Resistencia de materiales: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 14 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Tensión y deformación axial

Tensión normal: σ = F/A
Deformación: ε = ΔL/L
Ley de Hooke: σ = E·ε
Alargamiento: ΔL = FL/(EA)
Deformación térmica: ε_T = α·ΔT

Torsión de ejes

Tensión cortante: τ = T·r/J
Eje macizo: J = πd⁴/32
Eje hueco: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ)
Potencia: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Halla el momento polar de inercia: J = πd⁴/32 para un eje macizo.
Tensión tangencial en la superficie: τ = T·r/J, con r el radio exterior.
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ) en radianes.
Si te dan la potencia, halla primero el par con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cortante y momento flector

Cortante y momento: V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
Tensión de flexión: σ = M·y/I
Rectángulo: I = bh³/12
Módulo resistente: W = I/y_max
Viga biapoyada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.

Centroide y momento de inercia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectángulo: I = bh³/12
Teorema de Steiner: I = I_c + A·d²
Sección compuesta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Radio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensiones principales: σ_1,2 = C ± R
Dirección principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcula el centro del círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcula el radio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Las tensiones principales son C ± R y la tensión tangencial máxima en el plano es R.
Los ángulos en el círculo son el doble que los ángulos en el elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flecha de la viga

Carga puntual en el centro del vano: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoyada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Voladizo, carga en el extremo: δ = PL³/(3EI)
Voladizo, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposición: δ = δ₁ + δ₂

Pandeo de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Factor de longitud de pandeo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 empotrado–empotrado, 0,7 empotrado–articulado, 2 empotrado–libre
Tensión crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Problemas de práctica

1.Tensión y deformación axialMedia

Una barra está formada por un tramo de acero (diámetro 20 mm, longitud 500 mm, E = 200 GPa) unido extremo con extremo a un tramo de aluminio (diámetro 30 mm, longitud 300 mm, E = 70 GPa). Está empotrada en un extremo y se tira del otro. Halla la carga axial P que la alarga 0,4 mm en total.

tramo 1: acero, Ø20 mm, 500 mm, E = 200 GPatramo 2: aluminio, Ø30 mm, 300 mm, E = 70 GPaδ = 0,4 mm

P = kN

2.Tensión y deformación axialDifícil

La barra escalonada está empotrada en la pared y cargada en su extremo libre. Halla el alargamiento total δ.

P = 80 kNtramo 1: Ø40 mm, 1 m, cobre (E = 117 GPa)tramo 2: Ø12 mm, 0,5 m, aluminio (E = 70 GPa)

δ = mm

3.Torsión de ejesMedia

Un eje macizo escalonado de acero está empotrado en A. El tramo AB tiene un diámetro de 30 mm y una longitud de 0,8 m; el tramo BC tiene un diámetro de 20 mm y una longitud de 2 m. En el extremo libre C actúa un par de 200 N·m. Halla el ángulo de torsión φ_C del extremo C, en grados.

T = 200 N·md₁ = 30 mm, L₁ = 0,8 md₂ = 20 mm, L₂ = 2 mG = 80 GPa

φ_C = °

4.Torsión de ejesDifícil

Un eje macizo de latón transmite 75 kW a 750 rpm. La tensión cortante no debe superar 75 MPa y la torsión no debe superar 0,5° por m de longitud. Halla el diámetro mínimo d que cumple ambos límites.

P = 75 kWN = 750 rpmτ_allow = 75 MPaθ_allow = 0,5°/mG = 39 GPa

d = mm

5.Cortante y momento flectorMedia

Halla el esfuerzo cortante V_x en la sección x = 1 m desde el apoyo A. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.

L = 6 mw = 10 kN/m de 0 a 6 mx = 1 m

V_x = kN

6.Cortante y momento flectorDifícil

La viga descansa sobre una articulación en A y un apoyo deslizante en B, y vuela 2,5 m más allá de B hasta el extremo libre C. Una carga uniformemente repartida w actúa en toda la longitud A–C. Halla la distancia x_c desde A hasta el punto de inflexión entre los apoyos (donde el momento flector cambia de signo).

L = 8,5 mw = 4 kN/m de 0 a 8,5 mapoyos en x = 0 y x = 6 m

x_c = m

7.Centroide y momento de inerciaMedia

Halla el momento de inercia I_x de la sección en T respecto al eje horizontal x que pasa por su centroide.

b_f = 300 mmt_f = 25 mmt_w = 20 mmh_w = 120 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centroide y momento de inerciaDifícil

La sección en T se usa como viga con el ala arriba y soporta un momento flector positivo de 20 kN·m. Halla el valor de la tensión de flexión σ_superior en el borde superior.

b_f = 280 mmt_f = 15 mmt_w = 20 mmh_w = 140 mmM = 20 kN·m

σ_superior = MPa

9.Círculo de Mohr y transformación de tensionesMedia

Un punto de una pieza cargada tiene σₓ = 120 MPa, σᵧ = −20 MPa y τₓᵧ = 20 MPa (tracción positiva). Halla la tensión cortante máxima en el plano τ_max.

σ_x = 120 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = 20 MPa

τ_max = MPa

10.Círculo de Mohr y transformación de tensionesDifícil

Un depósito cilíndrico de pared delgada, con un diámetro interior de 1500 mm y un espesor de pared de 8 mm, contiene gas a una presión manométrica de 2,5 MPa. Está fabricado con chapa soldada a lo largo de una costura helicoidal a 25° del eje del cilindro. Halla la tensión normal σ_n que actúa perpendicularmente a la costura de soldadura.

D = 1500 mmt = 8 mmp = 2,5 MPaα = 25°

σ_n = MPa

11.Flecha de la vigaMedia

Una viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida w en toda su luz. Halla la flecha máxima δ_max, en el centro del vano.

w = 4 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (madera estructural)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Flecha de la vigaDifícil

Una viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida w. Su flecha no puede superar luz/360. Halla el momento de inercia mínimo I_req que cumple este límite.

w = 6 kN/mL = 5 mE = 70 GPa (aluminio)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Pandeo de pilaresMedia

Un pilar de longitud L de aluminio está empotrado en la base y articulado arriba. Con la fórmula de Euler, halla su carga crítica de pandeo P_cr.

L = 4 mE = 70 GPa (aluminio)b × h = 25 × 60 mm

P_cr = kN

14.Pandeo de pilaresDifícil

Un pilar de longitud L de acero está empotrado en la base y libre arriba. Halla su esbeltez y la tensión crítica de pandeo σ_cr con la fórmula de Euler.

L = 2 mE = 200 GPa (acero)d = 80 mm

σ_cr = MPa

3Disoluciones

1.Tensión y deformación axial

Respuesta: P = 28,53 kN

Dos materiales: en serie (uno tras otro) cada tramo soporta la misma fuerza y los alargamientos se suman: δ = P·Σ L/(E·A). En paralelo (lado a lado entre placas rígidas) ambas partes se acortan lo mismo, así que sus deformaciones unitarias son iguales: la parte más rígida toma la mayor porción, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, y σ_i = E_i·ε. Una barra sujeta entre dos muros rígidos con una carga en la unión es estáticamente indeterminada: los dos tramos se reparten la carga en proporción a su rigidez k = EA/L.

Áreas

A₁ = 314,2 mm², A₂ = 706,9 mm²

Flexibilidades

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·314,2) = 7,958 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 300/(70000·706,9) = 6,063 × 10⁻⁶ mm/N

Carga

P = 0,4/1,402 × 10⁻⁵ = 28529 N = 28,53 kN

Respuesta

P = 28,53 kN

2.Tensión y deformación axial

Respuesta: δ = 5,597 mm

Elementos con carga axial: cada tramo prismático cumple δ = PL/(AE). En tramos en serie los alargamientos se suman.

La misma fuerza en ambos tramos

El extremo libre soporta P, así que cada sección de la barra soporta el mismo esfuerzo axial P. Solo cambian las áreas y los materiales.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 63,66 MPa

σ₂ = 707,4 MPa

Suma los alargamientos de los tramos

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 63,66·1000/117000 = 0,5441 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 707,4·500/70000 = 5,053 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 5,597 mm

Respuesta

δ = 5,597 mm

3.Torsión de ejes

Respuesta: φ_C = 19,68 °

Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τ_max = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω.

Momentos polares

J₁ = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

J₂ = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

Torsión de cada tramo

T = 200 N·m = 200000 N·mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ_AB = 200000·800/(80000·79522) = 0,02515 rad

φ_BC = 200000·2000/(80000·15708) = 0,3183 rad

Torsión total

φ_C = 0,02515 + 0,3183 = 0,3435 rad = 19,68°

Respuesta

φ_C = 19,68°

4.Torsión de ejes

Respuesta: d = 73,12 mm

Par

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 75000/78,54 = 954,9 N·m

Diámetro por resistencia

T = 954,9 N·m = 954930 N·mm

d_τ = ∛(16·954930/(π·75)) = 40,18 mm

Diámetro por rigidez

θ = 0,5·π/180/1000 = 8,727 × 10⁻⁶ rad/mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

d_φ = (32·954930/(π·39000·8,727 × 10⁻⁶))^1/4 = 73,12 mm

Diámetro determinante

Ambos límites deben cumplirse, así que manda el diámetro mayor.

d = max(40,18, 73,12) = 73,12 mm

Respuesta

d = 73,12 mm

Aquí manda la rigidez.

5.Cortante y momento flector

Respuesta: V_x = 20 kN

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la viga.

Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 10·6 = 60 kN, aplicada en x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 10·6·3

R_B = 180/6 = 30 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 30 = 30 kN

Corta en x = 1 m y quédate con la parte izquierda

Solo aparecen las fuerzas a la izquierda del corte. Un tramo de carga repartida actúa como una fuerza en el centro de ese tramo.

V = R_A − (todas las cargas hacia abajo a la izquierda del corte)

V_x = 30 − 10·1 = 20 kN

Respuesta

V_x = 20 kN

6.Cortante y momento flector

Respuesta: x_c = 4,958 m

Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte. Momento máximo: como dM/dx = V, el momento flector alcanza su máximo donde el cortante pasa por cero, ya sea en una carga puntual o dentro de una carga repartida.

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la viga, incluida la carga sobre el voladizo.

Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 4·8,5 = 34 kN, aplicada en x̄ = 4,25 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 4·8,5·4,25

R_B = 144,5/6 = 24,08 kN

ΣF_y = 0: R_A = 34 − 24,08 = 9,917 kN

Momento nulo

Entre los apoyos M(x) = R_A·x − w·x²/2. Aparte de x = 0, se anula en x = 2R_A/w.

R_A·x_c − w·x_c²/2 = 0

x_c = 2·9,917/4 = 4,958 m

Respuesta

x_c = 4,958 m

7.Centroide y momento de inercia

Respuesta: I_x = 12,83 × 10⁶ mm⁴

Áreas compuestas: divide la sección en rectángulos. El centroide es la media ponderada por áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. El momento de inercia respecto al eje que pasa por el centroide suma el bh³/12 propio de cada parte y su término de Steiner A·d², donde d es la distancia del centroide de la parte al centroide global. La tensión de flexión es σ = M·y/I.

Divide en dos rectángulos

Mide cada y desde el borde inferior.

ala: A_f = 300·25 = 7500 mm², y_f = 120 + 25/2 = 132,5 mm

alma: A_w = 20·120 = 2400 mm², y_w = 120/2 = 60 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (7500·132,5 + 2400·60)/9900 = 114,9 mm

Teorema de Steiner

ala: 300·25³/12 + 7500·(132,5 − 114,9)² = 2,707 × 10⁶ mm⁴

alma: 20·120³/12 + 2400·(60 − 114,9)² = 1,012 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,707 × 10⁶ + 1,012 × 10⁷ = 1,283 × 10⁷ mm⁴ = 12,83 × 10⁶ mm⁴

Respuesta

I_x = 12,83 × 10⁶ mm⁴

8.Centroide y momento de inercia

Respuesta: σ_superior = 52,23 MPa

Divide en dos rectángulos

Mide cada y desde el borde inferior.

ala: A_f = 280·15 = 4200 mm², y_f = 140 + 15/2 = 147,5 mm

alma: A_w = 20·140 = 2800 mm², y_w = 140/2 = 70 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4200·147,5 + 2800·70)/7000 = 116,5 mm

Teorema de Steiner

ala: 280·15³/12 + 4200·(147,5 − 116,5)² = 4,115 × 10⁶ mm⁴

alma: 20·140³/12 + 2800·(70 − 116,5)² = 1,063 × 10⁷ mm⁴

I_x = 4,115 × 10⁶ + 1,063 × 10⁷ = 1,474 × 10⁷ mm⁴

Tensión de flexión

El borde superior está a h − ȳ del eje.

y = 155 − 116,5 = 38,5 mm

σ = M·y/I = 2 × 10⁷·38,5/1,474 × 10⁷ = 52,23 MPa

Respuesta

σ_superior = 52,23 MPa

9.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: τ_max = 72,8 MPa

Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R.

Radio del círculo de Mohr

τ_max = R = √(((120 − −20)/2)² + 20²) = 72,8 MPa

Respuesta

τ_max = 72,8 MPa

10.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: σ_n = 213,4 MPa

Tensiones en la pared

r = 1500/2 = 750 mm

σ_h = pr/t = 2,5·750/8 = 234,4 MPa

σ_a = pr/(2t) = 117,2 MPa

Transforma a la costura

Toma x a lo largo del eje (σ_a) e y en dirección circunferencial (σ_h). La normal de la costura forma 90° − α con el eje.

σ_n = 117,2·sin²25° + 234,4·cos²25° = 213,4 MPa

Respuesta

σ_n = 213,4 MPa

11.Flecha de la viga

Respuesta: δ_max = 51,92 mm

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 5000 mm

EI = 6,27 × 10¹¹ N·mm²

Flecha

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·4·5000⁴/(384·6,27 × 10¹¹) = 51,92 mm

Respuesta

δ_max = 51,92 mm

12.Flecha de la viga

Respuesta: I_req = 50,22 × 10⁶ mm⁴

Límite de flecha

δ_allow = L/360 = 5000/360 = 13,89 mm

Momento de inercia necesario

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·6·5000⁴/(384·70000·13,89) = 5,022 × 10⁷ mm⁴

I_req = 50,22 × 10⁶ mm⁴

Respuesta

I_req = 50,22 × 10⁶ mm⁴

13.Pandeo de pilares

Respuesta: P_cr = 6,884 kN

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en P_cr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Menor momento de inercia

Un rectángulo pandea respecto a su eje débil, usando la dimensión menor al cubo.

I_min = h·b³/12 = 60·25³/12 = 78125 mm⁴

Longitud de pandeo

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·78125/2800² = 6884 N = 6,884 kN

Respuesta

P_cr = 6,884 kN

14.Pandeo de pilares

Respuesta: σ_cr = 49,35 MPa

Menor momento de inercia

Una sección circular tiene el mismo I respecto a cualquier eje.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Radio de giro y esbeltez

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 2·2000 = 4000 mm

KL/r = 4000/20 = 200

Tensión crítica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/200² = 49,35 MPa

Respuesta

σ_cr = 49,35 MPa

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