Resistencia de materiales: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 14 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Tensión y deformación axial

Tensión normal: σ = F/A
Deformación: ε = ΔL/L
Ley de Hooke: σ = E·ε
Alargamiento: ΔL = FL/(EA)
Deformación térmica: ε_T = α·ΔT

Torsión de ejes

Tensión cortante: τ = T·r/J
Eje macizo: J = πd⁴/32
Eje hueco: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ)
Potencia: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Halla el momento polar de inercia: J = πd⁴/32 para un eje macizo.
Tensión tangencial en la superficie: τ = T·r/J, con r el radio exterior.
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ) en radianes.
Si te dan la potencia, halla primero el par con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cortante y momento flector

Cortante y momento: V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
Tensión de flexión: σ = M·y/I
Rectángulo: I = bh³/12
Módulo resistente: W = I/y_max
Viga biapoyada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.

Centroide y momento de inercia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectángulo: I = bh³/12
Teorema de Steiner: I = I_c + A·d²
Sección compuesta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Radio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensiones principales: σ_1,2 = C ± R
Dirección principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcula el centro del círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcula el radio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Las tensiones principales son C ± R y la tensión tangencial máxima en el plano es R.
Los ángulos en el círculo son el doble que los ángulos en el elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flecha de la viga

Carga puntual en el centro del vano: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoyada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Voladizo, carga en el extremo: δ = PL³/(3EI)
Voladizo, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposición: δ = δ₁ + δ₂

Pandeo de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Factor de longitud de pandeo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 empotrado–empotrado, 0,7 empotrado–articulado, 2 empotrado–libre
Tensión crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Problemas de práctica

1.Tensión y deformación axialMedia

Halla la deformación axial ε en la barra de acero, en microdeformaciones (µε = 10⁻⁶).

P = 10 kNd = 20 mmL = 0,5 mE = 200 GPa

ε = µε

2.Tensión y deformación axialDifícil

Una varilla de acero (diámetro 30 mm, E = 200 GPa, tensión admisible 160 MPa) está dentro de un tubo de aluminio (diámetro exterior 120 mm, diámetro interior 70 mm, E = 70 GPa, tensión admisible 60 MPa). Se comprimen juntos entre placas rígidas. Halla la mayor carga P_max.

barra: Ø30 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 160 MPatubo: Ø120/Ø70 mm, E = 70 GPa, σ_allow = 60 MPa

P_max = kN

3.Torsión de ejesMedia

Un eje macizo de aluminio está empotrado en la pared y se tuerce con un par T en su extremo libre. Halla el ángulo de torsión φ del extremo libre, en grados.

T = 500 N·md = 50 mmL = 3 mG = 26 GPa

φ = °

4.Torsión de ejesDifícil

Un eje macizo debe transmitir 20 kW a 1450 rpm sin que la tensión cortante supere 40 MPa. Halla el diámetro mínimo d que sirve.

P = 20 kWN = 1450 rpmτ_allow = 40 MPa

d = mm

5.Cortante y momento flectorMedia

Halla el esfuerzo cortante V_x en la sección x = 2 m desde el apoyo A. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.

L = 6 mw = 3 kN/m de 0 a 6 mx = 2 m

V_x = kN

6.Cortante y momento flectorDifícil

La viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida w en toda su luz y una carga puntual P. Halla el momento flector máximo M_max en la viga.

L = 4 mP = 10 kN en 1,5 mw = 3 kN/m de 0 a 4 m

M_max = kN·m

7.Centroide y momento de inerciaMedia

Una placa de 200 mm × 150 mm tiene un agujero circular de diámetro 60 mm en su línea central vertical, con su centro a 90 mm por encima del fondo. Halla el momento de inercia I_x respecto al eje horizontal que pasa por el centroide.

b = 200 mmh = 150 mmd = 60 mmcentro del agujero: y = 90 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centroide y momento de inerciaDifícil

La sección en T se usa como viga con el ala arriba y soporta un momento flector positivo de 10 kN·m. Halla la tensión de flexión σ_inferior en el borde inferior.

b_f = 260 mmt_f = 20 mmt_w = 12 mmh_w = 160 mmM = 10 kN·m

σ_inferior = MPa

9.Círculo de Mohr y transformación de tensionesMedia

En un punto σₓ = 40 MPa, σᵧ = −40 MPa y τₓᵧ = 50 MPa (tracción positiva). Halla el ángulo θ_s, entre −90° y 90°, desde el eje x hasta la normal del plano en el que la tensión cortante tiene su valor positivo máximo +R (cortante positivo en el mismo sentido que τₓᵧ).

σ_x = 40 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = 50 MPa

θ_s = °

10.Círculo de Mohr y transformación de tensionesDifícil

Un punto de una placa delgada está en tensión plana: σₓ = −30 MPa, σᵧ = 120 MPa y τₓᵧ = 60 MPa (σ_z = 0). El material tiene un límite elástico de 355 MPa. Halla el coeficiente de seguridad n frente a la plastificación según el criterio de Tresca (tensión cortante máxima).

σ_x = −30 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = 60 MPaσ_Y = 355 MPa

n =

11.Flecha de la vigaMedia

Un voladizo de longitud L está empotrado en A y soporta una carga puntual P a una distancia a = 2 m de A. Halla la flecha δ_B en el extremo libre B.

P = 6 kNa = 2 mL = 3 mE = 11 GPa (madera estructural)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

12.Flecha de la vigaDifícil

Una viga simplemente apoyada soporta dos cargas puntuales iguales P en sus tercios de la luz (a L/3 de cada apoyo). Usando superposición, halla la flecha en el centro δ_max.

P = 14 kNL = 6 mE = 70 GPa (aluminio)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Pandeo de pilaresMedia

Un pilar de longitud L de acero está empotrado en la base y articulado arriba. Con la fórmula de Euler, halla su carga crítica de pandeo P_cr.

L = 4 mE = 200 GPa (acero)b × h = 40 × 50 mm

P_cr = kN

14.Pandeo de pilaresDifícil

Un pilar de longitud L de aluminio está empotrado en ambos extremos. Halla su esbeltez y la tensión crítica de pandeo σ_cr con la fórmula de Euler.

L = 3 mE = 70 GPa (aluminio)d = 25 mm

σ_cr = MPa

3Disoluciones

1.Tensión y deformación axial

Respuesta: ε = 159,2 µε

Ley de Hooke: en el rango elástico σ = E·ε. Junto con σ = P/A y ε = δ/L se obtiene δ = PL/(AE).

Tensión

A = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ = P/A = 10·1000/314,2 = 31,83 MPa

Deformación (ley de Hooke)

E for acero = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 31,83/200000 = 0,0001592 = 159,2 µε

Respuesta

ε = 159,2 µε

2.Tensión y deformación axial

Respuesta: P_max = 530,9 kN

Dos materiales: en serie (uno tras otro) cada tramo soporta la misma fuerza y los alargamientos se suman: δ = P·Σ L/(E·A). En paralelo (lado a lado entre placas rígidas) ambas partes se acortan lo mismo, así que sus deformaciones unitarias son iguales: la parte más rígida toma la mayor porción, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, y σ_i = E_i·ε. Una barra sujeta entre dos muros rígidos con una carga en la unión es estáticamente indeterminada: los dos tramos se reparten la carga en proporción a su rigidez k = EA/L.

Áreas

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

Rigidez axial combinada

ΣEA = 200·10³·706,9 + 70·10³·7461 = 6,637 × 10⁸ N

Deformación determinante

ε = min(0,0008, 0,0008571) = 0,0008 (acero)

Mayor carga

P_max = 0,0008·6,637 × 10⁸ = 530929 N = 530,9 kN

Respuesta

P_max = 530,9 kN

3.Torsión de ejes

Respuesta: φ = 5,387 °

Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τ_max = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω.

Momento polar de inercia

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Ángulo de torsión

φ = TL/(GJ) = 500·1000·3000/(26000·613592) = 0,09402 rad

φ = 0,09402·180/π = 5,387°

Respuesta

φ = 5,387°

4.Torsión de ejes

Respuesta: d = 25,6 mm

Par

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 20000/151,8 = 131,7 N·m

Diámetro a partir de la tensión admisible

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·131714/(π·40)) = 25,6 mm

Respuesta

d = 25,6 mm

En la práctica redondearías al siguiente tamaño normalizado.

5.Cortante y momento flector

Respuesta: V_x = 3 kN

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la viga.

Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 3·6 = 18 kN, aplicada en x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 3·6·3

R_B = 54/6 = 9 kN

ΣF_y = 0: R_A = 18 − 9 = 9 kN

Corta en x = 2 m y quédate con la parte izquierda

Solo aparecen las fuerzas a la izquierda del corte. Un tramo de carga repartida actúa como una fuerza en el centro de ese tramo.

V = R_A − (todas las cargas hacia abajo a la izquierda del corte)

V_x = 9 − 3·2 = 3 kN

Respuesta

V_x = 3 kN

6.Cortante y momento flector

Respuesta: M_max = 15 kN·m

Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte. Momento máximo: como dM/dx = V, el momento flector alcanza su máximo donde el cortante pasa por cero, ya sea en una carga puntual o dentro de una carga repartida.

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la viga.

Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 3·4 = 12 kN, aplicada en x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 10·1,5 + 3·4·2

R_B = 39/4 = 9,75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 22 − 9,75 = 12,25 kN

¿Dónde es V = 0?

V(1,5⁻) = R_A − w·1,5 = 7,75 kN

V(1,5⁺) = 7,75 − 10 = −2,25 kN

El cortante cambia de signo en la carga, así que el máximo está bajo la carga.

Momento máximo

M_max = R_A·1,5 − w·1,5²/2 = 12,25·1,5 − 3·1,5²/2 = 15 kN·m

Respuesta

M_max = 15 kN·m

Se produce en x = 1,5 m desde A.

7.Centroide y momento de inercia

Respuesta: I_x = 54,91 × 10⁶ mm⁴

Secciones con huecos: trata un hueco como un área negativa. El centroide es ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), con A₁, y₁ para la placa completa y A₂, y₂ para el hueco. Para el momento de inercia (segundo momento de área) respecto al eje centroidal, usa el teorema de los ejes paralelos para cada parte y resta el hueco: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), donde d es la distancia del centroide propio de cada parte al eje que pasa por ȳ. Un rectángulo tiene I_c = bh³/12 y un círculo I_c = πd⁴/64.

Centroide

ȳ = (30000·75 − 2827·90)/(30000 − 2827) = 73,44 mm

Placa completa respecto a ȳ

200·150³/12 + 30000·1,561² = 56,32 × 10⁶ mm⁴

Agujero respecto a ȳ

π·60⁴/64 + 2827·16,56² = 1,412 × 10⁶ mm⁴

Resta

I_x = 54,91 × 10⁶ mm⁴

Respuesta

I_x = 54,91 × 10⁶ mm⁴

8.Centroide y momento de inercia

Respuesta: σ_inferior = 93,25 MPa

Áreas compuestas: divide la sección en rectángulos. El centroide es la media ponderada por áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. El momento de inercia respecto al eje que pasa por el centroide suma el bh³/12 propio de cada parte y su término de Steiner A·d², donde d es la distancia del centroide de la parte al centroide global. La tensión de flexión es σ = M·y/I.

Divide en dos rectángulos

Mide cada y desde el borde inferior.

ala: A_f = 260·20 = 5200 mm², y_f = 160 + 20/2 = 170 mm

alma: A_w = 12·160 = 1920 mm², y_w = 160/2 = 80 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (5200·170 + 1920·80)/7120 = 145,7 mm

Teorema de Steiner

ala: 260·20³/12 + 5200·(170 − 145,7)² = 3,236 × 10⁶ mm⁴

alma: 12·160³/12 + 1920·(80 − 145,7)² = 1,239 × 10⁷ mm⁴

I_x = 3,236 × 10⁶ + 1,239 × 10⁷ = 1,563 × 10⁷ mm⁴

Tensión de flexión

El borde inferior está a ȳ del eje.

y = 145,7 mm

σ = M·y/I = 1 × 10⁷·145,7/1,563 × 10⁷ = 93,25 MPa

Respuesta

σ_inferior = 93,25 MPa

9.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: θ_s = −19,33 °

Ángulo en el círculo

En el círculo de Mohr el punto más alto (+R) está a 90° del punto principal σ₁; en el elemento eso son 45°.

cos 2θ_s = 50/64,03 = 0,7809, sin 2θ_s = −40/64,03 = −0,6247

2θ_s = atan2(−40, 50) = −38,66°

Ángulo en el elemento

θ_s = −19,33°

comprobación: θ_s − θ_p = −19,33 − 25,67 = −45°

Respuesta

θ_s = −19,33°

Los ángulos positivos son en sentido antihorario.

10.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: n = 1,848

Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R. Criterios de plastificación: von Mises predice la plastificación cuando σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) alcanza σ_Y; Tresca, cuando la tensión cortante máxima absoluta alcanza σ_Y/2.

Tensiones principales

C = 45 MPa, R = 96,05 MPa

σ₁ = 141 MPa, σ₂ = −51,05 MPa, σ₃ = 0

Tresca

σ_max − σ_min = 192,1 MPa

n = 355/192,1 = 1,848

Respuesta

n = 1,848

n > 1 significa que el punto no plastifica; Tresca es algo más conservador que von Mises.

11.Flecha de la viga

Respuesta: δ_B = 15,91 mm

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 6000 N, a = 2000 mm, L = 3000 mm

EI = 1,76 × 10¹² N·mm²

Flecha en el extremo libre

Flecha en la carga más el giro en la carga por la longitud restante.

δ_P = Pa³/(3EI) = 9,091 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,006818 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 15,91 mm

Respuesta

δ_B = 15,91 mm

12.Flecha de la viga

Respuesta: δ_max = 12,78 mm

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 14000 N, L = 6000 mm

EI = 8,4 × 10¹² N·mm²

Una carga en L/3

δ₁ = Pb(3L² − 4b²)/(48EI), b = L/3 = 2000 mm

δ₁ = 6,389 mm

Suma ambas cargas

δ_max = 2·δ₁ = 23PL³/(648EI) = 12,78 mm

Respuesta

δ_max = 12,78 mm

13.Pandeo de pilares

Respuesta: P_cr = 67,14 kN

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en P_cr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Menor momento de inercia

Un rectángulo pandea respecto a su eje débil, usando la dimensión menor al cubo.

I_min = h·b³/12 = 50·40³/12 = 266667 mm⁴

Longitud de pandeo

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·266667/2800² = 67140 N = 67,14 kN

Respuesta

P_cr = 67,14 kN

14.Pandeo de pilares

Respuesta: σ_cr = 11,99 MPa

Menor momento de inercia

Una sección circular tiene el mismo I respecto a cualquier eje.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Radio de giro y esbeltez

A = 490,9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

KL/r = 1500/6,25 = 240

Tensión crítica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/240² = 11,99 MPa

Respuesta

σ_cr = 11,99 MPa

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