Resistencia de materiales: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 14 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Tensión y deformación axial

Tensión normal: σ = F/A
Deformación: ε = ΔL/L
Ley de Hooke: σ = E·ε
Alargamiento: ΔL = FL/(EA)
Deformación térmica: ε_T = α·ΔT

Torsión de ejes

Tensión cortante: τ = T·r/J
Eje macizo: J = πd⁴/32
Eje hueco: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ)
Potencia: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Halla el momento polar de inercia: J = πd⁴/32 para un eje macizo.
Tensión tangencial en la superficie: τ = T·r/J, con r el radio exterior.
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ) en radianes.
Si te dan la potencia, halla primero el par con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cortante y momento flector

Cortante y momento: V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
Tensión de flexión: σ = M·y/I
Rectángulo: I = bh³/12
Módulo resistente: W = I/y_max
Viga biapoyada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.

Centroide y momento de inercia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectángulo: I = bh³/12
Teorema de Steiner: I = I_c + A·d²
Sección compuesta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Radio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensiones principales: σ_1,2 = C ± R
Dirección principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcula el centro del círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcula el radio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Las tensiones principales son C ± R y la tensión tangencial máxima en el plano es R.
Los ángulos en el círculo son el doble que los ángulos en el elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flecha de la viga

Carga puntual en el centro del vano: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoyada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Voladizo, carga en el extremo: δ = PL³/(3EI)
Voladizo, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposición: δ = δ₁ + δ₂

Pandeo de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Factor de longitud de pandeo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 empotrado–empotrado, 0,7 empotrado–articulado, 2 empotrado–libre
Tensión crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Problemas de práctica

1.Tensión y deformación axialMedia

Una barra está formada por un tramo de acero (diámetro 20 mm, longitud 400 mm, E = 200 GPa) unido extremo con extremo a un tramo de cobre (diámetro 60 mm, longitud 500 mm, E = 120 GPa). Está empotrada en un extremo y se tira del otro. Halla la carga axial P que la alarga 0,5 mm en total.

tramo 1: acero, Ø20 mm, 400 mm, E = 200 GPatramo 2: cobre, Ø60 mm, 500 mm, E = 120 GPaδ = 0,5 mm

P = kN

2.Tensión y deformación axialDifícil

Una varilla de acero (diámetro 25 mm, E = 200 GPa, tensión admisible 120 MPa) está dentro de un tubo de bronce (diámetro exterior 80 mm, diámetro interior 60 mm, E = 110 GPa, tensión admisible 60 MPa). Se comprimen juntos entre placas rígidas. Halla la mayor carga P_max.

barra: Ø25 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 120 MPatubo: Ø80/Ø60 mm, E = 110 GPa, σ_allow = 60 MPa

P_max = kN

3.Torsión de ejesMedia

Un eje macizo de acero está empotrado en la pared y se tuerce con un par T en su extremo libre. Halla el ángulo de torsión φ del extremo libre, en grados.

T = 500 N·md = 50 mmL = 2,5 mG = 80 GPa

φ = °

4.Torsión de ejesDifícil

Un eje macizo de aluminio de 30 mm de diámetro está empotrado en A. En B, a 0,8 m de A, actúa un par de 1000 N·m, y en el extremo libre C, 0,8 m más allá, actúa un par de 200 N·m en sentido contrario. Halla el valor del ángulo de torsión φ_C del extremo C, en grados.

d = 30 mmT_B = 1000 N·mT_C = 200 N·mAB = 0,8 mBC = 0,8 mG = 26 GPa

φ_C = °

5.Cortante y momento flectorMedia

Halla el momento flector M_x en la sección x = 1 m desde el apoyo A. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.

L = 4 mw = 6 kN/m de 0 a 4 mx = 1 m

M_x = kN·m

6.Cortante y momento flectorDifícil

Halla el momento flector M_x en la sección x = 4 m desde el apoyo A. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.

L = 10 mP = 20 kN en 2 mw = 6 kN/m de 0 a 10 mx = 4 m

M_x = kN·m

7.Centroide y momento de inerciaMedia

Una placa de 200 mm × 300 mm tiene un agujero circular de diámetro 60 mm en su línea central vertical, con su centro a 210 mm por encima del fondo. Halla el momento de inercia I_x respecto al eje horizontal que pasa por el centroide.

b = 200 mmh = 300 mmd = 60 mmcentro del agujero: y = 210 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centroide y momento de inerciaDifícil

Una sección en I soldada tiene un ala superior de 200 × 12 mm, un alma de 200 mm de alto y 10 mm de espesor, y un ala inferior de 300 × 14 mm (ancho × espesor). Halla su momento de inercia I_x respecto al eje horizontal x que pasa por su centroide.

ala superior: 200 × 12 mmalma: 10 × 200 mmala inferior: 300 × 14 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Círculo de Mohr y transformación de tensionesMedia

En un punto σₓ = 100 MPa, σᵧ = 20 MPa y τₓᵧ = 30 MPa (tracción positiva). Halla el ángulo θ_s, entre −90° y 90°, desde el eje x hasta la normal del plano en el que la tensión cortante tiene su valor positivo máximo +R (cortante positivo en el mismo sentido que τₓᵧ).

σ_x = 100 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = 30 MPa

θ_s = °

10.Círculo de Mohr y transformación de tensionesDifícil

Un punto de una pieza cargada tiene σₓ = 160 MPa, σᵧ = −30 MPa y τₓᵧ = 30 MPa (tracción positiva). Halla la tensión cortante τ_θ en un plano cuya normal está girada 20° en sentido antihorario respecto al eje x (positiva en el mismo sentido que τₓᵧ).

σ_x = 160 MPaσ_y = −30 MPaτ_xy = 30 MPaθ = 20°

τ_θ = MPa

11.Flecha de la vigaMedia

Una viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida w en toda su luz. Halla la flecha máxima δ_max, en el centro del vano.

w = 15 kN/mL = 2,5 mE = 11 GPa (madera estructural)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Flecha de la vigaDifícil

Una viga está empotrada en A y simplemente apoyada en B (viga empotrada y apoyada). Soporta una carga uniformemente repartida w en toda su longitud. EI es constante. Halla la reacción R_B en el apoyo B.

L = 4 mw = 8 kN/m

R_B = kN

13.Pandeo de pilaresMedia

Un pilar de longitud L de acero está empotrado en la base y articulado arriba. Con la fórmula de Euler, halla su carga crítica de pandeo P_cr.

L = 5 mE = 200 GPa (acero)b × h = 40 × 60 mm

P_cr = kN

14.Pandeo de pilaresDifícil

Un pilar macizo circular de longitud L de aluminio está empotrado en la base y libre arriba. Debe soportar 40 kN con un coeficiente de seguridad de 2 frente al pandeo. Halla el diámetro mínimo d.

P = 40 kNn = 2L = 3 mE = 70 GPa (aluminio)

d = mm

3Disoluciones

1.Tensión y deformación axial

Respuesta: P = 63,78 kN

Dos materiales: en serie (uno tras otro) cada tramo soporta la misma fuerza y los alargamientos se suman: δ = P·Σ L/(E·A). En paralelo (lado a lado entre placas rígidas) ambas partes se acortan lo mismo, así que sus deformaciones unitarias son iguales: la parte más rígida toma la mayor porción, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, y σ_i = E_i·ε. Una barra sujeta entre dos muros rígidos con una carga en la unión es estáticamente indeterminada: los dos tramos se reparten la carga en proporción a su rigidez k = EA/L.

Áreas

A₁ = 314,2 mm², A₂ = 2827 mm²

Flexibilidades

L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·314,2) = 6,366 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 500/(120000·2827) = 1,474 × 10⁻⁶ mm/N

Carga

P = 0,5/7,84 × 10⁻⁶ = 63777 N = 63,78 kN

Respuesta

P = 63,78 kN

2.Tensión y deformación axial

Respuesta: P_max = 185,5 kN

Áreas

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²

Rigidez axial combinada

ΣEA = 200·10³·490,9 + 110·10³·2199 = 3,401 × 10⁸ N

Deformación determinante

ε = min(0,0006, 0,0005455) = 0,0005455 (bronce)

Mayor carga

P_max = 0,0005455·3,401 × 10⁸ = 185497 N = 185,5 kN

Respuesta

P_max = 185,5 kN

3.Torsión de ejes

Respuesta: φ = 1,459 °

Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τ_max = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω.

Momento polar de inercia

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Ángulo de torsión

φ = TL/(GJ) = 500·1000·2500/(80000·613592) = 0,02546 rad

φ = 0,02546·180/π = 1,459°

Respuesta

φ = 1,459°

4.Torsión de ejes

Respuesta: φ_C = 13,3 °

Pares internos

Se toma positivo el sentido de T_C.

T_BC = T_C = 200 N·m

T_AB = T_C − T_B = 200 − 1000 = −800 N·m

Torsión de cada tramo

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ_AB = −800000·800/(26000·79522) = −0,3095 rad

φ_BC = 200000·800/(26000·79522) = 0,07739 rad

Torsión del extremo C

φ_C = −0,3095 + 0,07739 = −0,2322 rad → |φ_C| = 13,3°

Respuesta

φ_C = 13,3°

5.Cortante y momento flector

Respuesta: M_x = 9 kN·m

Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte.

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la viga.

Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 6·4 = 24 kN, aplicada en x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 6·4·2

R_B = 48/4 = 12 kN

ΣF_y = 0: R_A = 24 − 12 = 12 kN

Corta en x = 1 m y quédate con la parte izquierda

Solo aparecen las fuerzas a la izquierda del corte. Un tramo de carga repartida actúa como una fuerza en el centro de ese tramo.

M = R_A·x − (cada carga a la izquierda del corte × su distancia al corte)

M_x = 12·1 − 6·1·0,5 = 9 kN·m

Respuesta

M_x = 9 kN·m

6.Cortante y momento flector

Respuesta: M_x = 96 kN·m

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la viga.

Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 6·10 = 60 kN, aplicada en x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 20·2 + 6·10·5

R_B = 340/10 = 34 kN

ΣF_y = 0: R_A = 80 − 34 = 46 kN

Corta en x = 4 m y quédate con la parte izquierda

Solo aparecen las fuerzas a la izquierda del corte. Un tramo de carga repartida actúa como una fuerza en el centro de ese tramo.

M = R_A·x − (cada carga a la izquierda del corte × su distancia al corte)

M_x = 46·4 − 20·(4 − 2) − 6·4·2 = 96 kN·m

Respuesta

M_x = 96 kN·m

7.Centroide y momento de inercia

Respuesta: I_x = 438,7 × 10⁶ mm⁴

Secciones con huecos: trata un hueco como un área negativa. El centroide es ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), con A₁, y₁ para la placa completa y A₂, y₂ para el hueco. Para el momento de inercia (segundo momento de área) respecto al eje centroidal, usa el teorema de los ejes paralelos para cada parte y resta el hueco: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), donde d es la distancia del centroide propio de cada parte al eje que pasa por ȳ. Un rectángulo tiene I_c = bh³/12 y un círculo I_c = πd⁴/64.

Centroide

ȳ = (60000·150 − 2827·210)/(60000 − 2827) = 147 mm

Placa completa respecto a ȳ

200·300³/12 + 60000·2,967² = 450,5 × 10⁶ mm⁴

Agujero respecto a ȳ

π·60⁴/64 + 2827·62,97² = 11,85 × 10⁶ mm⁴

Resta

I_x = 438,7 × 10⁶ mm⁴

Respuesta

I_x = 438,7 × 10⁶ mm⁴

8.Centroide y momento de inercia

Respuesta: I_x = 77,39 × 10⁶ mm⁴

Áreas compuestas: divide la sección en rectángulos. El centroide es la media ponderada por áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. El momento de inercia respecto al eje que pasa por el centroide suma el bh³/12 propio de cada parte y su término de Steiner A·d², donde d es la distancia del centroide de la parte al centroide global. La tensión de flexión es σ = M·y/I.

Divide en tres rectángulos

Mide cada y desde el borde inferior.

ala superior: A = 2400 mm², y = 220 mm

alma: A = 2000 mm², y = 114 mm

ala inferior: A = 4200 mm², y = 7 mm

Centroide

ȳ = (2400·220 + 2000·114 + 4200·7)/8600 = 91,33 mm

Teorema de Steiner

ala superior: 200·12³/12 + 2400·128,7² = 3,977 × 10⁷ mm⁴

alma: 10·200³/12 + 2000·22,67² = 7,695 × 10⁶ mm⁴

ala inferior: 300·14³/12 + 4200·84,33² = 2,993 × 10⁷ mm⁴

I_x = 3,977 × 10⁷ + 7,695 × 10⁶ + 2,993 × 10⁷

I_x = 7,739 × 10⁷ mm⁴ = 77,39 × 10⁶ mm⁴

Respuesta

I_x = 77,39 × 10⁶ mm⁴

9.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: θ_s = −26,57 °

Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R.

Ángulo en el círculo

En el círculo de Mohr el punto más alto (+R) está a 90° del punto principal σ₁; en el elemento eso son 45°.

cos 2θ_s = 30/50 = 0,6, sin 2θ_s = −40/50 = −0,8

2θ_s = atan2(−40, 30) = −53,13°

Ángulo en el elemento

θ_s = −26,57°

comprobación: θ_s − θ_p = −26,57 − 18,43 = −45°

Respuesta

θ_s = −26,57°

Los ángulos positivos son en sentido antihorario.

10.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: τ_θ = −38,08 MPa

Ecuación de transformación

τ_θ = −95·0,6428 + 30·0,766 = −38,08 MPa

Respuesta

τ_θ = −38,08 MPa

11.Flecha de la viga

Respuesta: δ_max = 19,27 mm

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

w = 15 N/mm, L = 2500 mm

EI = 3,96 × 10¹¹ N·mm²

Flecha

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·2500⁴/(384·3,96 × 10¹¹) = 19,27 mm

Respuesta

δ_max = 19,27 mm

12.Flecha de la viga

Respuesta: R_B = 12 kN

Quita el apoyo adicional

Sin el apoyo adicional la viga es un voladizo. Su extremo libre descendería bajo la carga.

δ_load = wL⁴/(8EI)

Compatibilidad en el apoyo B

La reacción del apoyo R_B por sí sola levanta el extremo libre R_BL³/(3EI). El apoyo mantiene B con flecha nula, así que ambas deben anularse. EI se simplifica.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·8·4/8 = 12 kN

Respuesta

R_B = 12 kN

13.Pandeo de pilares

Respuesta: P_cr = 51,56 kN

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en P_cr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Menor momento de inercia

Un rectángulo pandea respecto a su eje débil, usando la dimensión menor al cubo.

I_min = h·b³/12 = 60·40³/12 = 320000 mm⁴

Longitud de pandeo

KL = 0,7·5000 = 3500 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·320000/3500² = 51564 N = 51,56 kN

Respuesta

P_cr = 51,56 kN

14.Pandeo de pilares

Respuesta: d = 96 mm

Carga crítica necesaria

P_cr = n·P = 2·40000 = 80000 N

KL = 2·3000 = 6000 mm

Despeja el diámetro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·80000·6000²/(π³·70000))^(1/4) = 96 mm

Respuesta

d = 96 mm

Comprobación: la esbeltez KL/r es 250, así que el pilar es esbelto y Euler es válido.

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