Resistencia de materiales: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 14 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Tensión y deformación axial

Tensión normal: σ = F/A
Deformación: ε = ΔL/L
Ley de Hooke: σ = E·ε
Alargamiento: ΔL = FL/(EA)
Deformación térmica: ε_T = α·ΔT

Torsión de ejes

Tensión cortante: τ = T·r/J
Eje macizo: J = πd⁴/32
Eje hueco: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ)
Potencia: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Halla el momento polar de inercia: J = πd⁴/32 para un eje macizo.
Tensión tangencial en la superficie: τ = T·r/J, con r el radio exterior.
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ) en radianes.
Si te dan la potencia, halla primero el par con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cortante y momento flector

Cortante y momento: V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
Tensión de flexión: σ = M·y/I
Rectángulo: I = bh³/12
Módulo resistente: W = I/y_max
Viga biapoyada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.

Centroide y momento de inercia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectángulo: I = bh³/12
Teorema de Steiner: I = I_c + A·d²
Sección compuesta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Radio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensiones principales: σ_1,2 = C ± R
Dirección principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcula el centro del círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcula el radio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Las tensiones principales son C ± R y la tensión tangencial máxima en el plano es R.
Los ángulos en el círculo son el doble que los ángulos en el elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flecha de la viga

Carga puntual en el centro del vano: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoyada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Voladizo, carga en el extremo: δ = PL³/(3EI)
Voladizo, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposición: δ = δ₁ + δ₂

Pandeo de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Factor de longitud de pandeo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 empotrado–empotrado, 0,7 empotrado–articulado, 2 empotrado–libre
Tensión crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Problemas de práctica

1.Tensión y deformación axialMedia

Una barra está formada por un tramo de acero (diámetro 40 mm, longitud 600 mm, E = 200 GPa) unido extremo con extremo a un tramo de latón (diámetro 60 mm, longitud 300 mm, E = 100 GPa). Está empotrada en un extremo y se tira del otro. Halla la carga axial P que la alarga 0,25 mm en total.

tramo 1: acero, Ø40 mm, 600 mm, E = 200 GPatramo 2: latón, Ø60 mm, 300 mm, E = 100 GPaδ = 0,25 mm

P = kN

2.Tensión y deformación axialDifícil

Un tramo de acero (diámetro 20 mm, longitud 500 mm, E = 200 GPa) y un tramo de bronce (diámetro 50 mm, longitud 200 mm, E = 110 GPa) se unen extremo con extremo y se fijan entre dos muros rígidos. Una carga axial de 40 kN actúa en la unión, hacia el tramo 2. Halla el valor de la tensión σ₂ en el tramo 2.

tramo 1: acero, Ø20 mm, 500 mm, E = 200 GPatramo 2: bronce, Ø50 mm, 200 mm, E = 110 GPaP = 40 kN

σ₂ = MPa

3.Torsión de ejesMedia

Un eje hueco debe transmitir un par de 200 N·m. Su diámetro interior debe ser 0,8 veces su diámetro exterior, y la tensión cortante no debe superar 75 MPa. Halla el diámetro exterior mínimo d_o.

T = 200 N·md_i/d_o = 0,8τ_allow = 75 MPa

d_o = mm

4.Torsión de ejesDifícil

Un eje hueco debe transmitir 20 kW a 300 rpm. Su diámetro interior debe ser 0,7 veces su diámetro exterior, y la tensión cortante no debe superar 50 MPa. Halla el diámetro exterior mínimo d_o.

P = 20 kWN = 300 rpmd_i/d_o = 0,7τ_allow = 50 MPa

d_o = mm

5.Cortante y momento flectorMedia

Las marcas A a G dividen la viga en seis partes iguales. ¿En qué marca es mayor el momento flector en valor absoluto, positivo o negativo? Haz clic en ella en el diagrama.

10 kN @ 6 m8 kN/m, 0–12 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Cortante y momento flectorDifícil

La viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida w en toda su luz y una carga puntual P. Halla el momento flector máximo M_max en la viga.

L = 5 mP = 10 kN en 3 mw = 2 kN/m de 0 a 5 m

M_max = kN·m

7.Centroide y momento de inerciaMedia

Halla el momento de inercia I_x de la sección en T respecto al eje horizontal x que pasa por su centroide.

b_f = 260 mmt_f = 25 mmt_w = 18 mmh_w = 100 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centroide y momento de inerciaDifícil

Una viga de fundición tiene la sección en T de la figura, con el ala arriba. Las tensiones admisibles son 35 MPa a tracción y 150 MPa a compresión. Halla el mayor momento flector positivo M_allow que puede soportar la viga.

b_f = 300 mmt_f = 10 mmt_w = 10 mmh_w = 120 mmσ_t,allow = 35 MPaσ_c,allow = 150 MPa

M_allow = kN·m

9.Círculo de Mohr y transformación de tensionesMedia

En un punto σₓ = 70 MPa, σᵧ = 90 MPa y τₓᵧ = −40 MPa (tracción positiva). El elemento se gira 35° en sentido antihorario. Halla la tensión normal σ_y′ en las caras del elemento girado perpendiculares al eje girado y′.

σ_x = 70 MPaσ_y = 90 MPaτ_xy = −40 MPaθ = 35°

σ_y′ = MPa

10.Círculo de Mohr y transformación de tensionesDifícil

Un punto de una pieza cargada tiene σₓ = −50 MPa, σᵧ = 120 MPa y τₓᵧ = 10 MPa (tracción positiva). Halla la tensión normal σ_θ en un plano cuya normal está girada 20° en sentido horario respecto al eje x.

σ_x = −50 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = 10 MPaθ = -20°

σ_θ = MPa

11.Flecha de la vigaMedia

Una viga simplemente apoyada soporta una carga puntual P a a = 4,5 m del apoyo A. Halla la flecha δ_P bajo la carga.

P = 16 kNa = 4,5 mL = 8 mE = 200 GPa (acero)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Flecha de la vigaDifícil

Una viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida w y una carga puntual P en el centro del vano. Usando superposición, halla la flecha en el centro δ_max.

P = 10 kNw = 10 kN/mL = 6 mE = 70 GPa (aluminio)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Pandeo de pilaresMedia

Un pilar de longitud L de aluminio está empotrado en la base y articulado arriba. Con la fórmula de Euler, halla su carga crítica de pandeo P_cr.

L = 6 mE = 70 GPa (aluminio)b × h = 40 × 100 mm

P_cr = kN

14.Pandeo de pilaresDifícil

Un pilar macizo circular de longitud L de acero está empotrado en la base y articulado arriba. Debe soportar 30 kN con un coeficiente de seguridad de 2 frente al pandeo. Halla el diámetro mínimo d.

P = 30 kNn = 2L = 6 mE = 200 GPa (acero)

d = mm

3Disoluciones

1.Tensión y deformación axial

Respuesta: P = 72,5 kN

Dos materiales: en serie (uno tras otro) cada tramo soporta la misma fuerza y los alargamientos se suman: δ = P·Σ L/(E·A). En paralelo (lado a lado entre placas rígidas) ambas partes se acortan lo mismo, así que sus deformaciones unitarias son iguales: la parte más rígida toma la mayor porción, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, y σ_i = E_i·ε. Una barra sujeta entre dos muros rígidos con una carga en la unión es estáticamente indeterminada: los dos tramos se reparten la carga en proporción a su rigidez k = EA/L.

Áreas

A₁ = 1257 mm², A₂ = 2827 mm²

Flexibilidades

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·1257) = 2,387 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 300/(100000·2827) = 1,061 × 10⁻⁶ mm/N

Carga

P = 0,25/3,448 × 10⁻⁶ = 72498 N = 72,5 kN

Respuesta

P = 72,5 kN

2.Tensión y deformación axial

Respuesta: σ₂ = 18,25 MPa

Rigideces

k₁ = 200000·314,2/500 = 125664 N/mm

k₂ = 110000·1963/200 = 1,08 × 10⁶ N/mm

Parte del tramo 2

F₂ = 40000·1,08 × 10⁶/1,206 × 10⁶ = 35831 N

Tensión

σ₂ = 35831/1963 = 18,25 MPa (compresión)

Respuesta

σ₂ = 18,25 MPa

3.Torsión de ejes

Respuesta: d_o = 28,44 mm

Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τ_max = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω.

Diámetro exterior a partir de la tensión admisible

T = 200 N·m = 200000 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,8⁴ = 0,5904

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·200000/(π·75·0,5904)) = 28,44 mm

d_i = 0,8·28,44 = 22,75 mm

Respuesta

d_o = 28,44 mm

Un eje macizo necesitaría d = 23,86 mm; el hueco es algo mayor pero mucho más ligero.

4.Torsión de ejes

Respuesta: d_o = 44,03 mm

Par

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 20000/31,42 = 636,6 N·m

Diámetro exterior a partir de la tensión admisible

T = 636,6 N·m = 636620 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,7⁴ = 0,7599

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·636620/(π·50·0,7599)) = 44,03 mm

d_i = 0,7·44,03 = 30,82 mm

Respuesta

d_o = 44,03 mm

Un eje macizo necesitaría d = 40,18 mm; el hueco es algo mayor pero mucho más ligero.

5.Cortante y momento flector

Respuesta: D (x = 6 m)

Mayor momento flector: M cambia de pendiente allí donde cambia el esfuerzo cortante, así que sus picos están donde el esfuerzo cortante cruza el cero: bajo una carga puntual, dentro de una carga distribuida, o sobre un apoyo de un voladizo. En el empotramiento de una ménsula, el momento es máximo en la pared. Compara el valor de M en esos lugares, positivo o negativo.

Reacciones en los apoyos

Toma momentos respecto a un apoyo y luego usa el equilibrio de fuerzas verticales.

R₁ = 53 kN, R₂ = 53 kN

Momento flector en cada marca

Suma los momentos de todas las fuerzas a un lado del corte. El momento positivo hace que la viga se comba hacia abajo; el negativo, hacia arriba.

M_A = 0, M_B = 90, M_C = 148, M_D = 174 kN·m, M_E = 148, M_F = 90, M_G = 0

Respuesta

Marca D: M_D = 174 kN·m

6.Cortante y momento flector

Respuesta: M_max = 18 kN·m

Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte. Momento máximo: como dM/dx = V, el momento flector alcanza su máximo donde el cortante pasa por cero, ya sea en una carga puntual o dentro de una carga repartida.

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la viga.

Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 2·5 = 10 kN, aplicada en x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 10·3 + 2·5·2,5

R_B = 55/5 = 11 kN

ΣF_y = 0: R_A = 20 − 11 = 9 kN

¿Dónde es V = 0?

V(3⁻) = R_A − w·3 = 3 kN

V(3⁺) = 3 − 10 = −7 kN

El cortante cambia de signo en la carga, así que el máximo está bajo la carga.

Momento máximo

M_max = R_A·3 − w·3²/2 = 9·3 − 2·3²/2 = 18 kN·m

Respuesta

M_max = 18 kN·m

Se produce en x = 3 m desde A.

7.Centroide y momento de inercia

Respuesta: I_x = 7,345 × 10⁶ mm⁴

Áreas compuestas: divide la sección en rectángulos. El centroide es la media ponderada por áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. El momento de inercia respecto al eje que pasa por el centroide suma el bh³/12 propio de cada parte y su término de Steiner A·d², donde d es la distancia del centroide de la parte al centroide global. La tensión de flexión es σ = M·y/I.

Divide en dos rectángulos

Mide cada y desde el borde inferior.

ala: A_f = 260·25 = 6500 mm², y_f = 100 + 25/2 = 112,5 mm

alma: A_w = 18·100 = 1800 mm², y_w = 100/2 = 50 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (6500·112,5 + 1800·50)/8300 = 98,95 mm

Teorema de Steiner

ala: 260·25³/12 + 6500·(112,5 − 98,95)² = 1,533 × 10⁶ mm⁴

alma: 18·100³/12 + 1800·(50 − 98,95)² = 5,812 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1,533 × 10⁶ + 5,812 × 10⁶ = 7,345 × 10⁶ mm⁴ = 7,345 × 10⁶ mm⁴

Respuesta

I_x = 7,345 × 10⁶ mm⁴

8.Centroide y momento de inercia

Respuesta: M_allow = 1,673 kN·m

Centroide

ȳ = (3000·125 + 1200·60)/4200 = 106,4 mm

borde superior: c = 130 − 106,4 = 23,57 mm

Momento de inercia

I = 300·10³/12 + 3000·18,57² + 10·120³/12 + 1200·46,43² = 5,086 × 10⁶ mm⁴

Momento admisible por cada borde

Momento positivo: la parte superior está comprimida y la inferior traccionada.

borde superior: M = 150·5,086 × 10⁶/23,57 = 32,37 kN·m

borde inferior: M = 35·5,086 × 10⁶/106,4 = 1,673 kN·m

Valor determinante

M_allow = min = 1,673 kN·m (borde inferior)

Respuesta

M_allow = 1,673 kN·m

9.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: σ_y′ = 121 MPa

Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R.

Ecuación de transformación para la cara y′

σ_y′ = 80 − (−10)·0,342 − (−40)·0,9397 = 121 MPa

Comprobación

La suma de las tensiones normales no cambia con el giro.

σ_x′ = 38,99 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 160 = σ_x + σ_y

Respuesta

σ_y′ = 121 MPa

10.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: σ_θ = −36,54 MPa

Ecuación de transformación

σ_θ = 35 + −85·0,766 + 10·−0,6428 = −36,54 MPa

Respuesta

σ_θ = −36,54 MPa

11.Flecha de la viga

Respuesta: δ_P = 35,95 mm

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 16000 N, a = 4500 mm, b = 3500 mm, L = 8000 mm

EI = 4,6 × 10¹² N·mm²

Flecha bajo la carga

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 16000·4500²·3500²/(3·4,6 × 10¹²·8000) = 35,95 mm

Respuesta

δ_P = 35,95 mm

12.Flecha de la viga

Respuesta: δ_max = 19,08 mm

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 10000 N, w = 10 N/mm, L = 6000 mm, EI = 1,12 × 10¹³ N·mm²

Cada carga por separado

δ_P = PL³/(48EI) = 10000·6000³/(48·1,12 × 10¹³) = 4,018 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·10·6000⁴/(384·1,12 × 10¹³) = 15,07 mm

Súmalas

δ_max = 4,018 + 15,07 = 19,08 mm

Respuesta

δ_max = 19,08 mm

13.Pandeo de pilares

Respuesta: P_cr = 20,89 kN

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en P_cr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Menor momento de inercia

Un rectángulo pandea respecto a su eje débil, usando la dimensión menor al cubo.

I_min = h·b³/12 = 100·40³/12 = 533333 mm⁴

Longitud de pandeo

KL = 0,7·6000 = 4200 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·533333/4200² = 20888 N = 20,89 kN

Respuesta

P_cr = 20,89 kN

14.Pandeo de pilares

Respuesta: d = 57,49 mm

Carga crítica necesaria

P_cr = n·P = 2·30000 = 60000 N

KL = 0,7·6000 = 4200 mm

Despeja el diámetro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·60000·4200²/(π³·200000))^(1/4) = 57,49 mm

Respuesta

d = 57,49 mm

Comprobación: la esbeltez KL/r es 292,2, así que el pilar es esbelto y Euler es válido.

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