Resistencia de materiales: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 14 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Tensión y deformación axial

Tensión normal: σ = F/A
Deformación: ε = ΔL/L
Ley de Hooke: σ = E·ε
Alargamiento: ΔL = FL/(EA)
Deformación térmica: ε_T = α·ΔT

Torsión de ejes

Tensión cortante: τ = T·r/J
Eje macizo: J = πd⁴/32
Eje hueco: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ)
Potencia: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Halla el momento polar de inercia: J = πd⁴/32 para un eje macizo.
Tensión tangencial en la superficie: τ = T·r/J, con r el radio exterior.
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ) en radianes.
Si te dan la potencia, halla primero el par con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cortante y momento flector

Cortante y momento: V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
Tensión de flexión: σ = M·y/I
Rectángulo: I = bh³/12
Módulo resistente: W = I/y_max
Viga biapoyada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.

Centroide y momento de inercia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectángulo: I = bh³/12
Teorema de Steiner: I = I_c + A·d²
Sección compuesta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Radio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensiones principales: σ_1,2 = C ± R
Dirección principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcula el centro del círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcula el radio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Las tensiones principales son C ± R y la tensión tangencial máxima en el plano es R.
Los ángulos en el círculo son el doble que los ángulos en el elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flecha de la viga

Carga puntual en el centro del vano: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoyada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Voladizo, carga en el extremo: δ = PL³/(3EI)
Voladizo, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposición: δ = δ₁ + δ₂

Pandeo de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Factor de longitud de pandeo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 empotrado–empotrado, 0,7 empotrado–articulado, 2 empotrado–libre
Tensión crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Problemas de práctica

1.Tensión y deformación axialMedia

Halla la deformación axial ε en la barra de latón, en microdeformaciones (µε = 10⁻⁶).

P = 120 kNd = 16 mmL = 1 mE = 100 GPa

ε = µε

2.Tensión y deformación axialDifícil

Una varilla de acero (diámetro 40 mm, E = 200 GPa, tensión admisible 120 MPa) está dentro de un tubo de aluminio (diámetro exterior 120 mm, diámetro interior 60 mm, E = 70 GPa, tensión admisible 70 MPa). Se comprimen juntos entre placas rígidas. Halla la mayor carga P_max.

barra: Ø40 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 120 MPatubo: Ø120/Ø60 mm, E = 70 GPa, σ_allow = 70 MPa

P_max = kN

3.Torsión de ejesMedia

Un eje hueco de acero (diámetro exterior 40 mm, diámetro interior 30 mm, longitud 1,2 m) está empotrado en un extremo y se tuerce con un par de 750 N·m en el otro. Halla el ángulo de torsión φ en grados.

T = 750 N·md_o = 40 mmd_i = 30 mmL = 1,2 mG = 80 GPa

φ = °

4.Torsión de ejesDifícil

Un eje macizo de latón de 50 mm de diámetro está empotrado en A. En B, a 1,2 m de A, actúa un par de 2000 N·m, y en el extremo libre C, 1,5 m más allá, actúa un par de 1000 N·m en sentido contrario. Halla el valor del ángulo de torsión φ_C del extremo C, en grados.

d = 50 mmT_B = 2000 N·mT_C = 1000 N·mAB = 1,2 mBC = 1,5 mG = 39 GPa

φ_C = °

5.Cortante y momento flectorMedia

Las marcas A a G dividen la viga en seis partes iguales. ¿En qué marca es mayor el momento flector en valor absoluto, positivo o negativo? Haz clic en ella en el diagrama.

20 kN @ 4 m25 kN @ 5 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Cortante y momento flectorDifícil

Las marcas A a G dividen la viga en seis partes iguales. ¿En qué marca es mayor el momento flector en valor absoluto, positivo o negativo? Haz clic en ella en el diagrama.

15 kN @ 0 m25 kN @ 12 m30 kN @ 8 m6 kN/m, 2–10 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Centroide y momento de inerciaMedia

Halla el momento de inercia I_x de la sección en T respecto al eje horizontal x que pasa por su centroide.

b_f = 220 mmt_f = 15 mmt_w = 20 mmh_w = 100 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centroide y momento de inerciaDifícil

Una sección en I soldada tiene un ala superior de 140 × 10 mm, un alma de 150 mm de alto y 14 mm de espesor, y un ala inferior de 300 × 14 mm (ancho × espesor). Halla su momento de inercia I_x respecto al eje horizontal x que pasa por su centroide.

ala superior: 140 × 10 mmalma: 14 × 150 mmala inferior: 300 × 14 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Círculo de Mohr y transformación de tensionesMedia

En un punto σₓ = 50 MPa, σᵧ = 70 MPa y τₓᵧ = −60 MPa (tracción positiva). Halla el ángulo θ_s, entre −90° y 90°, desde el eje x hasta la normal del plano en el que la tensión cortante tiene su valor positivo máximo +R (cortante positivo en el mismo sentido que τₓᵧ).

σ_x = 50 MPaσ_y = 70 MPaτ_xy = −60 MPa

θ_s = °

10.Círculo de Mohr y transformación de tensionesDifícil

Un depósito cilíndrico de pared delgada, con un diámetro interior de 500 mm y un espesor de pared de 12 mm, contiene gas a una presión manométrica de 1,5 MPa. Está fabricado con chapa soldada a lo largo de una costura helicoidal a 30° del eje del cilindro. Halla la tensión normal σ_n que actúa perpendicularmente a la costura de soldadura.

D = 500 mmt = 12 mmp = 1,5 MPaα = 30°

σ_n = MPa

11.Flecha de la vigaMedia

Un voladizo soporta una carga uniformemente repartida w en toda su longitud y una carga puntual P en su extremo libre. Usando superposición, halla la flecha δ en el extremo libre.

P = 14 kNw = 5 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (aluminio)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Flecha de la vigaDifícil

Una viga simplemente apoyada soporta una carga puntual P a b = 2,5 m del apoyo B. Halla la flecha δ_mid en el centro del vano.

P = 19 kNb = 2,5 mL = 6 mE = 200 GPa (acero)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_mid = mm

13.Pandeo de pilaresMedia

Un pilar de longitud L de aluminio está articulado en ambos extremos. Con la fórmula de Euler, halla su carga crítica de pandeo P_cr.

L = 3 mE = 70 GPa (aluminio)b × h = 40 × 100 mm

P_cr = kN

14.Pandeo de pilaresDifícil

Un pilar macizo circular de longitud L de aluminio está empotrado en la base y articulado arriba. Debe soportar 95 kN con un coeficiente de seguridad de 3 frente al pandeo. Halla el diámetro mínimo d.

P = 95 kNn = 3L = 6 mE = 70 GPa (aluminio)

d = mm

3Disoluciones

1.Tensión y deformación axial

Respuesta: ε = 5968 µε

Ley de Hooke: en el rango elástico σ = E·ε. Junto con σ = P/A y ε = δ/L se obtiene δ = PL/(AE).

Tensión

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 120·1000/201,1 = 596,8 MPa

Deformación (ley de Hooke)

E for latón = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 596,8/100000 = 0,005968 = 5968 µε

Respuesta

ε = 5968 µε

2.Tensión y deformación axial

Respuesta: P_max = 507,1 kN

Dos materiales: en serie (uno tras otro) cada tramo soporta la misma fuerza y los alargamientos se suman: δ = P·Σ L/(E·A). En paralelo (lado a lado entre placas rígidas) ambas partes se acortan lo mismo, así que sus deformaciones unitarias son iguales: la parte más rígida toma la mayor porción, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, y σ_i = E_i·ε. Una barra sujeta entre dos muros rígidos con una carga en la unión es estáticamente indeterminada: los dos tramos se reparten la carga en proporción a su rigidez k = EA/L.

Áreas

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

Rigidez axial combinada

ΣEA = 200·10³·1257 + 70·10³·8482 = 8,451 × 10⁸ N

Deformación determinante

ε = min(0,0006, 0,001) = 0,0006 (acero)

Mayor carga

P_max = 0,0006·8,451 × 10⁸ = 507053 N = 507,1 kN

Respuesta

P_max = 507,1 kN

3.Torsión de ejes

Respuesta: φ = 3,752 °

Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τ_max = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω.

Momento polar de inercia

J = π(40⁴ − 30⁴)/32 = 171806 mm⁴

Ángulo de torsión

T = 750 N·m = 750000 N·mm

L = 1,2 m = 1200 mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ = TL/(GJ) = 750000·1200/(80000·171806) = 0,06548 rad

φ = 0,06548·180/π = 3,752°

Respuesta

φ = 3,752°

4.Torsión de ejes

Respuesta: φ_C = 0,7183 °

Pares internos

Se toma positivo el sentido de T_C.

T_BC = T_C = 1000 N·m

T_AB = T_C − T_B = 1000 − 2000 = −1000 N·m

Torsión de cada tramo

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_AB = −1 × 10⁶·1200/(39000·613592) = −0,05015 rad

φ_BC = 1 × 10⁶·1500/(39000·613592) = 0,06268 rad

Torsión del extremo C

φ_C = −0,05015 + 0,06268 = 0,01254 rad → |φ_C| = 0,7183°

Respuesta

φ_C = 0,7183°

5.Cortante y momento flector

Respuesta: E (x = 4 m)

Mayor momento flector: M cambia de pendiente allí donde cambia el esfuerzo cortante, así que sus picos están donde el esfuerzo cortante cruza el cero: bajo una carga puntual, dentro de una carga distribuida, o sobre un apoyo de un voladizo. En el empotramiento de una ménsula, el momento es máximo en la pared. Compara el valor de M en esos lugares, positivo o negativo.

Reacciones en los apoyos

Toma momentos respecto a un apoyo y luego usa el equilibrio de fuerzas verticales.

R₁ = 10,83 kN, R₂ = 34,17 kN

Momento flector en cada marca

Suma los momentos de todas las fuerzas a un lado del corte. El momento positivo hace que la viga se comba hacia abajo; el negativo, hacia arriba.

M_A = 0, M_B = 10,83, M_C = 21,67, M_D = 32,5, M_E = 43,33 kN·m, M_F = 34,17, M_G = 0

Respuesta

Marca E: M_E = 43,33 kN·m

6.Cortante y momento flector

Respuesta: F (x = 10 m)

Reacciones en los apoyos

Toma momentos respecto a un apoyo y luego usa el equilibrio de fuerzas verticales.

R₁ = 44 kN, R₂ = 74 kN

Momento flector en cada marca

Suma los momentos de todas las fuerzas a un lado del corte. El momento positivo hace que la viga se comba hacia abajo; el negativo, hacia arriba.

M_A = 0, M_B = −30, M_C = 16, M_D = 38, M_E = 36, M_F = −50 kN·m, M_G = 0

Respuesta

Marca F: M_F = −50 kN·m

7.Centroide y momento de inercia

Respuesta: I_x = 5,846 × 10⁶ mm⁴

Áreas compuestas: divide la sección en rectángulos. El centroide es la media ponderada por áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. El momento de inercia respecto al eje que pasa por el centroide suma el bh³/12 propio de cada parte y su término de Steiner A·d², donde d es la distancia del centroide de la parte al centroide global. La tensión de flexión es σ = M·y/I.

Divide en dos rectángulos

Mide cada y desde el borde inferior.

ala: A_f = 220·15 = 3300 mm², y_f = 100 + 15/2 = 107,5 mm

alma: A_w = 20·100 = 2000 mm², y_w = 100/2 = 50 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3300·107,5 + 2000·50)/5300 = 85,8 mm

Teorema de Steiner

ala: 220·15³/12 + 3300·(107,5 − 85,8)² = 1,616 × 10⁶ mm⁴

alma: 20·100³/12 + 2000·(50 − 85,8)² = 4,23 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1,616 × 10⁶ + 4,23 × 10⁶ = 5,846 × 10⁶ mm⁴ = 5,846 × 10⁶ mm⁴

Respuesta

I_x = 5,846 × 10⁶ mm⁴

8.Centroide y momento de inercia

Respuesta: I_x = 34,2 × 10⁶ mm⁴

Divide en tres rectángulos

Mide cada y desde el borde inferior.

ala superior: A = 1400 mm², y = 169 mm

alma: A = 2100 mm², y = 89 mm

ala inferior: A = 4200 mm², y = 7 mm

Centroide

ȳ = (1400·169 + 2100·89 + 4200·7)/7700 = 58,82 mm

Teorema de Steiner

ala superior: 140·10³/12 + 1400·110,2² = 1,701 × 10⁷ mm⁴

alma: 14·150³/12 + 2100·30,18² = 5,85 × 10⁶ mm⁴

ala inferior: 300·14³/12 + 4200·51,82² = 1,135 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,701 × 10⁷ + 5,85 × 10⁶ + 1,135 × 10⁷

I_x = 3,42 × 10⁷ mm⁴ = 34,2 × 10⁶ mm⁴

Respuesta

I_x = 34,2 × 10⁶ mm⁴

9.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: θ_s = 85,27 °

Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R.

Ángulo en el círculo

En el círculo de Mohr el punto más alto (+R) está a 90° del punto principal σ₁; en el elemento eso son 45°.

cos 2θ_s = −60/60,83 = −0,9864, sin 2θ_s = −(−10)/60,83 = 0,1644

2θ_s = atan2(10, −60) = 170,5°

Ángulo en el elemento

θ_s = 85,27°

comprobación: θ_s − θ_p = 85,27 − (−49,73) = 135°

Respuesta

θ_s = 85,27°

Los ángulos positivos son en sentido antihorario.

10.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: σ_n = 27,34 MPa

Tensiones en la pared

r = 500/2 = 250 mm

σ_h = pr/t = 1,5·250/12 = 31,25 MPa

σ_a = pr/(2t) = 15,63 MPa

Transforma a la costura

Toma x a lo largo del eje (σ_a) e y en dirección circunferencial (σ_h). La normal de la costura forma 90° − α con el eje.

σ_n = 15,63·sin²30° + 31,25·cos²30° = 27,34 MPa

Respuesta

σ_n = 27,34 MPa

11.Flecha de la viga

Respuesta: δ = 4,226 mm

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 14000 N, w = 5 N/mm, L = 2000 mm

EI = 1,12 × 10¹³ N·mm²

Cada carga por separado

δ_P = PL³/(3EI) = 14000·2000³/(3·1,12 × 10¹³) = 3,333 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 5·2000⁴/(8·1,12 × 10¹³) = 0,8929 mm

Súmalas

δ = 3,333 + 0,8929 = 4,226 mm

Respuesta

δ = 4,226 mm

12.Flecha de la viga

Respuesta: δ_mid = 3,422 mm

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 19000 N, b = 2500 mm, L = 6000 mm

EI = 2,4 × 10¹³ N·mm²

Flecha en el centro del vano

δ_mid = Pb(3L² − 4b²)/(48EI) = 19000·2500·(3·6000² − 4·2500²)/(48·2,4 × 10¹³) = 3,422 mm

Respuesta

δ_mid = 3,422 mm

13.Pandeo de pilares

Respuesta: P_cr = 40,94 kN

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en P_cr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Menor momento de inercia

Un rectángulo pandea respecto a su eje débil, usando la dimensión menor al cubo.

I_min = h·b³/12 = 100·40³/12 = 533333 mm⁴

Longitud de pandeo

KL = 1·3000 = 3000 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·533333/3000² = 40941 N = 40,94 kN

Respuesta

P_cr = 40,94 kN

14.Pandeo de pilares

Respuesta: d = 110,3 mm

Carga crítica necesaria

P_cr = n·P = 3·95000 = 285000 N

KL = 0,7·6000 = 4200 mm

Despeja el diámetro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·285000·4200²/(π³·70000))^(1/4) = 110,3 mm

Respuesta

d = 110,3 mm

Comprobación: la esbeltez KL/r es 152,3, así que el pilar es esbelto y Euler es válido.

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