Resistencia de materiales: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 14 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Tensión y deformación axial

Tensión normal: σ = F/A
Deformación: ε = ΔL/L
Ley de Hooke: σ = E·ε
Alargamiento: ΔL = FL/(EA)
Deformación térmica: ε_T = α·ΔT

Torsión de ejes

Tensión cortante: τ = T·r/J
Eje macizo: J = πd⁴/32
Eje hueco: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ)
Potencia: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Halla el momento polar de inercia: J = πd⁴/32 para un eje macizo.
Tensión tangencial en la superficie: τ = T·r/J, con r el radio exterior.
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ) en radianes.
Si te dan la potencia, halla primero el par con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cortante y momento flector

Cortante y momento: V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
Tensión de flexión: σ = M·y/I
Rectángulo: I = bh³/12
Módulo resistente: W = I/y_max
Viga biapoyada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.

Centroide y momento de inercia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectángulo: I = bh³/12
Teorema de Steiner: I = I_c + A·d²
Sección compuesta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Radio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensiones principales: σ_1,2 = C ± R
Dirección principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcula el centro del círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcula el radio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Las tensiones principales son C ± R y la tensión tangencial máxima en el plano es R.
Los ángulos en el círculo son el doble que los ángulos en el elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flecha de la viga

Carga puntual en el centro del vano: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoyada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Voladizo, carga en el extremo: δ = PL³/(3EI)
Voladizo, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposición: δ = δ₁ + δ₂

Pandeo de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Factor de longitud de pandeo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 empotrado–empotrado, 0,7 empotrado–articulado, 2 empotrado–libre
Tensión crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Problemas de práctica

1.Tensión y deformación axialMedia

Halla el alargamiento δ de la barra de acero bajo la carga axial.

P = 105 kNd = 25 mmL = 2,5 mE = 200 GPa

δ = mm

2.Tensión y deformación axialDifícil

Un tramo de acero (diámetro 40 mm, longitud 600 mm, E = 200 GPa) y un tramo de aluminio (diámetro 60 mm, longitud 500 mm, E = 70 GPa) se unen extremo con extremo y se fijan entre dos muros rígidos. Una carga axial de 80 kN actúa en la unión, hacia el tramo 2. Halla el valor de la tensión σ₂ en el tramo 2.

tramo 1: acero, Ø40 mm, 600 mm, E = 200 GPatramo 2: aluminio, Ø60 mm, 500 mm, E = 70 GPaP = 80 kN

σ₂ = MPa

3.Torsión de ejesMedia

Un eje macizo de latón está empotrado en la pared y se tuerce con un par T en su extremo libre. Halla el ángulo de torsión φ del extremo libre, en grados.

T = 750 N·md = 30 mmL = 1 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torsión de ejesDifícil

Un eje hueco transmite 20 kW a 500 rpm. Halla la tensión cortante máxima τ_max en el eje.

P = 20 kWN = 500 rpmd_o = 60 mmd_i = 30 mm

τ_max = MPa

5.Cortante y momento flectorMedia

Las marcas A a G dividen la viga en seis partes iguales. ¿En qué marca es mayor el momento flector en valor absoluto, positivo o negativo? Haz clic en ella en el diagrama.

40 kN @ 4 m6 kN/m, 0–6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Cortante y momento flectorDifícil

Halla el momento flector M_x en la sección x = 7,5 m desde el apoyo A. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.

L = 10 mP = 60 kN en 3 mw = 8 kN/m de 0 a 10 mx = 7,5 m

M_x = kN·m

7.Centroide y momento de inerciaMedia

Halla el momento de inercia I_x de la sección en T respecto al eje horizontal x que pasa por su centroide.

b_f = 200 mmt_f = 30 mmt_w = 12 mmh_w = 100 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centroide y momento de inerciaDifícil

Una sección en I simétrica tiene alas de 120 mm de ancho y 14 mm de espesor, un canto total de 400 mm y un alma de 10 mm de espesor. Soporta un momento flector de 50 kN·m respecto al eje x. Halla el valor de la tensión de flexión máxima σ_max en la sección.

B = 120 mmH = 400 mmt_f = 14 mmt_w = 10 mmM = 50 kN·m

σ_max = MPa

9.Círculo de Mohr y transformación de tensionesMedia

En un punto σₓ = −30 MPa, σᵧ = 30 MPa y τₓᵧ = −20 MPa (tracción positiva). El elemento se gira 40° en sentido antihorario. Halla la tensión normal σ_y′ en las caras del elemento girado perpendiculares al eje girado y′.

σ_x = −30 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = −20 MPaθ = 40°

σ_y′ = MPa

10.Círculo de Mohr y transformación de tensionesDifícil

Un punto de una placa delgada está en tensión plana: σₓ = −10 MPa, σᵧ = −10 MPa y τₓᵧ = 50 MPa (σ_z = 0). El material tiene un límite elástico de 275 MPa. Halla el coeficiente de seguridad n frente a la plastificación según el criterio de Tresca (tensión cortante máxima).

σ_x = −10 MPaσ_y = −10 MPaτ_xy = 50 MPaσ_Y = 275 MPa

n =

11.Flecha de la vigaMedia

Una viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida w en toda su luz. Halla la flecha máxima δ_max, en el centro del vano.

w = 5 kN/mL = 8 mE = 200 GPa (acero)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Flecha de la vigaDifícil

Una viga está empotrada en A y simplemente apoyada en B (viga empotrada y apoyada). Soporta una carga uniformemente repartida w en toda su longitud. EI es constante. Halla el valor del momento flector M_A en el empotramiento.

L = 5 mw = 15 kN/m

M_A = kN·m

13.Pandeo de pilaresMedia

Un pilar de longitud L de aluminio está empotrado en la base y libre arriba. Con la fórmula de Euler, halla su carga crítica de pandeo P_cr.

L = 2 mE = 70 GPa (aluminio)b × h = 30 × 60 mm

P_cr = kN

14.Pandeo de pilaresDifícil

Un pilar macizo circular de longitud L de acero está articulado en ambos extremos. Debe soportar 120 kN con un coeficiente de seguridad de 2,5 frente al pandeo. Halla el diámetro mínimo d.

P = 120 kNn = 2,5L = 4 mE = 200 GPa (acero)

d = mm

3Disoluciones

1.Tensión y deformación axial

Respuesta: δ = 2,674 mm

Ley de Hooke: en el rango elástico σ = E·ε. Junto con σ = P/A y ε = δ/L se obtiene δ = PL/(AE).

Tensión

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 105·1000/490,9 = 213,9 MPa

Deformación (ley de Hooke)

E for acero = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 213,9/200000 = 0,00107 = 1070 µε

Alargamiento

δ = ε·L = 0,00107·2500 mm = 2,674 mm

Respuesta

δ = 2,674 mm

2.Tensión y deformación axial

Respuesta: σ₂ = 13,75 MPa

Dos materiales: en serie (uno tras otro) cada tramo soporta la misma fuerza y los alargamientos se suman: δ = P·Σ L/(E·A). En paralelo (lado a lado entre placas rígidas) ambas partes se acortan lo mismo, así que sus deformaciones unitarias son iguales: la parte más rígida toma la mayor porción, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, y σ_i = E_i·ε. Una barra sujeta entre dos muros rígidos con una carga en la unión es estáticamente indeterminada: los dos tramos se reparten la carga en proporción a su rigidez k = EA/L.

Rigideces

k₁ = 200000·1257/600 = 418879 N/mm

k₂ = 70000·2827/500 = 395841 N/mm

Parte del tramo 2

F₂ = 80000·395841/814720 = 38869 N

Tensión

σ₂ = 38869/2827 = 13,75 MPa (compresión)

Respuesta

σ₂ = 13,75 MPa

3.Torsión de ejes

Respuesta: φ = 13,86 °

Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τ_max = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω.

Momento polar de inercia

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Ángulo de torsión

φ = TL/(GJ) = 750·1000·1000/(39000·79522) = 0,2418 rad

φ = 0,2418·180/π = 13,86°

Respuesta

φ = 13,86°

4.Torsión de ejes

Respuesta: τ_max = 9,607 MPa

Par

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 20000/52,36 = 382 N·m

Momento polar de inercia

J = π(60⁴ − 30⁴)/32 = 1,193 × 10⁶ mm⁴

Tensión cortante máxima

τ_max = T·(d_o/2)/J = 381972·30/1,193 × 10⁶ = 9,607 MPa

Respuesta

τ_max = 9,607 MPa

5.Cortante y momento flector

Respuesta: E (x = 4 m)

Mayor momento flector: M cambia de pendiente allí donde cambia el esfuerzo cortante, así que sus picos están donde el esfuerzo cortante cruza el cero: bajo una carga puntual, dentro de una carga distribuida, o sobre un apoyo de un voladizo. En el empotramiento de una ménsula, el momento es máximo en la pared. Compara el valor de M en esos lugares, positivo o negativo.

Reacciones en los apoyos

Toma momentos respecto a un apoyo y luego usa el equilibrio de fuerzas verticales.

R₁ = 31,33 kN, R₂ = 44,67 kN

Momento flector en cada marca

Suma los momentos de todas las fuerzas a un lado del corte. El momento positivo hace que la viga se comba hacia abajo; el negativo, hacia arriba.

M_A = 0, M_B = 28,33, M_C = 50,67, M_D = 67, M_E = 77,33 kN·m, M_F = 41,67, M_G = 0

Respuesta

Marca E: M_E = 77,33 kN·m

6.Cortante y momento flector

Respuesta: M_x = 120 kN·m

Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte.

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la viga.

Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 8·10 = 80 kN, aplicada en x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 60·3 + 8·10·5

R_B = 580/10 = 58 kN

ΣF_y = 0: R_A = 140 − 58 = 82 kN

Corta en x = 7,5 m y quédate con la parte izquierda

Solo aparecen las fuerzas a la izquierda del corte. Un tramo de carga repartida actúa como una fuerza en el centro de ese tramo.

M = R_A·x − (cada carga a la izquierda del corte × su distancia al corte)

M_x = 82·7,5 − 60·(7,5 − 3) − 8·7,5·3,75 = 120 kN·m

Respuesta

M_x = 120 kN·m

7.Centroide y momento de inercia

Respuesta: I_x = 5,675 × 10⁶ mm⁴

Áreas compuestas: divide la sección en rectángulos. El centroide es la media ponderada por áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. El momento de inercia respecto al eje que pasa por el centroide suma el bh³/12 propio de cada parte y su término de Steiner A·d², donde d es la distancia del centroide de la parte al centroide global. La tensión de flexión es σ = M·y/I.

Divide en dos rectángulos

Mide cada y desde el borde inferior.

ala: A_f = 200·30 = 6000 mm², y_f = 100 + 30/2 = 115 mm

alma: A_w = 12·100 = 1200 mm², y_w = 100/2 = 50 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (6000·115 + 1200·50)/7200 = 104,2 mm

Teorema de Steiner

ala: 200·30³/12 + 6000·(115 − 104,2)² = 1,154 × 10⁶ mm⁴

alma: 12·100³/12 + 1200·(50 − 104,2)² = 4,521 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1,154 × 10⁶ + 4,521 × 10⁶ = 5,675 × 10⁶ mm⁴ = 5,675 × 10⁶ mm⁴

Respuesta

I_x = 5,675 × 10⁶ mm⁴

8.Centroide y momento de inercia

Respuesta: σ_max = 59,48 MPa

Rectángulo exterior menos los dos huecos laterales

Los dos huecos juntos miden (B − t_w) de ancho y h_w = H − 2t_f de alto, y comparten el eje x.

h_w = 400 − 2·14 = 372 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (120·400³ − 110·372³)/12

I_x = 1,681 × 10⁸ mm⁴

Tensión de flexión

y = 200 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁷·200/1,681 × 10⁸ = 59,48 MPa

Respuesta

σ_max = 59,48 MPa

9.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: σ_y′ = 24,91 MPa

Ecuación de transformación para la cara y′

σ_y′ = 0 − (−30)·0,1736 − (−20)·0,9848 = 24,91 MPa

Comprobación

La suma de las tensiones normales no cambia con el giro.

σ_x′ = −24,91 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 0 = σ_x + σ_y

Respuesta

σ_y′ = 24,91 MPa

10.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: n = 2,75

Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R. Criterios de plastificación: von Mises predice la plastificación cuando σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) alcanza σ_Y; Tresca, cuando la tensión cortante máxima absoluta alcanza σ_Y/2.

Tensiones principales

C = −10 MPa, R = 50 MPa

σ₁ = 40 MPa, σ₂ = −60 MPa, σ₃ = 0

Tresca

σ_max − σ_min = 100 MPa

n = 275/100 = 2,75

Respuesta

n = 2,75

n > 1 significa que el punto no plastifica; Tresca es algo más conservador que von Mises.

11.Flecha de la viga

Respuesta: δ_max = 15,87 mm

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 8000 mm

EI = 1,68 × 10¹³ N·mm²

Flecha

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·8000⁴/(384·1,68 × 10¹³) = 15,87 mm

Respuesta

δ_max = 15,87 mm

12.Flecha de la viga

Respuesta: M_A = 46,88 kN·m

Quita el apoyo adicional

Sin el apoyo adicional la viga es un voladizo. Su extremo libre descendería bajo la carga.

δ_load = wL⁴/(8EI)

Compatibilidad en el apoyo B

La reacción del apoyo R_B por sí sola levanta el extremo libre R_BL³/(3EI). El apoyo mantiene B con flecha nula, así que ambas deben anularse. EI se simplifica.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·15·5/8 = 28,13 kN

Momento en el empotramiento

Momentos respecto a A de las cargas y de la reacción del apoyo.

M_A = wL²/2 − R_B·L = 187,5 − 140,6 = 46,88 kN·m

Respuesta

M_A = 46,88 kN·m

13.Pandeo de pilares

Respuesta: P_cr = 5,829 kN

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en P_cr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Menor momento de inercia

Un rectángulo pandea respecto a su eje débil, usando la dimensión menor al cubo.

I_min = h·b³/12 = 60·30³/12 = 135000 mm⁴

Longitud de pandeo

KL = 2·2000 = 4000 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·135000/4000² = 5829 N = 5,829 kN

Respuesta

P_cr = 5,829 kN

14.Pandeo de pilares

Respuesta: d = 83,89 mm

Carga crítica necesaria

P_cr = n·P = 2,5·120000 = 300000 N

KL = 1·4000 = 4000 mm

Despeja el diámetro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·300000·4000²/(π³·200000))^(1/4) = 83,89 mm

Respuesta

d = 83,89 mm

Comprobación: la esbeltez KL/r es 190,7, así que el pilar es esbelto y Euler es válido.

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