Resistencia de materiales: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 14 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Tensión y deformación axial

Tensión normal: σ = F/A
Deformación: ε = ΔL/L
Ley de Hooke: σ = E·ε
Alargamiento: ΔL = FL/(EA)
Deformación térmica: ε_T = α·ΔT

Torsión de ejes

Tensión cortante: τ = T·r/J
Eje macizo: J = πd⁴/32
Eje hueco: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ)
Potencia: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Halla el momento polar de inercia: J = πd⁴/32 para un eje macizo.
Tensión tangencial en la superficie: τ = T·r/J, con r el radio exterior.
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ) en radianes.
Si te dan la potencia, halla primero el par con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cortante y momento flector

Cortante y momento: V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
Tensión de flexión: σ = M·y/I
Rectángulo: I = bh³/12
Módulo resistente: W = I/y_max
Viga biapoyada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.

Centroide y momento de inercia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectángulo: I = bh³/12
Teorema de Steiner: I = I_c + A·d²
Sección compuesta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Radio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensiones principales: σ_1,2 = C ± R
Dirección principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcula el centro del círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcula el radio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Las tensiones principales son C ± R y la tensión tangencial máxima en el plano es R.
Los ángulos en el círculo son el doble que los ángulos en el elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flecha de la viga

Carga puntual en el centro del vano: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoyada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Voladizo, carga en el extremo: δ = PL³/(3EI)
Voladizo, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposición: δ = δ₁ + δ₂

Pandeo de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Factor de longitud de pandeo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 empotrado–empotrado, 0,7 empotrado–articulado, 2 empotrado–libre
Tensión crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Problemas de práctica

1.Tensión y deformación axialMedia

Halla el alargamiento δ de la barra de latón bajo la carga axial.

P = 115 kNd = 16 mmL = 3 mE = 100 GPa

δ = mm

2.Tensión y deformación axialDifícil

Un tramo de acero (diámetro 25 mm, longitud 400 mm, E = 200 GPa) y un tramo de bronce (diámetro 50 mm, longitud 400 mm, E = 110 GPa) se unen extremo con extremo y se fijan entre dos muros rígidos. Una carga axial de 20 kN actúa en la unión, hacia el tramo 2. Halla el valor de la tensión σ₂ en el tramo 2.

tramo 1: acero, Ø25 mm, 400 mm, E = 200 GPatramo 2: bronce, Ø50 mm, 400 mm, E = 110 GPaP = 20 kN

σ₂ = MPa

3.Torsión de ejesMedia

En un ensayo de torsión, una probeta maciza de 15 mm de diámetro se tuerce con un par de 30 N·m. Los dos extremos de una longitud de medida de 250 mm giran 2,22° uno respecto al otro (el material sigue en régimen elástico). Halla el módulo de elasticidad transversal G del material.

T = 30 N·md = 15 mmL = 250 mmφ = 2,22°

G = GPa

4.Torsión de ejesDifícil

Un eje macizo debe transmitir 10 kW a 750 rpm sin que la tensión cortante supere 80 MPa. Halla el diámetro mínimo d que sirve.

P = 10 kWN = 750 rpmτ_allow = 80 MPa

d = mm

5.Cortante y momento flectorMedia

Las marcas A a G dividen la viga en seis partes iguales. ¿En qué marca es mayor el momento flector en valor absoluto, positivo o negativo? Haz clic en ella en el diagrama.

20 kN @ 6 m15 kN/m, 0–12 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.Cortante y momento flectorDifícil

La viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida w en toda su luz y una carga puntual P. Halla el momento flector máximo M_max en la viga.

L = 4 mP = 60 kN en 1,5 mw = 3 kN/m de 0 a 4 m

M_max = kN·m

7.Centroide y momento de inerciaMedia

Una sección rectangular hueca (en cajón) tiene una anchura exterior B = 200 mm, una altura exterior H = 350 mm y un espesor de pared uniforme t = 18 mm. Halla su radio de giro r respecto al eje centroidal horizontal.

B = 200 mmH = 350 mmt = 18 mm

r = mm

8.Centroide y momento de inerciaDifícil

Una viga de fundición tiene la sección en T de la figura, con el ala arriba. Las tensiones admisibles son 60 MPa a tracción y 100 MPa a compresión. Halla el mayor momento flector negativo M_allow que puede soportar la viga (da su valor absoluto).

b_f = 240 mmt_f = 25 mmt_w = 18 mmh_w = 180 mmσ_t,allow = 60 MPaσ_c,allow = 100 MPa

M_allow = kN·m

9.Círculo de Mohr y transformación de tensionesMedia

Un punto de una placa delgada está en tensión plana: σₓ = −80 MPa, σᵧ = 30 MPa y τₓᵧ = 60 MPa, con σ_z = 0. Halla la tensión cortante máxima absoluta τ_abs en el punto (considerando todos los planos en tres dimensiones).

σ_x = −80 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = 60 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

10.Círculo de Mohr y transformación de tensionesDifícil

Un punto de una pieza cargada tiene σₓ = 70 MPa, σᵧ = 120 MPa y τₓᵧ = −40 MPa (tracción positiva). Halla la tensión cortante τ_θ en un plano cuya normal está girada 30° en sentido horario respecto al eje x (positiva en el mismo sentido que τₓᵧ).

σ_x = 70 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = −40 MPaθ = -30°

τ_θ = MPa

11.Flecha de la vigaMedia

Una viga simplemente apoyada soporta una carga puntual P a a = 1 m del apoyo A. Halla la flecha δ_P bajo la carga.

P = 19 kNa = 1 mL = 4 mE = 200 GPa (acero)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Flecha de la vigaDifícil

Una viga está empotrada en A y simplemente apoyada en B (viga empotrada y apoyada). Soporta una carga puntual P en el centro del vano. EI es constante. Halla el valor del momento flector M_A en el empotramiento.

L = 3 mP = 80 kN en 1,5 m

M_A = kN·m

13.Pandeo de pilaresMedia

Un pilar de longitud L de acero está empotrado en la base y articulado arriba. Con la fórmula de Euler, halla su carga crítica de pandeo P_cr.

L = 1 mE = 200 GPa (acero)b × h = 25 × 60 mm

P_cr = kN

14.Pandeo de pilaresDifícil

Un pilar de longitud L de aluminio está empotrado en la base y articulado arriba. Halla su esbeltez y la tensión crítica de pandeo σ_cr con la fórmula de Euler.

L = 1,5 mE = 70 GPa (aluminio)d = 20 mm

σ_cr = MPa

3Disoluciones

1.Tensión y deformación axial

Respuesta: δ = 17,16 mm

Ley de Hooke: en el rango elástico σ = E·ε. Junto con σ = P/A y ε = δ/L se obtiene δ = PL/(AE).

Tensión

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 115·1000/201,1 = 572 MPa

Deformación (ley de Hooke)

E for latón = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 572/100000 = 0,00572 = 5720 µε

Alargamiento

δ = ε·L = 0,00572·3000 mm = 17,16 mm

Respuesta

δ = 17,16 mm

2.Tensión y deformación axial

Respuesta: σ₂ = 7,003 MPa

Dos materiales: en serie (uno tras otro) cada tramo soporta la misma fuerza y los alargamientos se suman: δ = P·Σ L/(E·A). En paralelo (lado a lado entre placas rígidas) ambas partes se acortan lo mismo, así que sus deformaciones unitarias son iguales: la parte más rígida toma la mayor porción, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, y σ_i = E_i·ε. Una barra sujeta entre dos muros rígidos con una carga en la unión es estáticamente indeterminada: los dos tramos se reparten la carga en proporción a su rigidez k = EA/L.

Rigideces

k₁ = 200000·490,9/400 = 245437 N/mm

k₂ = 110000·1963/400 = 539961 N/mm

Parte del tramo 2

F₂ = 20000·539961/785398 = 13750 N

Tensión

σ₂ = 13750/1963 = 7,003 MPa (compresión)

Respuesta

σ₂ = 7,003 MPa

3.Torsión de ejes

Respuesta: G = 38,95 GPa

Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τ_max = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω.

Momento polar y ángulo

J = π·15⁴/32 = 4970 mm⁴

φ = 2,22·π/180 = 0,03875 rad

Módulo de elasticidad transversal

T = 30 N·m = 30000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 30000·250/(4970·0,03875) = 38946 MPa

G = 38,95 GPa

Respuesta

G = 38,95 GPa

Compara: acero ≈ 80 GPa, latón ≈ 39 GPa, aluminio ≈ 26 GPa.

4.Torsión de ejes

Respuesta: d = 20,09 mm

Par

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 10000/78,54 = 127,3 N·m

Diámetro a partir de la tensión admisible

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·127324/(π·80)) = 20,09 mm

Respuesta

d = 20,09 mm

En la práctica redondearías al siguiente tamaño normalizado.

5.Cortante y momento flector

Respuesta: D (x = 6 m)

Mayor momento flector: M cambia de pendiente allí donde cambia el esfuerzo cortante, así que sus picos están donde el esfuerzo cortante cruza el cero: bajo una carga puntual, dentro de una carga distribuida, o sobre un apoyo de un voladizo. En el empotramiento de una ménsula, el momento es máximo en la pared. Compara el valor de M en esos lugares, positivo o negativo.

Reacciones en los apoyos

Toma momentos respecto a un apoyo y luego usa el equilibrio de fuerzas verticales.

R₁ = 100 kN, R₂ = 100 kN

Momento flector en cada marca

Suma los momentos de todas las fuerzas a un lado del corte. El momento positivo hace que la viga se comba hacia abajo; el negativo, hacia arriba.

M_A = 0, M_B = 170, M_C = 280, M_D = 330 kN·m, M_E = 280, M_F = 170, M_G = 0

Respuesta

Marca D: M_D = 330 kN·m

6.Cortante y momento flector

Respuesta: M_max = 61,88 kN·m

Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte. Momento máximo: como dM/dx = V, el momento flector alcanza su máximo donde el cortante pasa por cero, ya sea en una carga puntual o dentro de una carga repartida.

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la viga.

Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 3·4 = 12 kN, aplicada en x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 60·1,5 + 3·4·2

R_B = 114/4 = 28,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 72 − 28,5 = 43,5 kN

¿Dónde es V = 0?

V(1,5⁻) = R_A − w·1,5 = 39 kN

V(1,5⁺) = 39 − 60 = −21 kN

El cortante cambia de signo en la carga, así que el máximo está bajo la carga.

Momento máximo

M_max = R_A·1,5 − w·1,5²/2 = 43,5·1,5 − 3·1,5²/2 = 61,88 kN·m

Respuesta

M_max = 61,88 kN·m

Se produce en x = 1,5 m desde A.

7.Centroide y momento de inercia

Respuesta: r = 125,5 mm

Momento de inercia: para un rectángulo respecto a su propio eje centroidal I = bh³/12, y respecto a su base bh³/3 (teorema de Steiner I = I_c + A·d²). Un hueco se trata restando su I, siempre que ambas partes compartan el mismo eje. El módulo resistente elástico es S = I/c, donde c es la distancia a la fibra extrema. El radio de giro r = √(I/A) es la distancia a la que toda el área daría el mismo I; se usa en el pandeo de pilares.

Área neta y momento de inercia neto

b = 164 mm, h = 314 mm

A = BH − bh = 200·350 − 164·314 = 18504 mm²

I = (BH³ − bh³)/12 = 2,915 × 10⁸ mm⁴

Radio de giro

r = √(I/A) = √(2,915 × 10⁸/18504) = 125,5 mm

Respuesta

r = 125,5 mm

8.Centroide y momento de inercia

Respuesta: M_allow = 19,91 kN·m

Áreas compuestas: divide la sección en rectángulos. El centroide es la media ponderada por áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. El momento de inercia respecto al eje que pasa por el centroide suma el bh³/12 propio de cada parte y su término de Steiner A·d², donde d es la distancia del centroide de la parte al centroide global. La tensión de flexión es σ = M·y/I.

Centroide

ȳ = (6000·192,5 + 3240·90)/9240 = 156,6 mm

borde superior: c = 205 − 156,6 = 48,44 mm

Momento de inercia

I = 240·25³/12 + 6000·35,94² + 18·180³/12 + 3240·66,56² = 3,116 × 10⁷ mm⁴

Momento admisible por cada borde

Momento negativo: la parte superior está traccionada y la inferior comprimida.

borde superior: M = 60·3,116 × 10⁷/48,44 = 38,6 kN·m

borde inferior: M = 100·3,116 × 10⁷/156,6 = 19,91 kN·m

Valor determinante

M_allow = min = 19,91 kN·m (borde inferior)

Respuesta

M_allow = 19,91 kN·m

9.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: τ_abs = 81,39 MPa

Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R. En tres dimensiones la tensión cortante máxima absoluta es (σ_max − σ_min)/2 entre las tres tensiones principales; en tensión plana la tercera es nula.

Tensiones principales en el plano

C = −25 MPa, R = √((−55)² + 60²) = 81,39 MPa

σ₁ = 56,39 MPa, σ₂ = −106,4 MPa, σ_z = 0

El mayor de los tres círculos

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(162,8, 56,39, 106,4)/2 = 81,39 MPa

Respuesta

τ_abs = 81,39 MPa

Aquí σ₁ y σ₂ tienen signos opuestos, así que el máximo en el plano R es también el máximo absoluto.

10.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: τ_θ = −41,65 MPa

Ecuación de transformación

τ_θ = −−25·−0,866 + −40·0,5 = −41,65 MPa

Respuesta

τ_θ = −41,65 MPa

11.Flecha de la viga

Respuesta: δ_P = 5,938 mm

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 19000 N, a = 1000 mm, b = 3000 mm, L = 4000 mm

EI = 2,4 × 10¹² N·mm²

Flecha bajo la carga

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 19000·1000²·3000²/(3·2,4 × 10¹²·4000) = 5,938 mm

Respuesta

δ_P = 5,938 mm

12.Flecha de la viga

Respuesta: M_A = 45 kN·m

Quita el apoyo adicional

Sin el apoyo adicional la viga es un voladizo. Su extremo libre descendería bajo la carga.

δ_load = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

Compatibilidad en el apoyo B

La reacción del apoyo R_B por sí sola levanta el extremo libre R_BL³/(3EI). El apoyo mantiene B con flecha nula, así que ambas deben anularse. EI se simplifica.

R_B·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → R_B = 5P/16 = 5·80/16 = 25 kN

Momento en el empotramiento

Momentos respecto a A de las cargas y de la reacción del apoyo.

M_A = P·L/2 − R_B·L = 120 − 75 = 45 kN·m

Respuesta

M_A = 45 kN·m

13.Pandeo de pilares

Respuesta: P_cr = 314,7 kN

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en P_cr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Menor momento de inercia

Un rectángulo pandea respecto a su eje débil, usando la dimensión menor al cubo.

I_min = h·b³/12 = 60·25³/12 = 78125 mm⁴

Longitud de pandeo

KL = 0,7·1000 = 700 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·78125/700² = 314720 N = 314,7 kN

Respuesta

P_cr = 314,7 kN

14.Pandeo de pilares

Respuesta: σ_cr = 15,67 MPa

Menor momento de inercia

Una sección circular tiene el mismo I respecto a cualquier eje.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Radio de giro y esbeltez

A = 314,2 mm²

r = √(I/A) = √(7854/314,2) = 5 mm

KL = 0,7·1500 = 1050 mm

KL/r = 1050/5 = 210

Tensión crítica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/210² = 15,67 MPa

Respuesta

σ_cr = 15,67 MPa

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