Resistencia de materiales: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 14 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Tensión y deformación axial

Tensión normal: σ = F/A
Deformación: ε = ΔL/L
Ley de Hooke: σ = E·ε
Alargamiento: ΔL = FL/(EA)
Deformación térmica: ε_T = α·ΔT

Torsión de ejes

Tensión cortante: τ = T·r/J
Eje macizo: J = πd⁴/32
Eje hueco: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ)
Potencia: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Halla el momento polar de inercia: J = πd⁴/32 para un eje macizo.
Tensión tangencial en la superficie: τ = T·r/J, con r el radio exterior.
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ) en radianes.
Si te dan la potencia, halla primero el par con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cortante y momento flector

Cortante y momento: V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
Tensión de flexión: σ = M·y/I
Rectángulo: I = bh³/12
Módulo resistente: W = I/y_max
Viga biapoyada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.

Centroide y momento de inercia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectángulo: I = bh³/12
Teorema de Steiner: I = I_c + A·d²
Sección compuesta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Radio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensiones principales: σ_1,2 = C ± R
Dirección principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcula el centro del círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcula el radio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Las tensiones principales son C ± R y la tensión tangencial máxima en el plano es R.
Los ángulos en el círculo son el doble que los ángulos en el elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flecha de la viga

Carga puntual en el centro del vano: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoyada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Voladizo, carga en el extremo: δ = PL³/(3EI)
Voladizo, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposición: δ = δ₁ + δ₂

Pandeo de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Factor de longitud de pandeo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 empotrado–empotrado, 0,7 empotrado–articulado, 2 empotrado–libre
Tensión crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Problemas de práctica

1.Tensión y deformación axialMedia

Una barra está formada por un tramo de acero (diámetro 30 mm, longitud 400 mm, E = 200 GPa) unido extremo con extremo a un tramo de aluminio (diámetro 40 mm, longitud 300 mm, E = 70 GPa). Está empotrada en un extremo y se tira del otro. Halla la carga axial P que la alarga 0,4 mm en total.

tramo 1: acero, Ø30 mm, 400 mm, E = 200 GPatramo 2: aluminio, Ø40 mm, 300 mm, E = 70 GPaδ = 0,4 mm

P = kN

2.Tensión y deformación axialDifícil

La barra escalonada está empotrada en la pared y cargada en su extremo libre. Halla la tensión normal máxima σ_max en la barra.

P = 10 kNtramo 1: Ø30 mm, 2 m, cobre (E = 117 GPa)tramo 2: Ø12 mm, 1 m, cobre (E = 117 GPa)

σ_max = MPa

3.Torsión de ejesMedia

Un eje macizo escalonado de latón está empotrado en A. El tramo AB tiene un diámetro de 60 mm y una longitud de 0,5 m; el tramo BC tiene un diámetro de 50 mm y una longitud de 3 m. En el extremo libre C actúa un par de 2000 N·m. Halla el ángulo de torsión φ_C del extremo C, en grados.

T = 2000 N·md₁ = 60 mm, L₁ = 0,5 md₂ = 50 mm, L₂ = 3 mG = 39 GPa

φ_C = °

4.Torsión de ejesDifícil

Un eje macizo debe transmitir 5 kW a 300 rpm sin que la tensión cortante supere 50 MPa. Halla el diámetro mínimo d que sirve.

P = 5 kWN = 300 rpmτ_allow = 50 MPa

d = mm

5.Cortante y momento flectorMedia

La viga simplemente apoyada soporta un par en sentido horario M₀ = 40 kN·m en x = 2 m desde A, y ninguna otra carga. Halla el momento flector M_x justo a la izquierda del par. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.

L = 8 mM₀ = 40 kN·m en sentido horario, en 2 m

M_x = kN·m

6.Cortante y momento flectorDifícil

Halla el momento flector M_x en la sección x = 3 m desde el apoyo A. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.

L = 4 mP = 40 kN en 2 mw = 8 kN/m de 0 a 4 mx = 3 m

M_x = kN·m

7.Centroide y momento de inerciaMedia

Una placa de 200 mm × 150 mm tiene un agujero circular de diámetro 60 mm en su línea central vertical, con su centro a 105 mm por encima del fondo. Halla el momento de inercia I_x respecto al eje horizontal que pasa por el centroide.

b = 200 mmh = 150 mmd = 60 mmcentro del agujero: y = 105 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centroide y momento de inerciaDifícil

Una placa de 200 mm × 150 mm tiene un recorte rectangular de 50 mm de ancho y 30 mm de alto, centrado en la línea central vertical con su centro a 52,5 mm por encima del fondo. Halla el momento de inercia I_x respecto al eje horizontal que pasa por el centroide.

b = 200 mmh = 150 mmrecorte: 50 × 30 mmcentro del agujero: y = 52,5 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Círculo de Mohr y transformación de tensionesMedia

Un punto de una pieza cargada tiene σₓ = −40 MPa, σᵧ = 50 MPa y τₓᵧ = 60 MPa (tracción positiva). Halla el ángulo θ_p desde el eje x hasta la dirección de la tensión principal mayor, entre −90° y 90°.

σ_x = −40 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = 60 MPa

θ_p = °

10.Círculo de Mohr y transformación de tensionesDifícil

Un punto de una pieza cargada tiene σₓ = −10 MPa, σᵧ = 80 MPa y τₓᵧ = −60 MPa (tracción positiva). Halla la tensión cortante τ_θ en un plano cuya normal está girada 25° en sentido antihorario respecto al eje x (positiva en el mismo sentido que τₓᵧ).

σ_x = −10 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = −60 MPaθ = 25°

τ_θ = MPa

11.Flecha de la vigaMedia

Una viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida w en toda su luz. Halla la flecha máxima δ_max, en el centro del vano.

w = 12 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (acero)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Flecha de la vigaDifícil

Una viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida w y una carga puntual P en el centro del vano. Usando superposición, halla la flecha en el centro δ_max.

P = 30 kNw = 15 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (acero)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Pandeo de pilaresMedia

Un pilar de longitud L de acero está empotrado en ambos extremos. Con la fórmula de Euler, halla su carga crítica de pandeo P_cr.

L = 6 mE = 200 GPa (acero)d = 30 mm

P_cr = kN

14.Pandeo de pilaresDifícil

Un pilar macizo circular de longitud L de acero está articulado en ambos extremos. Debe soportar 25 kN con un coeficiente de seguridad de 2 frente al pandeo. Halla el diámetro mínimo d.

P = 25 kNn = 2L = 2,5 mE = 200 GPa (acero)

d = mm

3Disoluciones

1.Tensión y deformación axial

Respuesta: P = 64,1 kN

Dos materiales: en serie (uno tras otro) cada tramo soporta la misma fuerza y los alargamientos se suman: δ = P·Σ L/(E·A). En paralelo (lado a lado entre placas rígidas) ambas partes se acortan lo mismo, así que sus deformaciones unitarias son iguales: la parte más rígida toma la mayor porción, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, y σ_i = E_i·ε. Una barra sujeta entre dos muros rígidos con una carga en la unión es estáticamente indeterminada: los dos tramos se reparten la carga en proporción a su rigidez k = EA/L.

Áreas

A₁ = 706,9 mm², A₂ = 1257 mm²

Flexibilidades

L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·706,9) = 2,829 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 300/(70000·1257) = 3,41 × 10⁻⁶ mm/N

Carga

P = 0,4/6,24 × 10⁻⁶ = 64104 N = 64,1 kN

Respuesta

P = 64,1 kN

2.Tensión y deformación axial

Respuesta: σ_max = 88,42 MPa

Elementos con carga axial: cada tramo prismático cumple δ = PL/(AE). En tramos en serie los alargamientos se suman.

La misma fuerza en ambos tramos

El extremo libre soporta P, así que cada sección de la barra soporta el mismo esfuerzo axial P. Solo cambian las áreas y los materiales.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 14,15 MPa

σ₂ = 88,42 MPa

Tensión máxima

El tramo más delgado tiene menos área, así que soporta la tensión mayor.

σ_max = 88,42 MPa

Respuesta

σ_max = 88,42 MPa

3.Torsión de ejes

Respuesta: φ_C = 15,52 °

Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τ_max = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω.

Momentos polares

J₁ = π·60⁴/32 = 1,272 × 10⁶ mm⁴

J₂ = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Torsión de cada tramo

T = 2000 N·m = 2 × 10⁶ N·mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_AB = 2 × 10⁶·500/(39000·1,272 × 10⁶) = 0,02015 rad

φ_BC = 2 × 10⁶·3000/(39000·613592) = 0,2507 rad

Torsión total

φ_C = 0,02015 + 0,2507 = 0,2709 rad = 15,52°

Respuesta

φ_C = 15,52°

4.Torsión de ejes

Respuesta: d = 25,31 mm

Par

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 5000/31,42 = 159,2 N·m

Diámetro a partir de la tensión admisible

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·159155/(π·50)) = 25,31 mm

Respuesta

d = 25,31 mm

En la práctica redondearías al siguiente tamaño normalizado.

5.Cortante y momento flector

Respuesta: M_x = −10 kN·m

Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte. Un par aplicado hace que el diagrama de momentos flectores salte en el valor del par.

Reacciones en los apoyos

Momentos respecto a A, antihorario positivo: R_B·L − M₀ = 0. Equilibrio vertical: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 40/8 = 5 kN (hacia arriba)

R_A = −R_B = −5 kN (hacia abajo)

Corte justo a la izquierda del par

La parte izquierda solo contiene R_A.

M_x = R_A·a = −5·2 = −10 kN·m

Respuesta

M_x = −10 kN·m

6.Cortante y momento flector

Respuesta: M_x = 32 kN·m

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la viga.

Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 8·4 = 32 kN, aplicada en x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 40·2 + 8·4·2

R_B = 144/4 = 36 kN

ΣF_y = 0: R_A = 72 − 36 = 36 kN

Corta en x = 3 m y quédate con la parte izquierda

Solo aparecen las fuerzas a la izquierda del corte. Un tramo de carga repartida actúa como una fuerza en el centro de ese tramo.

M = R_A·x − (cada carga a la izquierda del corte × su distancia al corte)

M_x = 36·3 − 40·(3 − 2) − 8·3·1,5 = 32 kN·m

Respuesta

M_x = 32 kN·m

7.Centroide y momento de inercia

Respuesta: I_x = 52,8 × 10⁶ mm⁴

Secciones con huecos: trata un hueco como un área negativa. El centroide es ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), con A₁, y₁ para la placa completa y A₂, y₂ para el hueco. Para el momento de inercia (segundo momento de área) respecto al eje centroidal, usa el teorema de los ejes paralelos para cada parte y resta el hueco: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), donde d es la distancia del centroide propio de cada parte al eje que pasa por ȳ. Un rectángulo tiene I_c = bh³/12 y un círculo I_c = πd⁴/64.

Centroide

ȳ = (30000·75 − 2827·105)/(30000 − 2827) = 71,88 mm

Placa completa respecto a ȳ

200·150³/12 + 30000·3,122² = 56,54 × 10⁶ mm⁴

Agujero respecto a ȳ

π·60⁴/64 + 2827·33,12² = 3,738 × 10⁶ mm⁴

Resta

I_x = 52,8 × 10⁶ mm⁴

Respuesta

I_x = 52,8 × 10⁶ mm⁴

8.Centroide y momento de inercia

Respuesta: I_x = 55,34 × 10⁶ mm⁴

Centroide

ȳ = (30000·75 − 1500·52,5)/(30000 − 1500) = 76,18 mm

Placa completa respecto a ȳ

200·150³/12 + 30000·−1,184² = 56,29 × 10⁶ mm⁴

Agujero respecto a ȳ

50·30³/12 + 1500·−23,68² = 0,9539 × 10⁶ mm⁴

Resta

I_x = 55,34 × 10⁶ mm⁴

Respuesta

I_x = 55,34 × 10⁶ mm⁴

9.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: θ_p = 63,43 °

Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R.

Ángulo en el círculo

En el círculo de Mohr, el punto x está a un ángulo 2θp del eje σ; el cuadrante se deduce de los signos de σₓ − σᵧ y τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·60, −40 − 50) = 126,9°

Ángulo en el elemento

θ_p = 63,43°

Respuesta

θ_p = 63,43°

Los ángulos positivos son en sentido antihorario.

10.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: τ_θ = −4,095 MPa

Ecuación de transformación

τ_θ = −−45·0,766 + −60·0,6428 = −4,095 MPa

Respuesta

τ_θ = −4,095 MPa

11.Flecha de la viga

Respuesta: δ_max = 8,696 mm

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

w = 12 N/mm, L = 4000 mm

EI = 4,6 × 10¹² N·mm²

Flecha

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·4000⁴/(384·4,6 × 10¹²) = 8,696 mm

Respuesta

δ_max = 8,696 mm

12.Flecha de la viga

Respuesta: δ_max = 19,57 mm

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 30000 N, w = 15 N/mm, L = 4000 mm, EI = 4,6 × 10¹² N·mm²

Cada carga por separado

δ_P = PL³/(48EI) = 30000·4000³/(48·4,6 × 10¹²) = 8,696 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·4000⁴/(384·4,6 × 10¹²) = 10,87 mm

Súmalas

δ_max = 8,696 + 10,87 = 19,57 mm

Respuesta

δ_max = 19,57 mm

13.Pandeo de pilares

Respuesta: P_cr = 8,721 kN

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en P_cr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Menor momento de inercia

Una sección circular tiene el mismo I respecto a cualquier eje.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Longitud de pandeo

KL = 0,5·6000 = 3000 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/3000² = 8721 N = 8,721 kN

Respuesta

P_cr = 8,721 kN

14.Pandeo de pilares

Respuesta: d = 42,38 mm

Carga crítica necesaria

P_cr = n·P = 2·25000 = 50000 N

KL = 1·2500 = 2500 mm

Despeja el diámetro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·50000·2500²/(π³·200000))^(1/4) = 42,38 mm

Respuesta

d = 42,38 mm

Comprobación: la esbeltez KL/r es 236, así que el pilar es esbelto y Euler es válido.

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