Resistencia de materiales: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 14 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Tensión y deformación axial

Tensión normal: σ = F/A
Deformación: ε = ΔL/L
Ley de Hooke: σ = E·ε
Alargamiento: ΔL = FL/(EA)
Deformación térmica: ε_T = α·ΔT

Torsión de ejes

Tensión cortante: τ = T·r/J
Eje macizo: J = πd⁴/32
Eje hueco: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ)
Potencia: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Halla el momento polar de inercia: J = πd⁴/32 para un eje macizo.
Tensión tangencial en la superficie: τ = T·r/J, con r el radio exterior.
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ) en radianes.
Si te dan la potencia, halla primero el par con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cortante y momento flector

Cortante y momento: V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
Tensión de flexión: σ = M·y/I
Rectángulo: I = bh³/12
Módulo resistente: W = I/y_max
Viga biapoyada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.

Centroide y momento de inercia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectángulo: I = bh³/12
Teorema de Steiner: I = I_c + A·d²
Sección compuesta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Radio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensiones principales: σ_1,2 = C ± R
Dirección principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcula el centro del círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcula el radio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Las tensiones principales son C ± R y la tensión tangencial máxima en el plano es R.
Los ángulos en el círculo son el doble que los ángulos en el elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flecha de la viga

Carga puntual en el centro del vano: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoyada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Voladizo, carga en el extremo: δ = PL³/(3EI)
Voladizo, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposición: δ = δ₁ + δ₂

Pandeo de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Factor de longitud de pandeo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 empotrado–empotrado, 0,7 empotrado–articulado, 2 empotrado–libre
Tensión crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Problemas de práctica

1.Tensión y deformación axialMedia

Una varilla de acero (diámetro 20 mm, E = 200 GPa) está dentro de un tubo de latón (diámetro exterior 80 mm, diámetro interior 60 mm, E = 100 GPa). Ambos miden 300 mm de largo y se comprimen juntos entre placas rígidas con 200 kN. Halla el acortamiento δ.

P = 200 kNbarra: Ø20 mm, E = 200 GPatubo: Ø80/Ø60 mm, E = 100 GPaL = 300 mm

δ = mm

2.Tensión y deformación axialDifícil

Una varilla de acero (diámetro 20 mm, E = 200 GPa, tensión admisible 160 MPa) está dentro de un tubo de bronce (diámetro exterior 80 mm, diámetro interior 60 mm, E = 110 GPa, tensión admisible 100 MPa). Se comprimen juntos entre placas rígidas. Halla la mayor carga P_max.

barra: Ø20 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 160 MPatubo: Ø80/Ø60 mm, E = 110 GPa, σ_allow = 100 MPa

P_max = kN

3.Torsión de ejesMedia

En un ensayo de torsión, una probeta maciza de 20 mm de diámetro se tuerce con un par de 100 N·m. Los dos extremos de una longitud de medida de 400 mm giran 5,61° uno respecto al otro (el material sigue en régimen elástico). Halla el módulo de elasticidad transversal G del material.

T = 100 N·md = 20 mmL = 400 mmφ = 5,61°

G = GPa

4.Torsión de ejesDifícil

Un eje hueco transmite 50 kW a 1800 rpm. Halla la tensión cortante máxima τ_max en el eje.

P = 50 kWN = 1800 rpmd_o = 60 mmd_i = 42 mm

τ_max = MPa

5.Cortante y momento flectorMedia

Halla el esfuerzo cortante V_x en la sección x = 5,5 m desde el apoyo A. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.

L = 10 mw = 8 kN/m de 0 a 10 mx = 5,5 m

V_x = kN

6.Cortante y momento flectorDifícil

Las marcas A a G dividen la viga en seis partes iguales. ¿En qué marca es mayor el momento flector en valor absoluto, positivo o negativo? Haz clic en ella en el diagrama.

55 kN @ 0 m15 kN @ 12 m35 kN @ 4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Centroide y momento de inerciaMedia

Una sección en I simétrica tiene alas de 160 mm de ancho y 10 mm de espesor, un canto total de 380 mm y un alma de 10 mm de espesor. Halla su momento de inercia I_x respecto al eje centroidal horizontal x.

B = 160 mmH = 380 mmt_f = 10 mmt_w = 10 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centroide y momento de inerciaDifícil

La sección en T se usa como viga con el ala arriba y soporta un momento flector positivo de 30 kN·m. Halla la tensión de flexión σ_inferior en el borde inferior.

b_f = 180 mmt_f = 10 mmt_w = 8 mmh_w = 220 mmM = 30 kN·m

σ_inferior = MPa

9.Círculo de Mohr y transformación de tensionesMedia

En un punto σₓ = −70 MPa, σᵧ = −70 MPa y τₓᵧ = −20 MPa (tracción positiva). El elemento se gira 30° en sentido horario. Halla la tensión normal σ_y′ en las caras del elemento girado perpendiculares al eje girado y′.

σ_x = −70 MPaσ_y = −70 MPaτ_xy = −20 MPaθ = -30°

σ_y′ = MPa

10.Círculo de Mohr y transformación de tensionesDifícil

Un punto de una pieza cargada tiene σₓ = 140 MPa, σᵧ = 90 MPa y τₓᵧ = 40 MPa (tracción positiva). Halla la tensión cortante τ_θ en un plano cuya normal está girada 20° en sentido antihorario respecto al eje x (positiva en el mismo sentido que τₓᵧ).

σ_x = 140 MPaσ_y = 90 MPaτ_xy = 40 MPaθ = 20°

τ_θ = MPa

11.Flecha de la vigaMedia

Una viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida w en toda su luz. Halla el giro θ_A de la viga en el apoyo A, en radianes.

w = 2 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (madera estructural)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

12.Flecha de la vigaDifícil

Una viga simplemente apoyada soporta una carga puntual P a b = 2 m del apoyo B. Halla la flecha δ_mid en el centro del vano.

P = 29 kNb = 2 mL = 5 mE = 70 GPa (aluminio)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_mid = mm

13.Pandeo de pilaresMedia

Un pilar de longitud L de acero está articulado en ambos extremos. Con la fórmula de Euler, halla su carga crítica de pandeo P_cr.

L = 1 mE = 200 GPa (acero)b × h = 30 × 50 mm

P_cr = kN

14.Pandeo de pilaresDifícil

Un pilar macizo circular de longitud L de acero está empotrado en ambos extremos. Debe soportar 15 kN con un coeficiente de seguridad de 3 frente al pandeo. Halla el diámetro mínimo d.

P = 15 kNn = 3L = 2,5 mE = 200 GPa (acero)

d = mm

3Disoluciones

1.Tensión y deformación axial

Respuesta: δ = 0,2122 mm

Dos materiales: en serie (uno tras otro) cada tramo soporta la misma fuerza y los alargamientos se suman: δ = P·Σ L/(E·A). En paralelo (lado a lado entre placas rígidas) ambas partes se acortan lo mismo, así que sus deformaciones unitarias son iguales: la parte más rígida toma la mayor porción, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, y σ_i = E_i·ε. Una barra sujeta entre dos muros rígidos con una carga en la unión es estáticamente indeterminada: los dos tramos se reparten la carga en proporción a su rigidez k = EA/L.

Áreas

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²

Rigidez axial combinada

ΣEA = 200·10³·314,2 + 100·10³·2199 = 2,827 × 10⁸ N

Acortamiento

δ = 200000·300/2,827 × 10⁸ = 0,2122 mm

Respuesta

δ = 0,2122 mm

2.Tensión y deformación axial

Respuesta: P_max = 243,8 kN

Áreas

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²

Rigidez axial combinada

ΣEA = 200·10³·314,2 + 110·10³·2199 = 3,047 × 10⁸ N

Deformación determinante

ε = min(0,0008, 0,0009091) = 0,0008 (acero)

Mayor carga

P_max = 0,0008·3,047 × 10⁸ = 243788 N = 243,8 kN

Respuesta

P_max = 243,8 kN

3.Torsión de ejes

Respuesta: G = 26,01 GPa

Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τ_max = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω.

Momento polar y ángulo

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

φ = 5,61·π/180 = 0,09791 rad

Módulo de elasticidad transversal

T = 100 N·m = 100000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 100000·400/(15708·0,09791) = 26008 MPa

G = 26,01 GPa

Respuesta

G = 26,01 GPa

Compara: acero ≈ 80 GPa, latón ≈ 39 GPa, aluminio ≈ 26 GPa.

4.Torsión de ejes

Respuesta: τ_max = 8,231 MPa

Par

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s

T = P/ω = 50000/188,5 = 265,3 N·m

Momento polar de inercia

J = π(60⁴ − 42⁴)/32 = 966855 mm⁴

Tensión cortante máxima

τ_max = T·(d_o/2)/J = 265258·30/966855 = 8,231 MPa

Respuesta

τ_max = 8,231 MPa

5.Cortante y momento flector

Respuesta: V_x = −4 kN

Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte.

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la viga.

Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 8·10 = 80 kN, aplicada en x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 8·10·5

R_B = 400/10 = 40 kN

ΣF_y = 0: R_A = 80 − 40 = 40 kN

Corta en x = 5,5 m y quédate con la parte izquierda

Solo aparecen las fuerzas a la izquierda del corte. Un tramo de carga repartida actúa como una fuerza en el centro de ese tramo.

V = R_A − (todas las cargas hacia abajo a la izquierda del corte)

V_x = 40 − 8·5,5 = −4 kN

Respuesta

V_x = −4 kN

6.Cortante y momento flector

Respuesta: B (x = 2 m)

Mayor momento flector: M cambia de pendiente allí donde cambia el esfuerzo cortante, así que sus picos están donde el esfuerzo cortante cruza el cero: bajo una carga puntual, dentro de una carga distribuida, o sobre un apoyo de un voladizo. En el empotramiento de una ménsula, el momento es máximo en la pared. Compara el valor de M en esos lugares, positivo o negativo.

Reacciones en los apoyos

Toma momentos respecto a un apoyo y luego usa el equilibrio de fuerzas verticales.

R₁ = 91,25 kN, R₂ = 13,75 kN

Momento flector en cada marca

Suma los momentos de todas las fuerzas a un lado del corte. El momento positivo hace que la viga se comba hacia abajo; el negativo, hacia arriba.

M_A = 0, M_B = −110 kN·m, M_C = −37,5, M_D = −35, M_E = −32,5, M_F = −30, M_G = 0

Respuesta

Marca B: M_B = −110 kN·m

7.Centroide y momento de inercia

Respuesta: I_x = 148,4 × 10⁶ mm⁴

Momento de inercia: para un rectángulo respecto a su propio eje centroidal I = bh³/12, y respecto a su base bh³/3 (teorema de Steiner I = I_c + A·d²). Un hueco se trata restando su I, siempre que ambas partes compartan el mismo eje. El módulo resistente elástico es S = I/c, donde c es la distancia a la fibra extrema.

Rectángulo exterior menos los dos huecos laterales

Los dos huecos juntos miden (B − t_w) de ancho y h_w = H − 2t_f de alto, y comparten el eje x.

h_w = 380 − 2·10 = 360 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (160·380³ − 150·360³)/12

I_x = 1,484 × 10⁸ mm⁴ = 148,4 × 10⁶ mm⁴

Respuesta

I_x = 148,4 × 10⁶ mm⁴

8.Centroide y momento de inercia

Respuesta: σ_inferior = 267,1 MPa

Áreas compuestas: divide la sección en rectángulos. El centroide es la media ponderada por áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. El momento de inercia respecto al eje que pasa por el centroide suma el bh³/12 propio de cada parte y su término de Steiner A·d², donde d es la distancia del centroide de la parte al centroide global. La tensión de flexión es σ = M·y/I.

Divide en dos rectángulos

Mide cada y desde el borde inferior.

ala: A_f = 180·10 = 1800 mm², y_f = 220 + 10/2 = 225 mm

alma: A_w = 8·220 = 1760 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1800·225 + 1760·110)/3560 = 168,1 mm

Teorema de Steiner

ala: 180·10³/12 + 1800·(225 − 168,1)² = 5,833 × 10⁶ mm⁴

alma: 8·220³/12 + 1760·(110 − 168,1)² = 1,305 × 10⁷ mm⁴

I_x = 5,833 × 10⁶ + 1,305 × 10⁷ = 1,888 × 10⁷ mm⁴

Tensión de flexión

El borde inferior está a ȳ del eje.

y = 168,1 mm

σ = M·y/I = 3 × 10⁷·168,1/1,888 × 10⁷ = 267,1 MPa

Respuesta

σ_inferior = 267,1 MPa

9.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: σ_y′ = −87,32 MPa

Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R.

Ecuación de transformación para la cara y′

σ_y′ = −70 − 0·0,5 − (−20)·(−0,866) = −87,32 MPa

Comprobación

La suma de las tensiones normales no cambia con el giro.

σ_x′ = −52,68 MPa, σ_x′ + σ_y′ = −140 = σ_x + σ_y

Respuesta

σ_y′ = −87,32 MPa

10.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: τ_θ = 14,57 MPa

Ecuación de transformación

τ_θ = −25·0,6428 + 40·0,766 = 14,57 MPa

Respuesta

τ_θ = 14,57 MPa

11.Flecha de la viga

Respuesta: θ_A = 0,00713 rad

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición). El giro θ = dv/dx es la primera integral de M/(EI); con unidades coherentes sale en radianes.

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 2000 mm

EI = 9,35 × 10¹⁰ N·mm²

Giro en el extremo

θ_A = wL³/(24EI) = 2·2000³/(24·9,35 × 10¹⁰) = 0,00713 rad

Respuesta

θ_A = 0,00713 rad

Eso son 0,4085°.

12.Flecha de la viga

Respuesta: δ_mid = 6,365 mm

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 29000 N, b = 2000 mm, L = 5000 mm

EI = 1,12 × 10¹³ N·mm²

Flecha en el centro del vano

δ_mid = Pb(3L² − 4b²)/(48EI) = 29000·2000·(3·5000² − 4·2000²)/(48·1,12 × 10¹³) = 6,365 mm

Respuesta

δ_mid = 6,365 mm

13.Pandeo de pilares

Respuesta: P_cr = 222,1 kN

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en P_cr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Menor momento de inercia

Un rectángulo pandea respecto a su eje débil, usando la dimensión menor al cubo.

I_min = h·b³/12 = 50·30³/12 = 112500 mm⁴

Longitud de pandeo

KL = 1·1000 = 1000 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·112500/1000² = 222066 N = 222,1 kN

Respuesta

P_cr = 222,1 kN

14.Pandeo de pilares

Respuesta: d = 29,19 mm

Carga crítica necesaria

P_cr = n·P = 3·15000 = 45000 N

KL = 0,5·2500 = 1250 mm

Despeja el diámetro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·45000·1250²/(π³·200000))^(1/4) = 29,19 mm

Respuesta

d = 29,19 mm

Comprobación: la esbeltez KL/r es 171,3, así que el pilar es esbelto y Euler es válido.

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