Resistencia de materiales: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 14 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Tensión y deformación axial

Tensión normal
σ = F/A
Deformación
ε = ΔL/L
Ley de Hooke
σ = E·ε
Alargamiento
ΔL = FL/(EA)
Deformación térmica
εT = α·ΔT

Torsión de ejes

Tensión cortante
τ = T·r/J
Eje macizo
J = πd⁴/32
Eje hueco
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ángulo de torsión
φ = TL/(GJ)
Potencia
P = T·ω = 2πnT/60

Método

  1. Halla el momento polar de inercia: J = πd⁴/32 para un eje macizo.
  2. Tensión tangencial en la superficie: τ = T·r/J, con r el radio exterior.
  3. Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ) en radianes.
  4. Si te dan la potencia, halla primero el par con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cortante y momento flector

Cortante y momento
V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
Tensión de flexión
σ = M·y/I
Rectángulo
I = bh³/12
Módulo resistente
W = I/ymax
Viga biapoyada, carga uniforme
Mmax = wL²/8

Método

  1. Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
  2. Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
  3. Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
  4. Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.

Centroide y momento de inercia

Centroide
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Rectángulo
I = bh³/12
Teorema de Steiner
I = Ic + A·d²
Sección compuesta
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Centro
C = (σx + σy)/2
Radio
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tensiones principales
σ1,2 = C ± R
Dirección principal
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Plano inclinado
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Método

  1. Calcula el centro del círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Calcula el radio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Las tensiones principales son C ± R y la tensión tangencial máxima en el plano es R.
  4. Los ángulos en el círculo son el doble que los ángulos en el elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flecha de la viga

Carga puntual en el centro del vano
δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoyada
δ = 5wL⁴/(384EI)
Voladizo, carga en el extremo
δ = PL³/(3EI)
Voladizo, carga uniforme
δ = wL⁴/(8EI)
Superposición
δ = δ1 + δ2

Pandeo de pilares

Carga crítica de Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Factor de longitud de pandeo
K = 1 articulado–articulado, 0,5 empotrado–empotrado, 0,7 empotrado–articulado, 2 empotrado–libre
Tensión crítica
σcr = Pcr/A
Esbeltez
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Problemas de práctica

1.Tensión y deformación axialMedia
P = ?12500 mm400 mmØ30Ø50δ = 0,2 mm

Una barra está formada por un tramo de acero (diámetro 30 mm, longitud 500 mm, E = 200 GPa) unido extremo con extremo a un tramo de latón (diámetro 50 mm, longitud 400 mm, E = 100 GPa). Está empotrada en un extremo y se tira del otro. Halla la carga axial P que la alarga 0,2 mm en total.

tramo 1: acero, Ø30 mm, 500 mm, E = 200 GPatramo 2: latón, Ø50 mm, 400 mm, E = 100 GPaδ = 0,2 mm
P = kN
2.Tensión y deformación axialDifícil
Ø 35 mmAluminio0,5 mØ 20 mmAcero1 mP = 110 kN

La barra escalonada está empotrada en la pared y cargada en su extremo libre. Halla la tensión normal máxima σmax en la barra.

P = 110 kNtramo 1: Ø35 mm, 0,5 m, aluminio (E = 70 GPa)tramo 2: Ø20 mm, 1 m, acero (E = 200 GPa)
σmax = MPa
3.Torsión de ejesMedia
T = 500 N·md = 50 mmL = 2 mφ = ?

Un eje macizo de aluminio está empotrado en la pared y se tuerce con un par T en su extremo libre. Halla el ángulo de torsión φ del extremo libre, en grados.

T = 500 N·md = 50 mmL = 2 mG = 26 GPa
φ = °
4.Torsión de ejesDifícil
d = 20 mmT0​ = 250 N·mACBa = 0,5 mb = 2 m

Un eje macizo de latón de 20 mm de diámetro está empotrado en muros rígidos en sus dos extremos A y B. Se aplica un par de 250 N·m en C, a 0,5 m de A y a 2 m de B. Halla el par de reacción TA en el muro A.

d = 20 mmT0 = 250 N·ma = 0,5 mb = 2 m
TA = N·m
5.Cortante y momento flectorMedia
M0​ = 45 kN·mAB2,5 m1,5 m

La viga simplemente apoyada soporta un par en sentido horario M0 = 45 kN·m en x = 2,5 m desde A, y ninguna otra carga. Halla el momento flector Mx justo a la izquierda del par. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.

L = 4 mM0 = 45 kN·m en sentido horario, en 2,5 m
Mx = kN·m
6.Cortante y momento flectorDifícil
5 kN/m35 kN30 kN55 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

Las marcas A a G dividen la viga en seis partes iguales. ¿En qué marca es mayor el momento flector en valor absoluto, positivo o negativo? Haz clic en ella en el diagrama.

35 kN @ 0 m30 kN @ 12 m55 kN @ 6 m5 kN/m, 2–10 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
7.Centroide y momento de inerciaMedia
2603028018xcotas en mm

Halla el momento de inercia Ix de la sección en T respecto al eje horizontal x que pasa por su centroide.

bf = 260 mmtf = 30 mmtw = 18 mmhw = 280 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Centroide y momento de inerciaDifícil
1801024020xM = 30 kN·mcotas en mm

La sección en T se usa como viga con el ala arriba y soporta un momento flector positivo de 30 kN·m. Halla la tensión de flexión σinferior en el borde inferior.

bf = 180 mmtf = 10 mmtw = 20 mmhw = 240 mmM = 30 kN·m
σinferior = MPa
9.Círculo de Mohr y transformación de tensionesMedia
σx​ = 80σy​ = −40τxy​ = −30MPa

Un punto de una pieza cargada tiene σₓ = 80 MPa, σᵧ = −40 MPa y τₓᵧ = −30 MPa (tracción positiva). Halla la tensión cortante máxima en el plano τmax.

σx = 80 MPaσy = −40 MPaτxy = −30 MPa
τmax = MPa
10.Círculo de Mohr y transformación de tensionesDifícil
σx​ = −70σy​ = 90τxy​ = −50MPa

Un punto de una pieza cargada tiene σₓ = −70 MPa, σᵧ = 90 MPa y τₓᵧ = −50 MPa (tracción positiva). Halla la tensión normal σθ en un plano cuya normal está girada 35° en sentido antihorario respecto al eje x.

σx = −70 MPaσy = 90 MPaτxy = −50 MPaθ = 35°
σθ = MPa
11.Flecha de la vigaMedia
P = 24 kNABδ2 m2 m

Un voladizo de longitud L está empotrado en A y soporta una carga puntual P a una distancia a = 2 m de A. Halla la flecha δB en el extremo libre B.

P = 24 kNa = 2 mL = 4 mE = 200 GPa (acero)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δB = mm
12.Flecha de la vigaDifícil
w = 4 kN/mABδ4,5 m

Una viga de madera simplemente apoyada, de sección rectangular de 125 mm de ancho, soporta una carga uniformemente repartida w en toda su luz. Su flecha en el centro no puede superar luz/360. Halla el canto mínimo hreq de la sección.

w = 4 kN/mL = 4,5 mE = 11 GPa (madera estructural)b = 125 mm
hreq = mm
13.Pandeo de pilaresMedia
PL = 6 m30 × 40 mmsección

Un pilar de longitud L de acero está empotrado en ambos extremos. Con la fórmula de Euler, halla su carga crítica de pandeo Pcr.

L = 6 mE = 200 GPa (acero)b × h = 30 × 40 mm
Pcr = kN
14.Pandeo de pilaresDifícil
P = 10 kNL = 2 md = ?sección

Un pilar macizo circular de longitud L de aluminio está articulado en ambos extremos. Debe soportar 10 kN con un coeficiente de seguridad de 2 frente al pandeo. Halla el diámetro mínimo d.

P = 10 kNn = 2L = 2 mE = 70 GPa (aluminio)
d = mm

3Disoluciones

1.Tensión y deformación axial

Respuesta: P = 35,88 kN

Dos materiales: en serie (uno tras otro) cada tramo soporta la misma fuerza y los alargamientos se suman: δ = P·Σ L/(E·A). En paralelo (lado a lado entre placas rígidas) ambas partes se acortan lo mismo, así que sus deformaciones unitarias son iguales: la parte más rígida toma la mayor porción, Pi = P·EiAi/ΣEA, y σi = Ei·ε. Una barra sujeta entre dos muros rígidos con una carga en la unión es estáticamente indeterminada: los dos tramos se reparten la carga en proporción a su rigidez k = EA/L.

Áreas

A₁ = 706,9 mm², A₂ = 1963 mm²

Flexibilidades

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·706,9) = 3,537 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 400/(100000·1963) = 2,037 × 10⁻⁶ mm/N

Carga

P = 0,2/5,574 × 10⁻⁶ = 35881 N = 35,88 kN

Respuesta

P = 35,88 kN
2.Tensión y deformación axial

Respuesta: σmax = 350,1 MPa

Elementos con carga axial: cada tramo prismático cumple δ = PL/(AE). En tramos en serie los alargamientos se suman.

La misma fuerza en ambos tramos

El extremo libre soporta P, así que cada sección de la barra soporta el mismo esfuerzo axial P. Solo cambian las áreas y los materiales.

A1 = π·35²/4 = 962,1 mm², A2 = π·20²/4 = 314,2 mm²
σ1 = 114,3 MPa
σ2 = 350,1 MPa

Tensión máxima

El tramo más delgado tiene menos área, así que soporta la tensión mayor.

σmax = 350,1 MPa

Respuesta

σmax = 350,1 MPa
3.Torsión de ejes

Respuesta: φ = 3,591 °

Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τmax = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(do⁴ − di⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω.

Momento polar de inercia

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Ángulo de torsión

φ = TL/(GJ) = 500·1000·2000/(26000·613592) = 0,06268 rad
φ = 0,06268·180/π = 3,591°

Respuesta

φ = 3,591°
4.Torsión de ejes

Respuesta: TA = 200 N·m

Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τmax = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(do⁴ − di⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω. Cuando ambos extremos están empotrados, la estática por sí sola solo da TA + TB = T₀; la segunda ecuación es la compatibilidad (igual torsión de ambas partes en la sección cargada).

Equilibrio y compatibilidad

TA + TB = 250
TA·a = TB·b
TA = 250·2/2,5 = 200 N·m
TB = 250·0,5/2,5 = 50 N·m

Respuesta

TA = 200 N·m
5.Cortante y momento flector

Respuesta: Mx = −28,13 kN·m

Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte. Un par aplicado hace que el diagrama de momentos flectores salte en el valor del par.

Reacciones en los apoyos

Momentos respecto a A, antihorario positivo: RB·L − M0 = 0. Equilibrio vertical: RA + RB = 0.

RB = M0/L = 45/4 = 11,25 kN (hacia arriba)
RA = −RB = −11,25 kN (hacia abajo)

Corte justo a la izquierda del par

La parte izquierda solo contiene RA.

Mx = RA·a = −11,25·2,5 = −28,13 kN·m

Respuesta

Mx = −28,13 kN·m
6.Cortante y momento flector

Respuesta: D (x = 6 m)

Mayor momento flector: M cambia de pendiente allí donde cambia el esfuerzo cortante, así que sus picos están donde el esfuerzo cortante cruza el cero: bajo una carga puntual, dentro de una carga distribuida, o sobre un apoyo de un voladizo. En el empotramiento de una ménsula, el momento es máximo en la pared. Compara el valor de M en esos lugares, positivo o negativo.

Reacciones en los apoyos

Toma momentos respecto a un apoyo y luego usa el equilibrio de fuerzas verticales.

R1 = 83,75 kN, R2 = 76,25 kN

Momento flector en cada marca

Suma los momentos de todas las fuerzas a un lado del corte. El momento positivo hace que la viga se comba hacia abajo; el negativo, hacia arriba.

MA = 0, MB = −70, MC = 17,5, MD = 85 kN·m, ME = 22,5, MF = −60, MG = 0

Respuesta

Marca D: MD = 85 kN·m
7.Centroide y momento de inercia

Respuesta: Ix = 107,1 × 10⁶ mm⁴

Áreas compuestas: divide la sección en rectángulos. El centroide es la media ponderada por áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. El momento de inercia respecto al eje que pasa por el centroide suma el bh³/12 propio de cada parte y su término de Steiner A·d², donde d es la distancia del centroide de la parte al centroide global. La tensión de flexión es σ = M·y/I.

Divide en dos rectángulos

Mide cada y desde el borde inferior.

ala: Af = 260·30 = 7800 mm², yf = 280 + 30/2 = 295 mm
alma: Aw = 18·280 = 5040 mm², yw = 280/2 = 140 mm

Centroide

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (7800·295 + 5040·140)/12840 = 234,2 mm

Teorema de Steiner

ala: 260·30³/12 + 7800·(295 − 234,2)² = 2,946 × 10⁷ mm⁴
alma: 18·280³/12 + 5040·(140 − 234,2)² = 7,761 × 10⁷ mm⁴
Ix = 2,946 × 10⁷ + 7,761 × 10⁷ = 1,071 × 10⁸ mm⁴ = 107,1 × 10⁶ mm⁴

Respuesta

Ix = 107,1 × 10⁶ mm⁴
8.Centroide y momento de inercia

Respuesta: σinferior = 106,2 MPa

Áreas compuestas: divide la sección en rectángulos. El centroide es la media ponderada por áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. El momento de inercia respecto al eje que pasa por el centroide suma el bh³/12 propio de cada parte y su término de Steiner A·d², donde d es la distancia del centroide de la parte al centroide global. La tensión de flexión es σ = M·y/I.

Divide en dos rectángulos

Mide cada y desde el borde inferior.

ala: Af = 180·10 = 1800 mm², yf = 240 + 10/2 = 245 mm
alma: Aw = 20·240 = 4800 mm², yw = 240/2 = 120 mm

Centroide

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (1800·245 + 4800·120)/6600 = 154,1 mm

Teorema de Steiner

ala: 180·10³/12 + 1800·(245 − 154,1)² = 1,489 × 10⁷ mm⁴
alma: 20·240³/12 + 4800·(120 − 154,1)² = 2,862 × 10⁷ mm⁴
Ix = 1,489 × 10⁷ + 2,862 × 10⁷ = 4,351 × 10⁷ mm⁴

Tensión de flexión

El borde inferior está a ȳ del eje.

y = 154,1 mm
σ = M·y/I = 3 × 10⁷·154,1/4,351 × 10⁷ = 106,2 MPa

Respuesta

σinferior = 106,2 MPa
9.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: τmax = 67,08 MPa

Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R.

στxyCτmax​

Radio del círculo de Mohr

τmax = R = √(((80 − −40)/2)² + −30²) = 67,08 MPa

Respuesta

τmax = 67,08 MPa
10.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: σθ = −64,35 MPa

Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R.

Ecuación de transformación

σθ = 10 + −80·0,342 + −50·0,9397 = −64,35 MPa

Respuesta

σθ = −64,35 MPa
11.Flecha de la viga

Respuesta: δB = 5 mm

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 24000 N, a = 2000 mm, L = 4000 mm
EI = 3,2 × 10¹³ N·mm²

Flecha en el extremo libre

Flecha en la carga más el giro en la carga por la longitud restante.

δP = Pa³/(3EI) = 2 mm
θP = Pa²/(2EI) = 0,0015 rad
δB = δP + θP·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 5 mm

Respuesta

δB = 5 mm
12.Flecha de la viga

Respuesta: hreq = 246,1 mm

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 4500 mm, E = 11000 N/mm²

Límite de flecha

δallow = L/360 = 4500/360 = 12,5 mm

Momento de inercia necesario

Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·4·4500⁴/(384·11000·12,5) = 1,553 × 10⁸ mm⁴

Canto necesario

bh³/12 = Ireq → h = (12·1,553 × 10⁸/125)1/3 = 246,1 mm

Respuesta

hreq = 246,1 mm

En la práctica, elige el canto normalizado inmediatamente superior a este valor.

13.Pandeo de pilares

Respuesta: Pcr = 19,74 kN

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en Pcr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Menor momento de inercia

Un rectángulo pandea respecto a su eje débil, usando la dimensión menor al cubo.

Imin = h·b³/12 = 40·30³/12 = 90000 mm⁴

Longitud de pandeo

KL = 0,5·6000 = 3000 mm

Carga crítica

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·90000/3000² = 19739 N = 19,74 kN

Respuesta

Pcr = 19,74 kN
14.Pandeo de pilares

Respuesta: d = 39,19 mm

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en Pcr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Carga crítica necesaria

Pcr = n·P = 2·10000 = 20000 N
KL = 1·2000 = 2000 mm

Despeja el diámetro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·20000·2000²/(π³·70000))^(1/4) = 39,19 mm

Respuesta

d = 39,19 mm

Comprobación: la esbeltez KL/r es 204,1, así que el pilar es esbelto y Euler es válido.

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