Tensión y deformación axial
- Tensión normal
- σ = F/A
- Deformación
- ε = ΔL/L
- Ley de Hooke
- σ = E·ε
- Alargamiento
- ΔL = FL/(EA)
- Deformación térmica
- εT = α·ΔT
Resistencia de materiales: pack de repaso
Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 14 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.
1Fórmulas y métodos
Torsión de ejes
- Tensión cortante
- τ = T·r/J
- Eje macizo
- J = πd⁴/32
- Eje hueco
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- Ángulo de torsión
- φ = TL/(GJ)
- Potencia
- P = T·ω = 2πnT/60
Método
- Halla el momento polar de inercia: J = πd⁴/32 para un eje macizo.
- Tensión tangencial en la superficie: τ = T·r/J, con r el radio exterior.
- Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ) en radianes.
- Si te dan la potencia, halla primero el par con P = T·ω, ω = 2πn/60.
Cortante y momento flector
- Cortante y momento
- V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
- Tensión de flexión
- σ = M·y/I
- Rectángulo
- I = bh³/12
- Módulo resistente
- W = I/ymax
- Viga biapoyada, carga uniforme
- Mmax = wL²/8
Método
- Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
- Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
- Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
- Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.
Centroide y momento de inercia
- Centroide
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- Rectángulo
- I = bh³/12
- Teorema de Steiner
- I = Ic + A·d²
- Sección compuesta
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
Círculo de Mohr y transformación de tensiones
- Centro
- C = (σx + σy)/2
- Radio
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- Tensiones principales
- σ1,2 = C ± R
- Dirección principal
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- Plano inclinado
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
Método
- Calcula el centro del círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
- Calcula el radio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- Las tensiones principales son C ± R y la tensión tangencial máxima en el plano es R.
- Los ángulos en el círculo son el doble que los ángulos en el elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
Flecha de la viga
- Carga puntual en el centro del vano
- δ = PL³/(48EI)
- Carga uniforme, viga biapoyada
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- Voladizo, carga en el extremo
- δ = PL³/(3EI)
- Voladizo, carga uniforme
- δ = wL⁴/(8EI)
- Superposición
- δ = δ1 + δ2
Pandeo de pilares
- Carga crítica de Euler
- Pcr = π²EI/(KL)²
- Factor de longitud de pandeo
- K = 1 articulado–articulado, 0,5 empotrado–empotrado, 0,7 empotrado–articulado, 2 empotrado–libre
- Tensión crítica
- σcr = Pcr/A
- Esbeltez
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2Problemas de práctica
1.Tensión y deformación axialMedia
Una barra está formada por un tramo de acero (diámetro 40 mm, longitud 300 mm, E = 200 GPa) unido extremo con extremo a un tramo de aluminio (diámetro 50 mm, longitud 500 mm, E = 70 GPa). Está empotrada en un extremo y se tira del otro. Halla la carga axial P que la alarga 0,25 mm en total.
tramo 1: acero, Ø40 mm, 300 mm, E = 200 GPatramo 2: aluminio, Ø50 mm, 500 mm, E = 70 GPaδ = 0,25 mm
P = kN
2.Tensión y deformación axialDifícil
La barra escalonada está empotrada en la pared y cargada en su extremo libre. Halla el alargamiento total δ.
P = 45 kNtramo 1: Ø35 mm, 2 m, cobre (E = 117 GPa)tramo 2: Ø20 mm, 1 m, cobre (E = 117 GPa)
δ = mm
3.Torsión de ejesMedia
Un eje hueco debe transmitir un par de 500 N·m. Su diámetro interior debe ser 0,7 veces su diámetro exterior, y la tensión cortante no debe superar 75 MPa. Halla el diámetro exterior mínimo do.
T = 500 N·mdi/do = 0,7τallow = 75 MPa
do = mm
4.Torsión de ejesDifícil
Un eje hueco transmite 100 kW a 300 rpm. Halla la tensión cortante máxima τmax en el eje.
P = 100 kWN = 300 rpmdo = 80 mmdi = 40 mm
τmax = MPa
5.Cortante y momento flectorMedia
La viga simplemente apoyada soporta un par en sentido horario M0 = 50 kN·m en x = 2 m desde A, y ninguna otra carga. Halla el momento flector Mx justo a la izquierda del par. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.
L = 4 mM0 = 50 kN·m en sentido horario, en 2 m
Mx = kN·m
6.Cortante y momento flectorDifícil
Halla el momento flector Mx en la sección x = 8,5 m desde el apoyo A. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.
L = 10 mP = 30 kN en 7 mw = 3 kN/m de 0 a 10 mx = 8,5 m
Mx = kN·m
7.Centroide y momento de inerciaMedia
Una sección en U está colocada con el lado abierto hacia arriba: una placa de base de 300 mm de ancho con dos alas verticales de 150 mm de altura total. La base y las alas tienen todas 8 mm de espesor. Halla la altura ȳ del centroide sobre el borde inferior.
b = 300 mmh = 150 mmt = 8 mm
ȳ = mm
8.Centroide y momento de inerciaDifícil
Una placa de 120 mm × 240 mm tiene un recorte rectangular de 40 mm de ancho y 20 mm de alto, centrado en la línea central vertical con su centro a 168 mm por encima del fondo. Halla el momento de inercia Ix respecto al eje horizontal que pasa por el centroide.
b = 120 mmh = 240 mmrecorte: 40 × 20 mmcentro del agujero: y = 168 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.Círculo de Mohr y transformación de tensionesMedia
Un punto de una pieza cargada tiene σₓ = 10 MPa, σᵧ = −50 MPa y τₓᵧ = 20 MPa (tracción positiva). Halla el ángulo θp desde el eje x hasta la dirección de la tensión principal mayor, entre −90° y 90°.
σx = 10 MPaσy = −50 MPaτxy = 20 MPa
θp = °
10.Círculo de Mohr y transformación de tensionesDifícil
Un punto de una pieza cargada tiene σₓ = −60 MPa, σᵧ = 40 MPa y τₓᵧ = −20 MPa (tracción positiva). Halla la tensión cortante τθ en un plano cuya normal está girada 40° en sentido antihorario respecto al eje x (positiva en el mismo sentido que τₓᵧ).
σx = −60 MPaσy = 40 MPaτxy = −20 MPaθ = 40°
τθ = MPa
11.Flecha de la vigaMedia
Un voladizo soporta una carga uniformemente repartida w en toda su longitud. Halla la flecha δ en el extremo libre.
w = 5 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (aluminio)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.Flecha de la vigaDifícil
Una viga está empotrada en A y simplemente apoyada en B (viga empotrada y apoyada). Soporta una carga uniformemente repartida w en toda su longitud. EI es constante. Halla la reacción RB en el apoyo B.
L = 4 mw = 8 kN/m
RB = kN
13.Pandeo de pilaresMedia
Un pilar de longitud L de acero está articulado en ambos extremos. Con la fórmula de Euler, halla su carga crítica de pandeo Pcr.
L = 3 mE = 200 GPa (acero)b × h = 30 × 80 mm
Pcr = kN
14.Pandeo de pilaresDifícil
Un pilar macizo circular de longitud L de acero está empotrado en la base y libre arriba. Debe soportar 40 kN con un coeficiente de seguridad de 3 frente al pandeo. Halla el diámetro mínimo d.
P = 40 kNn = 3L = 3 mE = 200 GPa (acero)
d = mm
3Disoluciones
1.Tensión y deformación axial
Respuesta: P = 51,74 kN
Dos materiales: en serie (uno tras otro) cada tramo soporta la misma fuerza y los alargamientos se suman: δ = P·Σ L/(E·A). En paralelo (lado a lado entre placas rígidas) ambas partes se acortan lo mismo, así que sus deformaciones unitarias son iguales: la parte más rígida toma la mayor porción, Pi = P·EiAi/ΣEA, y σi = Ei·ε. Una barra sujeta entre dos muros rígidos con una carga en la unión es estáticamente indeterminada: los dos tramos se reparten la carga en proporción a su rigidez k = EA/L.
Áreas
A₁ = 1257 mm², A₂ = 1963 mm²
Flexibilidades
L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·1257) = 1,194 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 500/(70000·1963) = 3,638 × 10⁻⁶ mm/N
Carga
P = 0,25/4,831 × 10⁻⁶ = 51744 N = 51,74 kN
Respuesta
P = 51,74 kN
2.Tensión y deformación axial
Respuesta: δ = 2,024 mm
Elementos con carga axial: cada tramo prismático cumple δ = PL/(AE). En tramos en serie los alargamientos se suman.
La misma fuerza en ambos tramos
El extremo libre soporta P, así que cada sección de la barra soporta el mismo esfuerzo axial P. Solo cambian las áreas y los materiales.
A1 = π·35²/4 = 962,1 mm², A2 = π·20²/4 = 314,2 mm²
σ1 = 46,77 MPa
σ2 = 143,2 MPa
Suma los alargamientos de los tramos
δ1 = σ1L1/E1 = 46,77·2000/117000 = 0,7995 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 143,2·1000/117000 = 1,224 mm
δ = δ1 + δ2 = 2,024 mm
Respuesta
δ = 2,024 mm
3.Torsión de ejes
Respuesta: do = 35,48 mm
Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τmax = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(do⁴ − di⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω.
Diámetro exterior a partir de la tensión admisible
T = 500 N·m = 500000 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0,7⁴ = 0,7599
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·500000/(π·75·0,7599)) = 35,48 mm
di = 0,7·35,48 = 24,84 mm
Respuesta
do = 35,48 mm
Un eje macizo necesitaría d = 32,38 mm; el hueco es algo mayor pero mucho más ligero.
4.Torsión de ejes
Respuesta: τmax = 33,77 MPa
Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τmax = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(do⁴ − di⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω.
Par
ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s
T = P/ω = 100000/31,42 = 3183 N·m
Momento polar de inercia
J = π(80⁴ − 40⁴)/32 = 3,77 × 10⁶ mm⁴
Tensión cortante máxima
τmax = T·(do/2)/J = 3,183 × 10⁶·40/3,77 × 10⁶ = 33,77 MPa
Respuesta
τmax = 33,77 MPa
5.Cortante y momento flector
Respuesta: Mx = −25 kN·m
Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte. Un par aplicado hace que el diagrama de momentos flectores salte en el valor del par.
Reacciones en los apoyos
Momentos respecto a A, antihorario positivo: RB·L − M0 = 0. Equilibrio vertical: RA + RB = 0.
RB = M0/L = 50/4 = 12,5 kN (hacia arriba)
RA = −RB = −12,5 kN (hacia abajo)
Corte justo a la izquierda del par
La parte izquierda solo contiene RA.
Mx = RA·a = −12,5·2 = −25 kN·m
Respuesta
Mx = −25 kN·m
6.Cortante y momento flector
Respuesta: Mx = 50,63 kN·m
Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte.
Reacciones en los apoyos
Equilibrio de toda la viga.
Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 3·10 = 30 kN, aplicada en x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 30·7 + 3·10·5
RB = 360/10 = 36 kN
ΣFy = 0: RA = 60 − 36 = 24 kN
Corta en x = 8,5 m y quédate con la parte izquierda
Solo aparecen las fuerzas a la izquierda del corte. Un tramo de carga repartida actúa como una fuerza en el centro de ese tramo.
M = RA·x − (cada carga a la izquierda del corte × su distancia al corte)
Mx = 24·8,5 − 30·(8,5 − 7) − 3·8,5·4,25 = 50,63 kN·m
Respuesta
Mx = 50,63 kN·m
7.Centroide y momento de inercia
Respuesta: ȳ = 40,47 mm
Áreas compuestas: divide la sección en rectángulos. El centroide es la media ponderada por áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. El momento de inercia respecto al eje que pasa por el centroide suma el bh³/12 propio de cada parte y su término de Steiner A·d², donde d es la distancia del centroide de la parte al centroide global. La tensión de flexión es σ = M·y/I.
Divide en rectángulos
Toma la base con su ancho completo y las dos alas encima de ella (altura h − t), para no contar nada dos veces.
base: A1 = 300·8 = 2400 mm², y1 = 4 mm
dos alas: A2 = 2·8·142 = 2272 mm², y2 = 8 + 142/2 = 79 mm
Centroide
ȳ = (2400·4 + 2272·79)/4672 = 40,47 mm
Respuesta
ȳ = 40,47 mm
8.Centroide y momento de inercia
Respuesta: Ix = 136,3 × 10⁶ mm⁴
Secciones con huecos: trata un hueco como un área negativa. El centroide es ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), con A₁, y₁ para la placa completa y A₂, y₂ para el hueco. Para el momento de inercia (segundo momento de área) respecto al eje centroidal, usa el teorema de los ejes paralelos para cada parte y resta el hueco: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), donde d es la distancia del centroide propio de cada parte al eje que pasa por ȳ. Un rectángulo tiene Ic = bh³/12 y un círculo Ic = πd⁴/64.
Centroide
ȳ = (28800·120 − 800·168)/(28800 − 800) = 118,6 mm
Placa completa respecto a ȳ
120·240³/12 + 28800·1,371² = 138,3 × 10⁶ mm⁴
Agujero respecto a ȳ
40·20³/12 + 800·49,37² = 1,977 × 10⁶ mm⁴
Resta
Ix = 136,3 × 10⁶ mm⁴
Respuesta
Ix = 136,3 × 10⁶ mm⁴
9.Círculo de Mohr y transformación de tensiones
Respuesta: θp = 16,85 °
Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R.
Ángulo en el círculo
En el círculo de Mohr, el punto x está a un ángulo 2θp del eje σ; el cuadrante se deduce de los signos de σₓ − σᵧ y τₓᵧ.
2θp = atan2(2·20, 10 − −50) = 33,69°
Ángulo en el elemento
θp = 16,85°
Respuesta
θp = 16,85°
Los ángulos positivos son en sentido antihorario.
10.Círculo de Mohr y transformación de tensiones
Respuesta: τθ = 45,77 MPa
Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R.
Ecuación de transformación
τθ = −−50·0,9848 + −20·0,1736 = 45,77 MPa
Respuesta
τθ = 45,77 MPa
11.Flecha de la viga
Respuesta: δ = 12,69 mm
Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).
Unidades coherentes
Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.
w = 5 N/mm, L = 3000 mm
EI = 3,99 × 10¹² N·mm²
Flecha
δ = wL⁴/(8EI) = 5·3000⁴/(8·3,99 × 10¹²) = 12,69 mm
Respuesta
δ = 12,69 mm
12.Flecha de la viga
Respuesta: RB = 12 kN
Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición). En una viga hiperestática, quita un apoyo redundante e impón que la flecha ahí sea nula (compatibilidad).
Quita el apoyo adicional
Sin el apoyo adicional la viga es un voladizo. Su extremo libre descendería bajo la carga.
δload = wL⁴/(8EI)
Compatibilidad en el apoyo B
La reacción del apoyo RB por sí sola levanta el extremo libre RBL³/(3EI). El apoyo mantiene B con flecha nula, así que ambas deben anularse. EI se simplifica.
RB·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → RB = 3wL/8 = 3·8·4/8 = 12 kN
Respuesta
RB = 12 kN
13.Pandeo de pilares
Respuesta: Pcr = 39,48 kN
Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en Pcr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.
Menor momento de inercia
Un rectángulo pandea respecto a su eje débil, usando la dimensión menor al cubo.
Imin = h·b³/12 = 80·30³/12 = 180000 mm⁴
Longitud de pandeo
KL = 1·3000 = 3000 mm
Carga crítica
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·180000/3000² = 39478 N = 39,48 kN
Respuesta
Pcr = 39,48 kN
14.Pandeo de pilares
Respuesta: d = 81,71 mm
Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en Pcr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.
Carga crítica necesaria
Pcr = n·P = 3·40000 = 120000 N
KL = 2·3000 = 6000 mm
Despeja el diámetro
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·120000·6000²/(π³·200000))^(1/4) = 81,71 mm
Respuesta
d = 81,71 mm
Comprobación: la esbeltez KL/r es 293,7, así que el pilar es esbelto y Euler es válido.
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