Resistencia de materiales: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 14 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Tensión y deformación axial

Tensión normal
σ = F/A
Deformación
ε = ΔL/L
Ley de Hooke
σ = E·ε
Alargamiento
ΔL = FL/(EA)
Deformación térmica
εT = α·ΔT

Torsión de ejes

Tensión cortante
τ = T·r/J
Eje macizo
J = πd⁴/32
Eje hueco
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ángulo de torsión
φ = TL/(GJ)
Potencia
P = T·ω = 2πnT/60

Método

  1. Halla el momento polar de inercia: J = πd⁴/32 para un eje macizo.
  2. Tensión tangencial en la superficie: τ = T·r/J, con r el radio exterior.
  3. Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ) en radianes.
  4. Si te dan la potencia, halla primero el par con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cortante y momento flector

Cortante y momento
V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
Tensión de flexión
σ = M·y/I
Rectángulo
I = bh³/12
Módulo resistente
W = I/ymax
Viga biapoyada, carga uniforme
Mmax = wL²/8

Método

  1. Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
  2. Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
  3. Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
  4. Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.

Centroide y momento de inercia

Centroide
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Rectángulo
I = bh³/12
Teorema de Steiner
I = Ic + A·d²
Sección compuesta
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Centro
C = (σx + σy)/2
Radio
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tensiones principales
σ1,2 = C ± R
Dirección principal
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Plano inclinado
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Método

  1. Calcula el centro del círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Calcula el radio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Las tensiones principales son C ± R y la tensión tangencial máxima en el plano es R.
  4. Los ángulos en el círculo son el doble que los ángulos en el elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flecha de la viga

Carga puntual en el centro del vano
δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoyada
δ = 5wL⁴/(384EI)
Voladizo, carga en el extremo
δ = PL³/(3EI)
Voladizo, carga uniforme
δ = wL⁴/(8EI)
Superposición
δ = δ1 + δ2

Pandeo de pilares

Carga crítica de Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Factor de longitud de pandeo
K = 1 articulado–articulado, 0,5 empotrado–empotrado, 0,7 empotrado–articulado, 2 empotrado–libre
Tensión crítica
σcr = Pcr/A
Esbeltez
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Problemas de práctica

1.Tensión y deformación axialMedia
Ø 12 mmAcero1 mP = 120 kN

Halla el alargamiento δ de la barra de acero bajo la carga axial.

P = 120 kNd = 12 mmL = 1 mE = 200 GPa
δ = mm
2.Tensión y deformación axialDifícil
50 kN12400 mm200 mmØ25Ø30σ2​ = ?

Un tramo de acero (diámetro 25 mm, longitud 400 mm, E = 200 GPa) y un tramo de cobre (diámetro 30 mm, longitud 200 mm, E = 120 GPa) se unen extremo con extremo y se fijan entre dos muros rígidos. Una carga axial de 50 kN actúa en la unión, hacia el tramo 2. Halla el valor de la tensión σ2 en el tramo 2.

tramo 1: acero, Ø25 mm, 400 mm, E = 200 GPatramo 2: cobre, Ø30 mm, 200 mm, E = 120 GPaP = 50 kN
σ2 = MPa
3.Torsión de ejesMedia
d1​ = 75 mmd2​ = 60 mmT = 2000 N·mABC1,5 m1,5 m

Un eje macizo escalonado de acero está empotrado en A. El tramo AB tiene un diámetro de 75 mm y una longitud de 1,5 m; el tramo BC tiene un diámetro de 60 mm y una longitud de 1,5 m. En el extremo libre C actúa un par de 2000 N·m. Halla el ángulo de torsión φC del extremo C, en grados.

T = 2000 N·md1 = 75 mm, L1 = 1,5 md2 = 60 mm, L2 = 1,5 mG = 80 GPa
φC = °
4.Torsión de ejesDifícil
Tdo​ = 75 mm, di​ = 38 mm

Un eje hueco transmite 30 kW a 750 rpm. Halla la tensión cortante máxima τmax en el eje.

P = 30 kWN = 750 rpmdo = 75 mmdi = 38 mm
τmax = MPa
5.Cortante y momento flectorMedia
P1​ = 30 kNP2​ = 65 kNAB1 m2 m5 m

La viga simplemente apoyada soporta dos cargas puntuales. Halla el momento flector máximo Mmax en la viga.

L = 8 mP1 = 30 kN en 1 mP2 = 65 kN en 3 m
Mmax = kN·m
6.Cortante y momento flectorDifícil
w = 10 kN/mP = 20 kNABsección4 m0,5 m1,5 m

Halla el momento flector Mx en la sección x = 4 m desde el apoyo A. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.

L = 6 mP = 20 kN en 4,5 mw = 10 kN/m de 0 a 6 mx = 4 m
Mx = kN·m
7.Centroide y momento de inerciaMedia
26080t = 8ȳ = ?cotas en mm

Una sección en U está colocada con el lado abierto hacia arriba: una placa de base de 260 mm de ancho con dos alas verticales de 80 mm de altura total. La base y las alas tienen todas 8 mm de espesor. Halla la altura ȳ del centroide sobre el borde inferior.

b = 260 mmh = 80 mmt = 8 mm
ȳ = mm
8.Centroide y momento de inerciaDifícil
160302808xM = 30 kN·mcotas en mm

La sección en T se usa como viga con el ala arriba y soporta un momento flector positivo de 30 kN·m. Halla el valor de la tensión de flexión σsuperior en el borde superior.

bf = 160 mmtf = 30 mmtw = 8 mmhw = 280 mmM = 30 kN·m
σsuperior = MPa
9.Círculo de Mohr y transformación de tensionesMedia
σx​ = 140σy​ = −70τxy​ = −60MPa

Un punto de una pieza cargada tiene σₓ = 140 MPa, σᵧ = −70 MPa y τₓᵧ = −60 MPa (tracción positiva). Halla la tensión cortante máxima en el plano τmax.

σx = 140 MPaσy = −70 MPaτxy = −60 MPa
τmax = MPa
10.Círculo de Mohr y transformación de tensionesDifícil
60°D = 800 mm, t = 5 mm, p = 0,5 MPap

Un depósito cilíndrico de pared delgada, con un diámetro interior de 800 mm y un espesor de pared de 5 mm, contiene gas a una presión manométrica de 0,5 MPa. Está fabricado con chapa soldada a lo largo de una costura helicoidal a 60° del eje del cilindro. Halla el valor de la tensión cortante |τn| que actúa a lo largo de la costura de soldadura.

D = 800 mmt = 5 mmp = 0,5 MPaα = 60°
|τn| = MPa
11.Flecha de la vigaMedia
w = 15 kN/mδL = 4 m

Una viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida w en toda su luz. Halla la flecha máxima δmax, en el centro del vano.

w = 15 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (acero)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.Flecha de la vigaDifícil
w = 5 kN/mδL = 5 m

Una viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida w. Su flecha no puede superar luz/360. Halla el momento de inercia mínimo Ireq que cumple este límite.

w = 5 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (acero)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.Pandeo de pilaresMedia
PL = 2,5 m30 × 80 mmsección

Un pilar de longitud L de acero está empotrado en ambos extremos. Con la fórmula de Euler, halla su carga crítica de pandeo Pcr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (acero)b × h = 30 × 80 mm
Pcr = kN
14.Pandeo de pilaresDifícil
P = 25 kNL = 1,5 md = ?sección

Un pilar macizo circular de longitud L de aluminio está articulado en ambos extremos. Debe soportar 25 kN con un coeficiente de seguridad de 3 frente al pandeo. Halla el diámetro mínimo d.

P = 25 kNn = 3L = 1,5 mE = 70 GPa (aluminio)
d = mm

3Disoluciones

1.Tensión y deformación axial

Respuesta: δ = 5,305 mm

Ley de Hooke: en el rango elástico σ = E·ε. Junto con σ = P/A y ε = δ/L se obtiene δ = PL/(AE).

Tensión

A = π·12²/4 = 113,1 mm²
σ = P/A = 120·1000/113,1 = 1061 MPa

Deformación (ley de Hooke)

E for acero = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 1061/200000 = 0,005305 = 5305 µε

Alargamiento

δ = ε·L = 0,005305·1000 mm = 5,305 mm

Respuesta

δ = 5,305 mm
2.Tensión y deformación axial

Respuesta: σ2 = 44,81 MPa

Dos materiales: en serie (uno tras otro) cada tramo soporta la misma fuerza y los alargamientos se suman: δ = P·Σ L/(E·A). En paralelo (lado a lado entre placas rígidas) ambas partes se acortan lo mismo, así que sus deformaciones unitarias son iguales: la parte más rígida toma la mayor porción, Pi = P·EiAi/ΣEA, y σi = Ei·ε. Una barra sujeta entre dos muros rígidos con una carga en la unión es estáticamente indeterminada: los dos tramos se reparten la carga en proporción a su rigidez k = EA/L.

Rigideces

k₁ = 200000·490,9/400 = 245437 N/mm
k₂ = 120000·706,9/200 = 424115 N/mm

Parte del tramo 2

F2 = 50000·424115/669552 = 31672 N

Tensión

σ2 = 31672/706,9 = 44,81 MPa (compresión)

Respuesta

σ2 = 44,81 MPa
3.Torsión de ejes

Respuesta: φC = 2,38 °

Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τmax = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(do⁴ − di⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω.

Momentos polares

J1 = π·75⁴/32 = 3,106 × 10⁶ mm⁴
J2 = π·60⁴/32 = 1,272 × 10⁶ mm⁴

Torsión de cada tramo

T = 2000 N·m = 2 × 10⁶ N·mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
φAB = 2 × 10⁶·1500/(80000·3,106 × 10⁶) = 0,01207 rad
φBC = 2 × 10⁶·1500/(80000·1,272 × 10⁶) = 0,02947 rad

Torsión total

φC = 0,01207 + 0,02947 = 0,04155 rad = 2,38°

Respuesta

φC = 2,38°
4.Torsión de ejes

Respuesta: τmax = 4,937 MPa

Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τmax = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(do⁴ − di⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω.

Par

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s
T = P/ω = 30000/78,54 = 382 N·m

Momento polar de inercia

J = π(75⁴ − 38⁴)/32 = 2,902 × 10⁶ mm⁴

Tensión cortante máxima

τmax = T·(do/2)/J = 381972·37,5/2,902 × 10⁶ = 4,937 MPa

Respuesta

τmax = 4,937 MPa
5.Cortante y momento flector

Respuesta: Mmax = 140,6 kN·m

Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte. Momento máximo: como dM/dx = V, el momento flector alcanza su máximo donde el cortante pasa por cero, ya sea en una carga puntual o dentro de una carga repartida.

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la viga.

ΣMA = 0: RB·8 = 30·1 + 65·3
RB = 225/8 = 28,13 kN
ΣFy = 0: RA = 95 − 28,13 = 66,88 kN

Momento bajo cada carga

Quédate con la parte a la izquierda de cada carga.

bajo P1: M = RA·1 = 66,88·1 = 66,88 kN·m
bajo P2: M = RB·5 = 28,13·5 = 140,6 kN·m

Valor máximo

Mmax = 140,6 kN·m (bajo P2)

Respuesta

Mmax = 140,6 kN·m
6.Cortante y momento flector

Respuesta: Mx = 60 kN·m

Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte.

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la viga.

Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 10·6 = 60 kN, aplicada en x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 20·4,5 + 10·6·3
RB = 270/6 = 45 kN
ΣFy = 0: RA = 80 − 45 = 35 kN
w = 10 kN/mP = 20 kNABRA​ = 35RB​ = 45sección4 m0,5 m1,5 m

Corta en x = 4 m y quédate con la parte izquierda

Solo aparecen las fuerzas a la izquierda del corte. Un tramo de carga repartida actúa como una fuerza en el centro de ese tramo.

M = RA·x − (cada carga a la izquierda del corte × su distancia al corte)
Mx = 35·4 − 10·4·2 = 60 kN·m

Respuesta

Mx = 60 kN·m
7.Centroide y momento de inercia

Respuesta: ȳ = 18,26 mm

Áreas compuestas: divide la sección en rectángulos. El centroide es la media ponderada por áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. El momento de inercia respecto al eje que pasa por el centroide suma el bh³/12 propio de cada parte y su término de Steiner A·d², donde d es la distancia del centroide de la parte al centroide global. La tensión de flexión es σ = M·y/I.

Divide en rectángulos

Toma la base con su ancho completo y las dos alas encima de ella (altura h − t), para no contar nada dos veces.

base: A1 = 260·8 = 2080 mm², y1 = 4 mm
dos alas: A2 = 2·8·72 = 1152 mm², y2 = 8 + 72/2 = 44 mm

Centroide

ȳ = (2080·4 + 1152·44)/3232 = 18,26 mm

Respuesta

ȳ = 18,26 mm
8.Centroide y momento de inercia

Respuesta: σsuperior = 37,33 MPa

Áreas compuestas: divide la sección en rectángulos. El centroide es la media ponderada por áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. El momento de inercia respecto al eje que pasa por el centroide suma el bh³/12 propio de cada parte y su término de Steiner A·d², donde d es la distancia del centroide de la parte al centroide global. La tensión de flexión es σ = M·y/I.

Divide en dos rectángulos

Mide cada y desde el borde inferior.

ala: Af = 160·30 = 4800 mm², yf = 280 + 30/2 = 295 mm
alma: Aw = 8·280 = 2240 mm², yw = 280/2 = 140 mm

Centroide

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (4800·295 + 2240·140)/7040 = 245,7 mm

Teorema de Steiner

ala: 160·30³/12 + 4800·(295 − 245,7)² = 1,203 × 10⁷ mm⁴
alma: 8·280³/12 + 2240·(140 − 245,7)² = 3,965 × 10⁷ mm⁴
Ix = 1,203 × 10⁷ + 3,965 × 10⁷ = 5,169 × 10⁷ mm⁴

Tensión de flexión

El borde superior está a h − ȳ del eje.

y = 310 − 245,7 = 64,32 mm
σ = M·y/I = 3 × 10⁷·64,32/5,169 × 10⁷ = 37,33 MPa

Respuesta

σsuperior = 37,33 MPa
9.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: τmax = 120,9 MPa

Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R.

στxyCτmax​

Radio del círculo de Mohr

τmax = R = √(((140 − −70)/2)² + −60²) = 120,9 MPa

Respuesta

τmax = 120,9 MPa
10.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: |τn| = 8,66 MPa

Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R. Cilindro de pared delgada: tensión circunferencial σh = pr/t y tensión axial σa = pr/(2t); son las tensiones principales en la pared.

Tensiones en la pared

r = 800/2 = 400 mm
σh = pr/t = 0,5·400/5 = 40 MPa
σa = pr/(2t) = 20 MPa

Transforma a la costura

Toma x a lo largo del eje (σa) e y en dirección circunferencial (σh). La normal de la costura forma 90° − α con el eje.

|τn| = (40 − 20)·sin 60°·cos 60° = 8,66 MPa

Respuesta

|τn| = 8,66 MPa
11.Flecha de la viga

Respuesta: δmax = 29,41 mm

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

w = 15 N/mm, L = 4000 mm
EI = 1,7 × 10¹² N·mm²

Flecha

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·4000⁴/(384·1,7 × 10¹²) = 29,41 mm

Respuesta

δmax = 29,41 mm
12.Flecha de la viga

Respuesta: Ireq = 14,65 × 10⁶ mm⁴

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).

Límite de flecha

δallow = L/360 = 5000/360 = 13,89 mm

Momento de inercia necesario

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·5·5000⁴/(384·200000·13,89) = 1,465 × 10⁷ mm⁴
Ireq = 14,65 × 10⁶ mm⁴

Respuesta

Ireq = 14,65 × 10⁶ mm⁴
13.Pandeo de pilares

Respuesta: Pcr = 227,4 kN

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en Pcr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Menor momento de inercia

Un rectángulo pandea respecto a su eje débil, usando la dimensión menor al cubo.

Imin = h·b³/12 = 80·30³/12 = 180000 mm⁴

Longitud de pandeo

KL = 0,5·2500 = 1250 mm

Carga crítica

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·180000/1250² = 227396 N = 227,4 kN

Respuesta

Pcr = 227,4 kN
14.Pandeo de pilares

Respuesta: d = 47,23 mm

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en Pcr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Carga crítica necesaria

Pcr = n·P = 3·25000 = 75000 N
KL = 1·1500 = 1500 mm

Despeja el diámetro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·75000·1500²/(π³·70000))^(1/4) = 47,23 mm

Respuesta

d = 47,23 mm

Comprobación: la esbeltez KL/r es 127, así que el pilar es esbelto y Euler es válido.

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