Resistencia de materiales: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 14 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

Problemas nuevos Volver a la asignatura

En la ventana de impresión, elige «Guardar como PDF» para conservar una copia en tu dispositivo.

1Fórmulas y métodos

Tensión y deformación axial

Tensión normal: σ = F/A
Deformación: ε = ΔL/L
Ley de Hooke: σ = E·ε
Alargamiento: ΔL = FL/(EA)
Deformación térmica: ε_T = α·ΔT

Torsión de ejes

Tensión cortante: τ = T·r/J
Eje macizo: J = πd⁴/32
Eje hueco: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ)
Potencia: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Halla el momento polar de inercia: J = πd⁴/32 para un eje macizo.
Tensión tangencial en la superficie: τ = T·r/J, con r el radio exterior.
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ) en radianes.
Si te dan la potencia, halla primero el par con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cortante y momento flector

Cortante y momento: V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
Tensión de flexión: σ = M·y/I
Rectángulo: I = bh³/12
Módulo resistente: W = I/y_max
Viga biapoyada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.

Centroide y momento de inercia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectángulo: I = bh³/12
Teorema de Steiner: I = I_c + A·d²
Sección compuesta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Radio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensiones principales: σ_1,2 = C ± R
Dirección principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcula el centro del círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcula el radio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Las tensiones principales son C ± R y la tensión tangencial máxima en el plano es R.
Los ángulos en el círculo son el doble que los ángulos en el elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flecha de la viga

Carga puntual en el centro del vano: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoyada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Voladizo, carga en el extremo: δ = PL³/(3EI)
Voladizo, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposición: δ = δ₁ + δ₂

Pandeo de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Factor de longitud de pandeo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 empotrado–empotrado, 0,7 empotrado–articulado, 2 empotrado–libre
Tensión crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Problemas de práctica

1.Tensión y deformación axialMedia

Halla la deformación axial ε en la barra de latón, en microdeformaciones (µε = 10⁻⁶).

P = 70 kNd = 30 mmL = 0,5 mE = 100 GPa

ε = µε

2.Tensión y deformación axialDifícil

La barra escalonada está empotrada en la pared y cargada en su extremo libre. Halla la tensión normal máxima σ_max en la barra.

P = 45 kNtramo 1: Ø25 mm, 1 m, latón (E = 100 GPa)tramo 2: Ø16 mm, 2 m, aluminio (E = 70 GPa)

σ_max = MPa

3.Torsión de ejesMedia

Un eje macizo de acero está empotrado en la pared y se tuerce con un par T en su extremo libre. Halla el ángulo de torsión φ del extremo libre, en grados.

T = 750 N·md = 30 mmL = 1,2 mG = 80 GPa

φ = °

4.Torsión de ejesDifícil

Un eje hueco debe transmitir 50 kW a 1450 rpm. Su diámetro interior debe ser 0,5 veces su diámetro exterior, y la tensión cortante no debe superar 60 MPa. Halla el diámetro exterior mínimo d_o.

P = 50 kWN = 1450 rpmd_i/d_o = 0,5τ_allow = 60 MPa

d_o = mm

5.Cortante y momento flectorMedia

Halla el momento flector M_x en la sección x = 0,5 m desde el apoyo A. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.

L = 4 mw = 3 kN/m de 0 a 4 mx = 0,5 m

M_x = kN·m

6.Cortante y momento flectorDifícil

Las marcas A a G dividen la viga en seis partes iguales. ¿En qué marca es mayor el momento flector en valor absoluto, positivo o negativo? Haz clic en ella en el diagrama.

15 kN @ 6 m10 kN @ 3 m12 kN/m, 0–4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Centroide y momento de inerciaMedia

Un tubo circular tiene un diámetro exterior D = 250 mm y un diámetro interior d = 234 mm. Halla su radio de giro r respecto al eje centroidal horizontal.

D = 250 mmd = 234 mm

r = mm

8.Centroide y momento de inerciaDifícil

Una viga de fundición tiene la sección en T de la figura, con el ala arriba. Las tensiones admisibles son 35 MPa a tracción y 150 MPa a compresión. Halla el mayor momento flector positivo M_allow que puede soportar la viga.

b_f = 160 mmt_f = 15 mmt_w = 20 mmh_w = 240 mmσ_t,allow = 35 MPaσ_c,allow = 150 MPa

M_allow = kN·m

9.Círculo de Mohr y transformación de tensionesMedia

En un punto σₓ = 10 MPa, σᵧ = 90 MPa y τₓᵧ = −20 MPa (tracción positiva). Halla el ángulo θ_s, entre −90° y 90°, desde el eje x hasta la normal del plano en el que la tensión cortante tiene su valor positivo máximo +R (cortante positivo en el mismo sentido que τₓᵧ).

σ_x = 10 MPaσ_y = 90 MPaτ_xy = −20 MPa

θ_s = °

10.Círculo de Mohr y transformación de tensionesDifícil

Un punto de una placa delgada está en tensión plana: σₓ = −80 MPa, σᵧ = −20 MPa y τₓᵧ = 20 MPa (σ_z = 0). Halla la tensión equivalente de von Mises σ_vM.

σ_x = −80 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = 20 MPa

σ_vM = MPa

11.Flecha de la vigaMedia

Una viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida w en toda su luz. Halla la flecha máxima δ_max, en el centro del vano.

w = 12 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (acero)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Flecha de la vigaDifícil

Una viga simplemente apoyada soporta una carga puntual P a b = 2,5 m del apoyo B. Halla la flecha máxima δ_max de la viga.

P = 17 kNb = 2,5 mL = 8 mE = 200 GPa (acero)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Pandeo de pilaresMedia

Un pilar de longitud L de acero está empotrado en la base y articulado arriba. Con la fórmula de Euler, halla su carga crítica de pandeo P_cr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (acero)d = 30 mm

P_cr = kN

14.Pandeo de pilaresDifícil

Un pilar de longitud L de aluminio está empotrado en ambos extremos. Halla su esbeltez y la tensión crítica de pandeo σ_cr con la fórmula de Euler.

L = 1 mE = 70 GPa (aluminio)d = 20 mm

σ_cr = MPa

3Disoluciones

1.Tensión y deformación axial

Respuesta: ε = 990,3 µε

Ley de Hooke: en el rango elástico σ = E·ε. Junto con σ = P/A y ε = δ/L se obtiene δ = PL/(AE).

Tensión

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 70·1000/706,9 = 99,03 MPa

Deformación (ley de Hooke)

E for latón = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 99,03/100000 = 0,0009903 = 990,3 µε

Respuesta

ε = 990,3 µε

2.Tensión y deformación axial

Respuesta: σ_max = 223,8 MPa

Elementos con carga axial: cada tramo prismático cumple δ = PL/(AE). En tramos en serie los alargamientos se suman.

La misma fuerza en ambos tramos

El extremo libre soporta P, así que cada sección de la barra soporta el mismo esfuerzo axial P. Solo cambian las áreas y los materiales.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 91,67 MPa

σ₂ = 223,8 MPa

Tensión máxima

El tramo más delgado tiene menos área, así que soporta la tensión mayor.

σ_max = 223,8 MPa

Respuesta

σ_max = 223,8 MPa

3.Torsión de ejes

Respuesta: φ = 8,106 °

Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τ_max = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω.

Momento polar de inercia

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Ángulo de torsión

φ = TL/(GJ) = 750·1000·1200/(80000·79522) = 0,1415 rad

φ = 0,1415·180/π = 8,106°

Respuesta

φ = 8,106°

4.Torsión de ejes

Respuesta: d_o = 31,01 mm

Par

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 50000/151,8 = 329,3 N·m

Diámetro exterior a partir de la tensión admisible

T = 329,3 N·m = 329286 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,5⁴ = 0,9375

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·329286/(π·60·0,9375)) = 31,01 mm

d_i = 0,5·31,01 = 15,5 mm

Respuesta

d_o = 31,01 mm

Un eje macizo necesitaría d = 30,35 mm; el hueco es algo mayor pero mucho más ligero.

5.Cortante y momento flector

Respuesta: M_x = 2,625 kN·m

Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte.

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la viga.

Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 3·4 = 12 kN, aplicada en x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 3·4·2

R_B = 24/4 = 6 kN

ΣF_y = 0: R_A = 12 − 6 = 6 kN

Corta en x = 0,5 m y quédate con la parte izquierda

Solo aparecen las fuerzas a la izquierda del corte. Un tramo de carga repartida actúa como una fuerza en el centro de ese tramo.

M = R_A·x − (cada carga a la izquierda del corte × su distancia al corte)

M_x = 6·0,5 − 3·0,5·0,25 = 2,625 kN·m

Respuesta

M_x = 2,625 kN·m

6.Cortante y momento flector

Respuesta: E (x = 4 m)

Mayor momento flector: M cambia de pendiente allí donde cambia el esfuerzo cortante, así que sus picos están donde el esfuerzo cortante cruza el cero: bajo una carga puntual, dentro de una carga distribuida, o sobre un apoyo de un voladizo. En el empotramiento de una ménsula, el momento es máximo en la pared. Compara el valor de M en esos lugares, positivo o negativo.

Reacciones en los apoyos

Toma momentos respecto a un apoyo y luego usa el equilibrio de fuerzas verticales.

R₁ = 19 kN, R₂ = 54 kN

Momento flector en cada marca

Suma los momentos de todas las fuerzas a un lado del corte. El momento positivo hace que la viga se comba hacia abajo; el negativo, hacia arriba.

M_A = 0, M_B = 13, M_C = 14, M_D = 3, M_E = −30 kN·m, M_F = −15, M_G = 0

Respuesta

Marca E: M_E = −30 kN·m

7.Centroide y momento de inercia

Respuesta: r = 85,61 mm

Momento de inercia: para un rectángulo respecto a su propio eje centroidal I = bh³/12, y respecto a su base bh³/3 (teorema de Steiner I = I_c + A·d²). Un hueco se trata restando su I, siempre que ambas partes compartan el mismo eje. El módulo resistente elástico es S = I/c, donde c es la distancia a la fibra extrema. El radio de giro r = √(I/A) es la distancia a la que toda el área daría el mismo I; se usa en el pandeo de pilares.

Área neta y momento de inercia neto

A = π(D² − d²)/4 = 6082 mm²

I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 4,457 × 10⁷ mm⁴

Radio de giro

r = √(I/A) = √(4,457 × 10⁷/6082) = 85,61 mm

Respuesta

r = 85,61 mm

8.Centroide y momento de inercia

Respuesta: M_allow = 10,57 kN·m

Áreas compuestas: divide la sección en rectángulos. El centroide es la media ponderada por áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. El momento de inercia respecto al eje que pasa por el centroide suma el bh³/12 propio de cada parte y su término de Steiner A·d², donde d es la distancia del centroide de la parte al centroide global. La tensión de flexión es σ = M·y/I.

Centroide

ȳ = (2400·247,5 + 4800·120)/7200 = 162,5 mm

borde superior: c = 255 − 162,5 = 92,5 mm

Momento de inercia

I = 160·15³/12 + 2400·85² + 20·240³/12 + 4800·42,5² = 4,91 × 10⁷ mm⁴

Momento admisible por cada borde

Momento positivo: la parte superior está comprimida y la inferior traccionada.

borde superior: M = 150·4,91 × 10⁷/92,5 = 79,61 kN·m

borde inferior: M = 35·4,91 × 10⁷/162,5 = 10,57 kN·m

Valor determinante

M_allow = min = 10,57 kN·m (borde inferior)

Respuesta

M_allow = 10,57 kN·m

9.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: θ_s = 58,28 °

Ángulo en el círculo

En el círculo de Mohr el punto más alto (+R) está a 90° del punto principal σ₁; en el elemento eso son 45°.

cos 2θ_s = −20/44,72 = −0,4472, sin 2θ_s = −(−40)/44,72 = 0,8944

2θ_s = atan2(40, −20) = 116,6°

Ángulo en el elemento

θ_s = 58,28°

comprobación: θ_s − θ_p = 58,28 − (−76,72) = 135°

Respuesta

θ_s = 58,28°

Los ángulos positivos son en sentido antihorario.

10.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: σ_vM = 80 MPa

Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R. Criterios de plastificación: von Mises predice la plastificación cuando σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) alcanza σ_Y; Tresca, cuando la tensión cortante máxima absoluta alcanza σ_Y/2.

Tensiones principales

C = −50 MPa, R = 36,06 MPa

σ₁ = −13,94 MPa, σ₂ = −86,06 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √((−13,94)² − (−13,94)·(−86,06) + (−86,06)²) = 80 MPa

Respuesta

σ_vM = 80 MPa

11.Flecha de la viga

Respuesta: δ_max = 5,273 mm

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

w = 12 N/mm, L = 3000 mm

EI = 2,4 × 10¹² N·mm²

Flecha

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·3000⁴/(384·2,4 × 10¹²) = 5,273 mm

Respuesta

δ_max = 5,273 mm

12.Flecha de la viga

Respuesta: δ_max = 62,32 mm

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 17000 N, b = 2500 mm, L = 8000 mm

EI = 2,4 × 10¹² N·mm²

Posición del máximo

Igualando a cero el giro en el tramo más largo se obtiene la posición.

x = √((L² − b²)/3) = √((8000² − 2500²)/3) = 4387 mm

Flecha máxima

δ_max = Pb(L² − b²)^3/2/(9√3·EIL) = 62,32 mm

Respuesta

δ_max = 62,32 mm

13.Pandeo de pilares

Respuesta: P_cr = 25,63 kN

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en P_cr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Menor momento de inercia

Una sección circular tiene el mismo I respecto a cualquier eje.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Longitud de pandeo

KL = 0,7·2500 = 1750 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/1750² = 25628 N = 25,63 kN

Respuesta

P_cr = 25,63 kN

14.Pandeo de pilares

Respuesta: σ_cr = 69,09 MPa

Menor momento de inercia

Una sección circular tiene el mismo I respecto a cualquier eje.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Radio de giro y esbeltez

A = 314,2 mm²

r = √(I/A) = √(7854/314,2) = 5 mm

KL = 0,5·1000 = 500 mm

KL/r = 500/5 = 100

Tensión crítica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/100² = 69,09 MPa

Respuesta

σ_cr = 69,09 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials