Resistencia de materiales: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 14 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Tensión y deformación axial

Tensión normal: σ = F/A
Deformación: ε = ΔL/L
Ley de Hooke: σ = E·ε
Alargamiento: ΔL = FL/(EA)
Deformación térmica: ε_T = α·ΔT

Torsión de ejes

Tensión cortante: τ = T·r/J
Eje macizo: J = πd⁴/32
Eje hueco: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ)
Potencia: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Halla el momento polar de inercia: J = πd⁴/32 para un eje macizo.
Tensión tangencial en la superficie: τ = T·r/J, con r el radio exterior.
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ) en radianes.
Si te dan la potencia, halla primero el par con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cortante y momento flector

Cortante y momento: V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
Tensión de flexión: σ = M·y/I
Rectángulo: I = bh³/12
Módulo resistente: W = I/y_max
Viga biapoyada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.

Centroide y momento de inercia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectángulo: I = bh³/12
Teorema de Steiner: I = I_c + A·d²
Sección compuesta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Radio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensiones principales: σ_1,2 = C ± R
Dirección principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcula el centro del círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcula el radio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Las tensiones principales son C ± R y la tensión tangencial máxima en el plano es R.
Los ángulos en el círculo son el doble que los ángulos en el elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flecha de la viga

Carga puntual en el centro del vano: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoyada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Voladizo, carga en el extremo: δ = PL³/(3EI)
Voladizo, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposición: δ = δ₁ + δ₂

Pandeo de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Factor de longitud de pandeo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 empotrado–empotrado, 0,7 empotrado–articulado, 2 empotrado–libre
Tensión crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Problemas de práctica

1.Tensión y deformación axialMedia

Halla el alargamiento δ de la barra de latón bajo la carga axial.

P = 105 kNd = 12 mmL = 0,5 mE = 100 GPa

δ = mm

2.Tensión y deformación axialDifícil

Una varilla de acero (diámetro 30 mm, E = 200 GPa, tensión admisible 160 MPa) está dentro de un tubo de latón (diámetro exterior 100 mm, diámetro interior 50 mm, E = 100 GPa, tensión admisible 60 MPa). Se comprimen juntos entre placas rígidas. Halla la mayor carga P_max.

barra: Ø30 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 160 MPatubo: Ø100/Ø50 mm, E = 100 GPa, σ_allow = 60 MPa

P_max = kN

3.Torsión de ejesMedia

Un eje macizo de latón está empotrado en la pared y se tuerce con un par T en su extremo libre. Halla el ángulo de torsión φ del extremo libre, en grados.

T = 750 N·md = 25 mmL = 0,8 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torsión de ejesDifícil

Un eje hueco debe transmitir 5 kW a 750 rpm. Su diámetro interior debe ser 0,6 veces su diámetro exterior, y la tensión cortante no debe superar 75 MPa. Halla el diámetro exterior mínimo d_o.

P = 5 kWN = 750 rpmd_i/d_o = 0,6τ_allow = 75 MPa

d_o = mm

5.Cortante y momento flectorMedia

Halla el momento flector M_x en la sección x = 0,5 m desde el apoyo A. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.

L = 6 mw = 6 kN/m de 0 a 6 mx = 0,5 m

M_x = kN·m

6.Cortante y momento flectorDifícil

Las marcas A a G dividen la viga en seis partes iguales. ¿En qué marca es mayor el momento flector en valor absoluto, positivo o negativo? Haz clic en ella en el diagrama.

45 kN @ 0 m40 kN @ 12 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Centroide y momento de inerciaMedia

Una sección en I simétrica tiene alas de 100 mm de ancho y 22 mm de espesor, un canto total de 320 mm y un alma de 6 mm de espesor. Halla su momento de inercia I_x respecto al eje centroidal horizontal x.

B = 100 mmH = 320 mmt_f = 22 mmt_w = 6 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centroide y momento de inerciaDifícil

La sección en T se usa como viga con el ala arriba y soporta un momento flector positivo de 25 kN·m. Halla la tensión de flexión σ_inferior en el borde inferior.

b_f = 200 mmt_f = 20 mmt_w = 14 mmh_w = 300 mmM = 25 kN·m

σ_inferior = MPa

9.Círculo de Mohr y transformación de tensionesMedia

Un punto de una pieza cargada tiene σₓ = −40 MPa, σᵧ = 110 MPa y τₓᵧ = −20 MPa (tracción positiva). Halla el ángulo θ_p desde el eje x hasta la dirección de la tensión principal mayor, entre −90° y 90°.

σ_x = −40 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = −20 MPa

θ_p = °

10.Círculo de Mohr y transformación de tensionesDifícil

Un punto de una pieza cargada tiene σₓ = 130 MPa, σᵧ = 0 MPa y τₓᵧ = −10 MPa (tracción positiva). Halla la tensión cortante τ_θ en un plano cuya normal está girada 60° en sentido antihorario respecto al eje x (positiva en el mismo sentido que τₓᵧ).

σ_x = 130 MPaσ_y = 0 MPaτ_xy = −10 MPaθ = 60°

τ_θ = MPa

11.Flecha de la vigaMedia

Un voladizo de longitud L está empotrado en A y soporta una carga puntual P a una distancia a = 1 m de A. Halla la flecha δ_B en el extremo libre B.

P = 3 kNa = 1 mL = 4 mE = 200 GPa (acero)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

12.Flecha de la vigaDifícil

Una viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida w y una carga puntual P en el centro del vano. Usando superposición, halla la flecha en el centro δ_max.

P = 22 kNw = 2 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (acero)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Pandeo de pilaresMedia

Un pilar de longitud L de aluminio está articulado en ambos extremos. Con la fórmula de Euler, halla su carga crítica de pandeo P_cr.

L = 1,5 mE = 70 GPa (aluminio)b × h = 25 × 80 mm

P_cr = kN

14.Pandeo de pilaresDifícil

Un pilar macizo circular de longitud L de aluminio está empotrado en la base y articulado arriba. Debe soportar 65 kN con un coeficiente de seguridad de 2,5 frente al pandeo. Halla el diámetro mínimo d.

P = 65 kNn = 2,5L = 3 mE = 70 GPa (aluminio)

d = mm

3Disoluciones

1.Tensión y deformación axial

Respuesta: δ = 4,642 mm

Ley de Hooke: en el rango elástico σ = E·ε. Junto con σ = P/A y ε = δ/L se obtiene δ = PL/(AE).

Tensión

A = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ = P/A = 105·1000/113,1 = 928,4 MPa

Deformación (ley de Hooke)

E for latón = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 928,4/100000 = 0,009284 = 9284 µε

Alargamiento

δ = ε·L = 0,009284·500 mm = 4,642 mm

Respuesta

δ = 4,642 mm

2.Tensión y deformación axial

Respuesta: P_max = 438,3 kN

Dos materiales: en serie (uno tras otro) cada tramo soporta la misma fuerza y los alargamientos se suman: δ = P·Σ L/(E·A). En paralelo (lado a lado entre placas rígidas) ambas partes se acortan lo mismo, así que sus deformaciones unitarias son iguales: la parte más rígida toma la mayor porción, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, y σ_i = E_i·ε. Una barra sujeta entre dos muros rígidos con una carga en la unión es estáticamente indeterminada: los dos tramos se reparten la carga en proporción a su rigidez k = EA/L.

Áreas

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²

Rigidez axial combinada

ΣEA = 200·10³·706,9 + 100·10³·5890 = 7,304 × 10⁸ N

Deformación determinante

ε = min(0,0008, 0,0006) = 0,0006 (latón)

Mayor carga

P_max = 0,0006·7,304 × 10⁸ = 438252 N = 438,3 kN

Respuesta

P_max = 438,3 kN

3.Torsión de ejes

Respuesta: φ = 22,99 °

Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τ_max = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω.

Momento polar de inercia

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Ángulo de torsión

φ = TL/(GJ) = 750·1000·800/(39000·38350) = 0,4012 rad

φ = 0,4012·180/π = 22,99°

Respuesta

φ = 22,99°

4.Torsión de ejes

Respuesta: d_o = 17,06 mm

Par

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 5000/78,54 = 63,66 N·m

Diámetro exterior a partir de la tensión admisible

T = 63,66 N·m = 63662 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,6⁴ = 0,8704

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·63662/(π·75·0,8704)) = 17,06 mm

d_i = 0,6·17,06 = 10,24 mm

Respuesta

d_o = 17,06 mm

Un eje macizo necesitaría d = 16,29 mm; el hueco es algo mayor pero mucho más ligero.

5.Cortante y momento flector

Respuesta: M_x = 8,25 kN·m

Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte.

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la viga.

Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 6·6 = 36 kN, aplicada en x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 6·6·3

R_B = 108/6 = 18 kN

ΣF_y = 0: R_A = 36 − 18 = 18 kN

Corta en x = 0,5 m y quédate con la parte izquierda

Solo aparecen las fuerzas a la izquierda del corte. Un tramo de carga repartida actúa como una fuerza en el centro de ese tramo.

M = R_A·x − (cada carga a la izquierda del corte × su distancia al corte)

M_x = 18·0,5 − 6·0,5·0,25 = 8,25 kN·m

Respuesta

M_x = 8,25 kN·m

6.Cortante y momento flector

Respuesta: E (x = 8 m)

Mayor momento flector: M cambia de pendiente allí donde cambia el esfuerzo cortante, así que sus picos están donde el esfuerzo cortante cruza el cero: bajo una carga puntual, dentro de una carga distribuida, o sobre un apoyo de un voladizo. En el empotramiento de una ménsula, el momento es máximo en la pared. Compara el valor de M en esos lugares, positivo o negativo.

Reacciones en los apoyos

Toma momentos respecto a un apoyo y luego usa el equilibrio de fuerzas verticales.

R₁ = 33,33 kN, R₂ = 51,67 kN

Momento flector en cada marca

Suma los momentos de todas las fuerzas a un lado del corte. El momento positivo hace que la viga se comba hacia abajo; el negativo, hacia arriba.

M_A = 0, M_B = −90, M_C = −113,3, M_D = −136,7, M_E = −160 kN·m, M_F = −80, M_G = 0

Respuesta

Marca E: M_E = −160 kN·m

7.Centroide y momento de inercia

Respuesta: I_x = 108,4 × 10⁶ mm⁴

Momento de inercia: para un rectángulo respecto a su propio eje centroidal I = bh³/12, y respecto a su base bh³/3 (teorema de Steiner I = I_c + A·d²). Un hueco se trata restando su I, siempre que ambas partes compartan el mismo eje. El módulo resistente elástico es S = I/c, donde c es la distancia a la fibra extrema.

Rectángulo exterior menos los dos huecos laterales

Los dos huecos juntos miden (B − t_w) de ancho y h_w = H − 2t_f de alto, y comparten el eje x.

h_w = 320 − 2·22 = 276 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (100·320³ − 94·276³)/12

I_x = 1,084 × 10⁸ mm⁴ = 108,4 × 10⁶ mm⁴

Respuesta

I_x = 108,4 × 10⁶ mm⁴

8.Centroide y momento de inercia

Respuesta: σ_inferior = 67,81 MPa

Áreas compuestas: divide la sección en rectángulos. El centroide es la media ponderada por áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. El momento de inercia respecto al eje que pasa por el centroide suma el bh³/12 propio de cada parte y su término de Steiner A·d², donde d es la distancia del centroide de la parte al centroide global. La tensión de flexión es σ = M·y/I.

Divide en dos rectángulos

Mide cada y desde el borde inferior.

ala: A_f = 200·20 = 4000 mm², y_f = 300 + 20/2 = 310 mm

alma: A_w = 14·300 = 4200 mm², y_w = 300/2 = 150 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4000·310 + 4200·150)/8200 = 228 mm

Teorema de Steiner

ala: 200·20³/12 + 4000·(310 − 228)² = 2,7 × 10⁷ mm⁴

alma: 14·300³/12 + 4200·(150 − 228)² = 5,708 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,7 × 10⁷ + 5,708 × 10⁷ = 8,408 × 10⁷ mm⁴

Tensión de flexión

El borde inferior está a ȳ del eje.

y = 228 mm

σ = M·y/I = 2,5 × 10⁷·228/8,408 × 10⁷ = 67,81 MPa

Respuesta

σ_inferior = 67,81 MPa

9.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: θ_p = −82,53 °

Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R.

Ángulo en el círculo

En el círculo de Mohr, el punto x está a un ángulo 2θp del eje σ; el cuadrante se deduce de los signos de σₓ − σᵧ y τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·−20, −40 − 110) = −165,1°

Ángulo en el elemento

θ_p = −82,53°

Respuesta

θ_p = −82,53°

Los ángulos positivos son en sentido antihorario.

10.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: τ_θ = −51,29 MPa

Ecuación de transformación

τ_θ = −65·0,866 + −10·−0,5 = −51,29 MPa

Respuesta

τ_θ = −51,29 MPa

11.Flecha de la viga

Respuesta: δ_B = 2,292 mm

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 3000 N, a = 1000 mm, L = 4000 mm

EI = 2,4 × 10¹² N·mm²

Flecha en el extremo libre

Flecha en la carga más el giro en la carga por la longitud restante.

δ_P = Pa³/(3EI) = 0,4167 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,000625 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 2,292 mm

Respuesta

δ_B = 2,292 mm

12.Flecha de la viga

Respuesta: δ_max = 7,826 mm

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 22000 N, w = 2 N/mm, L = 4000 mm, EI = 4,6 × 10¹² N·mm²

Cada carga por separado

δ_P = PL³/(48EI) = 22000·4000³/(48·4,6 × 10¹²) = 6,377 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·4000⁴/(384·4,6 × 10¹²) = 1,449 mm

Súmalas

δ_max = 6,377 + 1,449 = 7,826 mm

Respuesta

δ_max = 7,826 mm

13.Pandeo de pilares

Respuesta: P_cr = 31,98 kN

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en P_cr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Menor momento de inercia

Un rectángulo pandea respecto a su eje débil, usando la dimensión menor al cubo.

I_min = h·b³/12 = 80·25³/12 = 104167 mm⁴

Longitud de pandeo

KL = 1·1500 = 1500 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·104167/1500² = 31985 N = 31,98 kN

Respuesta

P_cr = 31,98 kN

14.Pandeo de pilares

Respuesta: d = 67,8 mm

Carga crítica necesaria

P_cr = n·P = 2,5·65000 = 162500 N

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

Despeja el diámetro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·162500·2100²/(π³·70000))^(1/4) = 67,8 mm

Respuesta

d = 67,8 mm

Comprobación: la esbeltez KL/r es 123,9, así que el pilar es esbelto y Euler es válido.

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