Tensión y deformación axial
- Tensión normal
- σ = F/A
- Deformación
- ε = ΔL/L
- Ley de Hooke
- σ = E·ε
- Alargamiento
- ΔL = FL/(EA)
- Deformación térmica
- εT = α·ΔT
Resistencia de materiales: pack de repaso
Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 14 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.
1Fórmulas y métodos
Torsión de ejes
- Tensión cortante
- τ = T·r/J
- Eje macizo
- J = πd⁴/32
- Eje hueco
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- Ángulo de torsión
- φ = TL/(GJ)
- Potencia
- P = T·ω = 2πnT/60
Método
- Halla el momento polar de inercia: J = πd⁴/32 para un eje macizo.
- Tensión tangencial en la superficie: τ = T·r/J, con r el radio exterior.
- Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ) en radianes.
- Si te dan la potencia, halla primero el par con P = T·ω, ω = 2πn/60.
Cortante y momento flector
- Cortante y momento
- V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
- Tensión de flexión
- σ = M·y/I
- Rectángulo
- I = bh³/12
- Módulo resistente
- W = I/ymax
- Viga biapoyada, carga uniforme
- Mmax = wL²/8
Método
- Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
- Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
- Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
- Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.
Centroide y momento de inercia
- Centroide
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- Rectángulo
- I = bh³/12
- Teorema de Steiner
- I = Ic + A·d²
- Sección compuesta
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
Círculo de Mohr y transformación de tensiones
- Centro
- C = (σx + σy)/2
- Radio
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- Tensiones principales
- σ1,2 = C ± R
- Dirección principal
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- Plano inclinado
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
Método
- Calcula el centro del círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
- Calcula el radio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- Las tensiones principales son C ± R y la tensión tangencial máxima en el plano es R.
- Los ángulos en el círculo son el doble que los ángulos en el elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
Flecha de la viga
- Carga puntual en el centro del vano
- δ = PL³/(48EI)
- Carga uniforme, viga biapoyada
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- Voladizo, carga en el extremo
- δ = PL³/(3EI)
- Voladizo, carga uniforme
- δ = wL⁴/(8EI)
- Superposición
- δ = δ1 + δ2
Pandeo de pilares
- Carga crítica de Euler
- Pcr = π²EI/(KL)²
- Factor de longitud de pandeo
- K = 1 articulado–articulado, 0,5 empotrado–empotrado, 0,7 empotrado–articulado, 2 empotrado–libre
- Tensión crítica
- σcr = Pcr/A
- Esbeltez
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2Problemas de práctica
1.Tensión y deformación axialMedia
Halla el alargamiento δ de la barra de aluminio bajo la carga axial.
P = 20 kNd = 30 mmL = 3 mE = 70 GPa
δ = mm
2.Tensión y deformación axialDifícil
La barra escalonada está empotrada en la pared y cargada en su extremo libre. Halla la tensión normal máxima σmax en la barra.
P = 105 kNtramo 1: Ø40 mm, 0,5 m, latón (E = 100 GPa)tramo 2: Ø16 mm, 2 m, aluminio (E = 70 GPa)
σmax = MPa
3.Torsión de ejesMedia
Un eje hueco debe transmitir un par de 100 N·m. Su diámetro interior debe ser 0,7 veces su diámetro exterior, y la tensión cortante no debe superar 75 MPa. Halla el diámetro exterior mínimo do.
T = 100 N·mdi/do = 0,7τallow = 75 MPa
do = mm
4.Torsión de ejesDifícil
Un eje macizo debe transmitir 20 kW a 1500 rpm sin que la tensión cortante supere 40 MPa. Halla el diámetro mínimo d que sirve.
P = 20 kWN = 1500 rpmτallow = 40 MPa
d = mm
5.Cortante y momento flectorMedia
La viga simplemente apoyada soporta un par en sentido horario M0 = 40 kN·m en x = 5 m desde A, y ninguna otra carga. Halla el momento flector Mx justo a la derecha del par. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.
L = 10 mM0 = 40 kN·m en sentido horario, en 5 m
Mx = kN·m
6.Cortante y momento flectorDifícil
Halla el momento flector Mx en la sección x = 3,5 m desde el apoyo A. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.
L = 10 mP = 60 kN en 5 mw = 5 kN/m de 0 a 10 mx = 3,5 m
Mx = kN·m
7.Centroide y momento de inerciaMedia
Una sección en U está colocada con el lado abierto hacia arriba: una placa de base de 200 mm de ancho con dos alas verticales de 190 mm de altura total. La base y las alas tienen todas 18 mm de espesor. Halla la altura ȳ del centroide sobre el borde inferior.
b = 200 mmh = 190 mmt = 18 mm
ȳ = mm
8.Centroide y momento de inerciaDifícil
La sección en T se usa como viga con el ala arriba y soporta un momento flector positivo de 5 kN·m. Halla la tensión de flexión σinferior en el borde inferior.
bf = 120 mmtf = 15 mmtw = 14 mmhw = 260 mmM = 5 kN·m
σinferior = MPa
9.Círculo de Mohr y transformación de tensionesMedia
Un punto de una pieza cargada tiene σₓ = 140 MPa, σᵧ = 20 MPa y τₓᵧ = 20 MPa (tracción positiva). Halla la tensión cortante máxima en el plano τmax.
σx = 140 MPaσy = 20 MPaτxy = 20 MPa
τmax = MPa
10.Círculo de Mohr y transformación de tensionesDifícil
Un punto de una pieza cargada tiene σₓ = −50 MPa, σᵧ = −20 MPa y τₓᵧ = −60 MPa (tracción positiva). Halla la tensión normal σθ en un plano cuya normal está girada 20° en sentido horario respecto al eje x.
σx = −50 MPaσy = −20 MPaτxy = −60 MPaθ = -20°
σθ = MPa
11.Flecha de la vigaMedia
Una viga simplemente apoyada soporta una carga puntual P a a = 2 m del apoyo A. Halla la flecha δP bajo la carga.
P = 25 kNa = 2 mL = 3 mE = 11 GPa (madera estructural)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
12.Flecha de la vigaDifícil
Una viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida w y una carga puntual P en el centro del vano. Usando superposición, halla la flecha en el centro δmax.
P = 16 kNw = 20 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (acero)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.Pandeo de pilaresMedia
Un pilar de longitud L de aluminio está articulado en ambos extremos. Con la fórmula de Euler, halla su carga crítica de pandeo Pcr.
L = 3 mE = 70 GPa (aluminio)d = 80 mm
Pcr = kN
14.Pandeo de pilaresDifícil
Un pilar macizo circular de longitud L de aluminio está empotrado en la base y libre arriba. Debe soportar 65 kN con un coeficiente de seguridad de 2 frente al pandeo. Halla el diámetro mínimo d.
P = 65 kNn = 2L = 6 mE = 70 GPa (aluminio)
d = mm
3Disoluciones
1.Tensión y deformación axial
Respuesta: δ = 1,213 mm
Ley de Hooke: en el rango elástico σ = E·ε. Junto con σ = P/A y ε = δ/L se obtiene δ = PL/(AE).
Tensión
A = π·30²/4 = 706,9 mm²
σ = P/A = 20·1000/706,9 = 28,29 MPa
Deformación (ley de Hooke)
E for aluminio = 70 GPa = 70000 MPa.
ε = σ/E = 28,29/70000 = 0,0004042 = 404,2 µε
Alargamiento
δ = ε·L = 0,0004042·3000 mm = 1,213 mm
Respuesta
δ = 1,213 mm
2.Tensión y deformación axial
Respuesta: σmax = 522,2 MPa
Elementos con carga axial: cada tramo prismático cumple δ = PL/(AE). En tramos en serie los alargamientos se suman.
La misma fuerza en ambos tramos
El extremo libre soporta P, así que cada sección de la barra soporta el mismo esfuerzo axial P. Solo cambian las áreas y los materiales.
A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·16²/4 = 201,1 mm²
σ1 = 83,56 MPa
σ2 = 522,2 MPa
Tensión máxima
El tramo más delgado tiene menos área, así que soporta la tensión mayor.
σmax = 522,2 MPa
Respuesta
σmax = 522,2 MPa
3.Torsión de ejes
Respuesta: do = 20,75 mm
Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τmax = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(do⁴ − di⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω.
Diámetro exterior a partir de la tensión admisible
T = 100 N·m = 100000 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0,7⁴ = 0,7599
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·100000/(π·75·0,7599)) = 20,75 mm
di = 0,7·20,75 = 14,53 mm
Respuesta
do = 20,75 mm
Un eje macizo necesitaría d = 18,94 mm; el hueco es algo mayor pero mucho más ligero.
4.Torsión de ejes
Respuesta: d = 25,31 mm
Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τmax = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(do⁴ − di⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω.
Par
ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s
T = P/ω = 20000/157,1 = 127,3 N·m
Diámetro a partir de la tensión admisible
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·127324/(π·40)) = 25,31 mm
Respuesta
d = 25,31 mm
En la práctica redondearías al siguiente tamaño normalizado.
5.Cortante y momento flector
Respuesta: Mx = 20 kN·m
Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte. Un par aplicado hace que el diagrama de momentos flectores salte en el valor del par.
Reacciones en los apoyos
Momentos respecto a A, antihorario positivo: RB·L − M0 = 0. Equilibrio vertical: RA + RB = 0.
RB = M0/L = 40/10 = 4 kN (hacia arriba)
RA = −RB = −4 kN (hacia abajo)
Corte justo a la derecha del par
La parte izquierda contiene ahora RA y el par.
Mx = RA·a + M0 = −4·5 + 40 = 20 kN·m
Respuesta
Mx = 20 kN·m
6.Cortante y momento flector
Respuesta: Mx = 161,9 kN·m
Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte.
Reacciones en los apoyos
Equilibrio de toda la viga.
Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 5·10 = 50 kN, aplicada en x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 60·5 + 5·10·5
RB = 550/10 = 55 kN
ΣFy = 0: RA = 110 − 55 = 55 kN
Corta en x = 3,5 m y quédate con la parte izquierda
Solo aparecen las fuerzas a la izquierda del corte. Un tramo de carga repartida actúa como una fuerza en el centro de ese tramo.
M = RA·x − (cada carga a la izquierda del corte × su distancia al corte)
Mx = 55·3,5 − 5·3,5·1,75 = 161,9 kN·m
Respuesta
Mx = 161,9 kN·m
7.Centroide y momento de inercia
Respuesta: ȳ = 69,07 mm
Áreas compuestas: divide la sección en rectángulos. El centroide es la media ponderada por áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. El momento de inercia respecto al eje que pasa por el centroide suma el bh³/12 propio de cada parte y su término de Steiner A·d², donde d es la distancia del centroide de la parte al centroide global. La tensión de flexión es σ = M·y/I.
Divide en rectángulos
Toma la base con su ancho completo y las dos alas encima de ella (altura h − t), para no contar nada dos veces.
base: A1 = 200·18 = 3600 mm², y1 = 9 mm
dos alas: A2 = 2·18·172 = 6192 mm², y2 = 18 + 172/2 = 104 mm
Centroide
ȳ = (3600·9 + 6192·104)/9792 = 69,07 mm
Respuesta
ȳ = 69,07 mm
8.Centroide y momento de inercia
Respuesta: σinferior = 20,26 MPa
Áreas compuestas: divide la sección en rectángulos. El centroide es la media ponderada por áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. El momento de inercia respecto al eje que pasa por el centroide suma el bh³/12 propio de cada parte y su término de Steiner A·d², donde d es la distancia del centroide de la parte al centroide global. La tensión de flexión es σ = M·y/I.
Divide en dos rectángulos
Mide cada y desde el borde inferior.
ala: Af = 120·15 = 1800 mm², yf = 260 + 15/2 = 267,5 mm
alma: Aw = 14·260 = 3640 mm², yw = 260/2 = 130 mm
Centroide
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (1800·267,5 + 3640·130)/5440 = 175,5 mm
Teorema de Steiner
ala: 120·15³/12 + 1800·(267,5 − 175,5)² = 1,527 × 10⁷ mm⁴
alma: 14·260³/12 + 3640·(130 − 175,5)² = 2,804 × 10⁷ mm⁴
Ix = 1,527 × 10⁷ + 2,804 × 10⁷ = 4,331 × 10⁷ mm⁴
Tensión de flexión
El borde inferior está a ȳ del eje.
y = 175,5 mm
σ = M·y/I = 5 × 10⁶·175,5/4,331 × 10⁷ = 20,26 MPa
Respuesta
σinferior = 20,26 MPa
9.Círculo de Mohr y transformación de tensiones
Respuesta: τmax = 63,25 MPa
Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R.
Radio del círculo de Mohr
τmax = R = √(((140 − 20)/2)² + 20²) = 63,25 MPa
Respuesta
τmax = 63,25 MPa
10.Círculo de Mohr y transformación de tensiones
Respuesta: σθ = −7,923 MPa
Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R.
Ecuación de transformación
σθ = −35 + −15·0,766 + −60·−0,6428 = −7,923 MPa
Respuesta
σθ = −7,923 MPa
11.Flecha de la viga
Respuesta: δP = 28,06 mm
Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).
Unidades coherentes
Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.
P = 25000 N, a = 2000 mm, b = 1000 mm, L = 3000 mm
EI = 3,96 × 10¹¹ N·mm²
Flecha bajo la carga
δP = Pa²b²/(3EIL) = 25000·2000²·1000²/(3·3,96 × 10¹¹·3000) = 28,06 mm
Respuesta
δP = 28,06 mm
12.Flecha de la viga
Respuesta: δmax = 4,18 mm
Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).
Unidades coherentes
Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.
P = 16000 N, w = 20 N/mm, L = 3000 mm, EI = 7,2 × 10¹² N·mm²
Cada carga por separado
δP = PL³/(48EI) = 16000·3000³/(48·7,2 × 10¹²) = 1,25 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·3000⁴/(384·7,2 × 10¹²) = 2,93 mm
Súmalas
δmax = 1,25 + 2,93 = 4,18 mm
Respuesta
δmax = 4,18 mm
13.Pandeo de pilares
Respuesta: Pcr = 154,3 kN
Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en Pcr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.
Menor momento de inercia
Una sección circular tiene el mismo I respecto a cualquier eje.
I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴
Longitud de pandeo
KL = 1·3000 = 3000 mm
Carga crítica
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·2,011 × 10⁶/3000² = 154342 N = 154,3 kN
Respuesta
Pcr = 154,3 kN
14.Pandeo de pilares
Respuesta: d = 153,3 mm
Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en Pcr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.
Carga crítica necesaria
Pcr = n·P = 2·65000 = 130000 N
KL = 2·6000 = 12000 mm
Despeja el diámetro
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·130000·12000²/(π³·70000))^(1/4) = 153,3 mm
Respuesta
d = 153,3 mm
Comprobación: la esbeltez KL/r es 313,2, así que el pilar es esbelto y Euler es válido.
ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials