A2 = π·12²/4 = 113,1 mm²
σ1 = 77,81 MPa
σ2 = 486,3 MPa
Tensión máxima
El tramo más delgado tiene menos área, así que soporta la tensión mayor.
σmax = 486,3 MPa
Respuesta
σmax = 486,3 MPa
3.Torsión de ejes
Respuesta: G = 79,81 GPa
Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τmax = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(do⁴ − di⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω.
Momento polar y ángulo
J = π·15⁴/32 = 4970 mm⁴
φ = 1,3·π/180 = 0,02269 rad
Módulo de elasticidad transversal
T = 30 N·m = 30000 N·mm
G = TL/(Jφ) = 30000·300/(4970·0,02269) = 79810 MPa
G = 79,81 GPa
Respuesta
G = 79,81 GPa
Compara: acero ≈ 80 GPa, latón ≈ 39 GPa, aluminio ≈ 26 GPa.
4.Torsión de ejes
Respuesta: τmax = 5,588 MPa
Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τmax = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(do⁴ − di⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω.
Par
ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s
T = P/ω = 75000/78,54 = 954,9 N·m
Momento polar de inercia
J = π(100⁴ − 60⁴)/32 = 8,545 × 10⁶ mm⁴
Tensión cortante máxima
τmax = T·(do/2)/J = 954930·50/8,545 × 10⁶ = 5,588 MPa
Respuesta
τmax = 5,588 MPa
5.Cortante y momento flector
Respuesta: Mmax = 88,75 kN·m
Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte. Momento máximo: como dM/dx = V, el momento flector alcanza su máximo donde el cortante pasa por cero, ya sea en una carga puntual o dentro de una carga repartida.
Reacciones en los apoyos
Equilibrio de toda la viga.
ΣMA = 0: RB·5 = 45·2,5 + 65·4
RB = 372,5/5 = 74,5 kN
ΣFy = 0: RA = 110 − 74,5 = 35,5 kN
Momento bajo cada carga
Quédate con la parte a la izquierda de cada carga.
bajo P1: M = RA·2,5 = 35,5·2,5 = 88,75 kN·m
bajo P2: M = RB·1 = 74,5·1 = 74,5 kN·m
Valor máximo
Mmax = 88,75 kN·m (bajo P1)
Respuesta
Mmax = 88,75 kN·m
6.Cortante y momento flector
Respuesta: Mx = 49 kN·m
Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte.
Reacciones en los apoyos
Equilibrio de toda la viga.
Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 2·4 = 8 kN, aplicada en x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 45·2 + 2·4·2
RB = 106/4 = 26,5 kN
ΣFy = 0: RA = 53 − 26,5 = 26,5 kN
Corta en x = 2 m y quédate con la parte izquierda
Solo aparecen las fuerzas a la izquierda del corte. Un tramo de carga repartida actúa como una fuerza en el centro de ese tramo.
M = RA·x − (cada carga a la izquierda del corte × su distancia al corte)
Mx = 26,5·2 − 2·2·1 = 49 kN·m
Respuesta
Mx = 49 kN·m
7.Centroide y momento de inercia
Respuesta: Ix = 5,423 × 10⁶ mm⁴
Áreas compuestas: divide la sección en rectángulos. El centroide es la media ponderada por áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. El momento de inercia respecto al eje que pasa por el centroide suma el bh³/12 propio de cada parte y su término de Steiner A·d², donde d es la distancia del centroide de la parte al centroide global. La tensión de flexión es σ = M·y/I.
Divide en dos rectángulos
Mide cada y desde el borde inferior.
ala: Af = 220·10 = 2200 mm², yf = 120 + 10/2 = 125 mm
alma: Aw = 12·120 = 1440 mm², yw = 120/2 = 60 mm
Centroide
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (2200·125 + 1440·60)/3640 = 99,29 mm
Teorema de Steiner
ala: 220·10³/12 + 2200·(125 − 99,29)² = 1,473 × 10⁶ mm⁴
alma: 12·120³/12 + 1440·(60 − 99,29)² = 3,95 × 10⁶ mm⁴
Ix = 1,473 × 10⁶ + 3,95 × 10⁶ = 5,423 × 10⁶ mm⁴ = 5,423 × 10⁶ mm⁴
Respuesta
Ix = 5,423 × 10⁶ mm⁴
8.Centroide y momento de inercia
Respuesta: σj = 25,85 MPa
Áreas compuestas: divide la sección en rectángulos. El centroide es la media ponderada por áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. El momento de inercia respecto al eje que pasa por el centroide suma el bh³/12 propio de cada parte y su término de Steiner A·d², donde d es la distancia del centroide de la parte al centroide global. La tensión de flexión es σ = M·y/I.
Rectángulo exterior menos los dos huecos laterales
Los dos huecos juntos miden (B − tw) de ancho y hw = H − 2tf de alto, y comparten el eje x.
hw = 300 − 2·20 = 260 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (230·300³ − 216·260³)/12
Ix = 2,011 × 10⁸ mm⁴
Tensión de flexión
y = 150 − 20 = 130 mm
σ = M·y/I = 4 × 10⁷·130/2,011 × 10⁸ = 25,85 MPa
Respuesta
σj = 25,85 MPa
9.Círculo de Mohr y transformación de tensiones
Respuesta: τmax = 98,62 MPa
Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R.
Radio del círculo de Mohr
τmax = R = √(((120 − −50)/2)² + 50²) = 98,62 MPa
Respuesta
τmax = 98,62 MPa
10.Círculo de Mohr y transformación de tensiones
Respuesta: τθ = 31,61 MPa
Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R.
Ecuación de transformación
τθ = −−30·0,9397 + 10·0,342 = 31,61 MPa
Respuesta
τθ = 31,61 MPa
11.Flecha de la viga
Respuesta: δ = 3,931 mm
Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).
Unidades coherentes
Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.
w = 10 N/mm, L = 1500 mm
EI = 1,61 × 10¹² N·mm²
Flecha
δ = wL⁴/(8EI) = 10·1500⁴/(8·1,61 × 10¹²) = 3,931 mm
Respuesta
δ = 3,931 mm
12.Flecha de la viga
Respuesta: δmax = 6,389 mm
Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).
Unidades coherentes
Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.
P = 2000 N, L = 6000 mm
EI = 2,4 × 10¹² N·mm²
Una carga en L/3
δ₁ = Pb(3L² − 4b²)/(48EI), b = L/3 = 2000 mm
δ₁ = 3,194 mm
Suma ambas cargas
δmax = 2·δ₁ = 23PL³/(648EI) = 6,389 mm
Respuesta
δmax = 6,389 mm
13.Pandeo de pilares
Respuesta: Pcr = 34,88 kN
Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en Pcr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.
Menor momento de inercia
Una sección circular tiene el mismo I respecto a cualquier eje.
I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴
Longitud de pandeo
KL = 0,5·3000 = 1500 mm
Carga crítica
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/1500² = 34882 N = 34,88 kN
Respuesta
Pcr = 34,88 kN
14.Pandeo de pilares
Respuesta: d = 34,5 mm
Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en Pcr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.
Carga crítica necesaria
Pcr = n·P = 2·35000 = 70000 N
KL = 0,7·2000 = 1400 mm
Despeja el diámetro
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·70000·1400²/(π³·200000))^(1/4) = 34,5 mm
Respuesta
d = 34,5 mm
Comprobación: la esbeltez KL/r es 162,3, así que el pilar es esbelto y Euler es válido.
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