Resistencia de materiales: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 14 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Tensión y deformación axial

Tensión normal: σ = F/A
Deformación: ε = ΔL/L
Ley de Hooke: σ = E·ε
Alargamiento: ΔL = FL/(EA)
Deformación térmica: ε_T = α·ΔT

Torsión de ejes

Tensión cortante: τ = T·r/J
Eje macizo: J = πd⁴/32
Eje hueco: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ)
Potencia: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Halla el momento polar de inercia: J = πd⁴/32 para un eje macizo.
Tensión tangencial en la superficie: τ = T·r/J, con r el radio exterior.
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ) en radianes.
Si te dan la potencia, halla primero el par con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cortante y momento flector

Cortante y momento: V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
Tensión de flexión: σ = M·y/I
Rectángulo: I = bh³/12
Módulo resistente: W = I/y_max
Viga biapoyada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.

Centroide y momento de inercia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectángulo: I = bh³/12
Teorema de Steiner: I = I_c + A·d²
Sección compuesta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Radio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensiones principales: σ_1,2 = C ± R
Dirección principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcula el centro del círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcula el radio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Las tensiones principales son C ± R y la tensión tangencial máxima en el plano es R.
Los ángulos en el círculo son el doble que los ángulos en el elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flecha de la viga

Carga puntual en el centro del vano: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoyada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Voladizo, carga en el extremo: δ = PL³/(3EI)
Voladizo, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposición: δ = δ₁ + δ₂

Pandeo de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Factor de longitud de pandeo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 empotrado–empotrado, 0,7 empotrado–articulado, 2 empotrado–libre
Tensión crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Problemas de práctica

1.Tensión y deformación axialMedia

Halla la deformación axial ε en la barra de acero, en microdeformaciones (µε = 10⁻⁶).

P = 15 kNd = 12 mmL = 2 mE = 200 GPa

ε = µε

2.Tensión y deformación axialDifícil

La barra escalonada está empotrada en la pared y cargada en su extremo libre. Halla el alargamiento total δ.

P = 85 kNtramo 1: Ø35 mm, 1 m, latón (E = 100 GPa)tramo 2: Ø16 mm, 2 m, cobre (E = 117 GPa)

δ = mm

3.Torsión de ejesMedia

Un eje hueco debe transmitir un par de 1500 N·m. Su diámetro interior debe ser 0,6 veces su diámetro exterior, y la tensión cortante no debe superar 80 MPa. Halla el diámetro exterior mínimo d_o.

T = 1500 N·md_i/d_o = 0,6τ_allow = 80 MPa

d_o = mm

4.Torsión de ejesDifícil

Un eje macizo de aluminio de 30 mm de diámetro está empotrado en muros rígidos en sus dos extremos A y B. Se aplica un par de 2000 N·m en C, a 1 m de A y a 0,5 m de B. Halla la tensión cortante máxima τ_max en el eje.

d = 30 mmT₀ = 2000 N·ma = 1 mb = 0,5 m

τ_max = MPa

5.Cortante y momento flectorMedia

Halla el momento flector M_x en la sección x = 4,5 m desde el apoyo A. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.

L = 8 mw = 6 kN/m de 0 a 8 mx = 4,5 m

M_x = kN·m

6.Cortante y momento flectorDifícil

Las marcas A a G dividen la viga en seis partes iguales. ¿En qué marca es mayor el momento flector en valor absoluto, positivo o negativo? Haz clic en ella en el diagrama.

15 kN @ 0 m35 kN @ 6 m60 kN @ 3 m5 kN/m, 1–5 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Centroide y momento de inerciaMedia

Una sección en U está colocada con el lado abierto hacia arriba: una placa de base de 300 mm de ancho con dos alas verticales de 180 mm de altura total. La base y las alas tienen todas 12 mm de espesor. Halla su momento de inercia I_x respecto al eje horizontal x que pasa por su centroide.

b = 300 mmh = 180 mmt = 12 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centroide y momento de inerciaDifícil

La sección en T se usa como viga con el ala arriba y soporta un momento flector positivo de 50 kN·m. Halla la tensión de flexión σ_inferior en el borde inferior.

b_f = 260 mmt_f = 30 mmt_w = 10 mmh_w = 300 mmM = 50 kN·m

σ_inferior = MPa

9.Círculo de Mohr y transformación de tensionesMedia

En un punto σₓ = −40 MPa y σᵧ = −30 MPa. ¿Hasta qué valor τ_xy (en valor absoluto) puede llegar la tensión cortante antes de que la tensión principal mayor alcance −15 MPa?

σ_x = −40 MPaσ_y = −30 MPaσ₁ = −15 MPa

τ_xy = MPa

10.Círculo de Mohr y transformación de tensionesDifícil

Un punto de una placa delgada está en tensión plana: σₓ = 110 MPa, σᵧ = 0 MPa y τₓᵧ = −50 MPa (σ_z = 0). El material tiene un límite elástico de 275 MPa. Halla el coeficiente de seguridad n frente a la plastificación según el criterio de von Mises (energía de distorsión).

σ_x = 110 MPaσ_y = 0 MPaτ_xy = −50 MPaσ_Y = 275 MPa

n =

11.Flecha de la vigaMedia

Una viga simplemente apoyada soporta una carga puntual P a a = 5 m del apoyo A. Halla la flecha δ_P bajo la carga.

P = 27 kNa = 5 mL = 6 mE = 200 GPa (acero)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Flecha de la vigaDifícil

Una viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida w. Su flecha no puede superar luz/360. Halla el momento de inercia mínimo I_req que cumple este límite.

w = 12 kN/mL = 1,5 mE = 70 GPa (aluminio)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Pandeo de pilaresMedia

Un pilar de longitud L de acero está empotrado en ambos extremos. Con la fórmula de Euler, halla su carga crítica de pandeo P_cr.

L = 5 mE = 200 GPa (acero)d = 50 mm

P_cr = kN

14.Pandeo de pilaresDifícil

Un pilar de longitud L de acero está empotrado en ambos extremos. Halla su esbeltez y la tensión crítica de pandeo σ_cr con la fórmula de Euler.

L = 6 mE = 200 GPa (acero)d = 30 mm

σ_cr = MPa

3Disoluciones

1.Tensión y deformación axial

Respuesta: ε = 663,1 µε

Ley de Hooke: en el rango elástico σ = E·ε. Junto con σ = P/A y ε = δ/L se obtiene δ = PL/(AE).

Tensión

A = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ = P/A = 15·1000/113,1 = 132,6 MPa

Deformación (ley de Hooke)

E for acero = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 132,6/200000 = 0,0006631 = 663,1 µε

Respuesta

ε = 663,1 µε

2.Tensión y deformación axial

Respuesta: δ = 8,11 mm

Elementos con carga axial: cada tramo prismático cumple δ = PL/(AE). En tramos en serie los alargamientos se suman.

La misma fuerza en ambos tramos

El extremo libre soporta P, así que cada sección de la barra soporta el mismo esfuerzo axial P. Solo cambian las áreas y los materiales.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 88,35 MPa

σ₂ = 422,8 MPa

Suma los alargamientos de los tramos

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 88,35·1000/100000 = 0,8835 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 422,8·2000/117000 = 7,227 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 8,11 mm

Respuesta

δ = 8,11 mm

3.Torsión de ejes

Respuesta: d_o = 47,87 mm

Diámetro exterior a partir de la tensión admisible

T = 1500 N·m = 1,5 × 10⁶ N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,6⁴ = 0,8704

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·1,5 × 10⁶/(π·80·0,8704)) = 47,87 mm

d_i = 0,6·47,87 = 28,72 mm

Respuesta

d_o = 47,87 mm

Un eje macizo necesitaría d = 45,71 mm; el hueco es algo mayor pero mucho más ligero.

4.Torsión de ejes

Respuesta: τ_max = 251,5 MPa

Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τ_max = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω. Cuando ambos extremos están empotrados, la estática por sí sola solo da T_A + T_B = T₀; la segunda ecuación es la compatibilidad (igual torsión de ambas partes en la sección cargada).

Equilibrio y compatibilidad

T_A + T_B = 2000

T_A·a = T_B·b

T_A = 2000·0,5/1,5 = 666,7 N·m

T_B = 2000·1/1,5 = 1333 N·m

Tensión cortante máxima

Manda el mayor de los dos pares (mismo diámetro).

τ_max = 16·1,333 × 10⁶/(π·30³) = 251,5 MPa

Respuesta

τ_max = 251,5 MPa

5.Cortante y momento flector

Respuesta: M_x = 47,25 kN·m

Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte.

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la viga.

Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 6·8 = 48 kN, aplicada en x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 6·8·4

R_B = 192/8 = 24 kN

ΣF_y = 0: R_A = 48 − 24 = 24 kN

Corta en x = 4,5 m y quédate con la parte izquierda

Solo aparecen las fuerzas a la izquierda del corte. Un tramo de carga repartida actúa como una fuerza en el centro de ese tramo.

M = R_A·x − (cada carga a la izquierda del corte × su distancia al corte)

M_x = 24·4,5 − 6·4,5·2,25 = 47,25 kN·m

Respuesta

M_x = 47,25 kN·m

6.Cortante y momento flector

Respuesta: D (x = 3 m)

Mayor momento flector: M cambia de pendiente allí donde cambia el esfuerzo cortante, así que sus picos están donde el esfuerzo cortante cruza el cero: bajo una carga puntual, dentro de una carga distribuida, o sobre un apoyo de un voladizo. En el empotramiento de una ménsula, el momento es máximo en la pared. Compara el valor de M en esos lugares, positivo o negativo.

Reacciones en los apoyos

Toma momentos respecto a un apoyo y luego usa el equilibrio de fuerzas verticales.

R₁ = 50 kN, R₂ = 80 kN

Momento flector en cada marca

Suma los momentos de todas las fuerzas a un lado del corte. El momento positivo hace que la viga se comba hacia abajo; el negativo, hacia arriba.

M_A = 0, M_B = −15, M_C = 17,5, M_D = 45 kN·m, M_E = 7,5, M_F = −35, M_G = 0

Respuesta

Marca D: M_D = 45 kN·m

7.Centroide y momento de inercia

Respuesta: I_x = 24,93 × 10⁶ mm⁴

Áreas compuestas: divide la sección en rectángulos. El centroide es la media ponderada por áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. El momento de inercia respecto al eje que pasa por el centroide suma el bh³/12 propio de cada parte y su término de Steiner A·d², donde d es la distancia del centroide de la parte al centroide global. La tensión de flexión es σ = M·y/I.

Divide en rectángulos

Toma la base con su ancho completo y las dos alas encima de ella (altura h − t), para no contar nada dos veces.

base: A₁ = 300·12 = 3600 mm², y₁ = 6 mm

dos alas: A₂ = 2·12·168 = 4032 mm², y₂ = 12 + 168/2 = 96 mm

Centroide

ȳ = (3600·6 + 4032·96)/7632 = 53,55 mm

Teorema de Steiner

base: 300·12³/12 + 3600·(6 − 53,55)² = 8,182 × 10⁶ mm⁴

dos alas: 2·12·168³/12 + 4032·(96 − 53,55)² = 1,675 × 10⁷ mm⁴

I_x = 8,182 × 10⁶ + 1,675 × 10⁷

I_x = 2,493 × 10⁷ mm⁴ = 24,93 × 10⁶ mm⁴

Respuesta

I_x = 24,93 × 10⁶ mm⁴

8.Centroide y momento de inercia

Respuesta: σ_inferior = 164 MPa

Divide en dos rectángulos

Mide cada y desde el borde inferior.

ala: A_f = 260·30 = 7800 mm², y_f = 300 + 30/2 = 315 mm

alma: A_w = 10·300 = 3000 mm², y_w = 300/2 = 150 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (7800·315 + 3000·150)/10800 = 269,2 mm

Teorema de Steiner

ala: 260·30³/12 + 7800·(315 − 269,2)² = 1,697 × 10⁷ mm⁴

alma: 10·300³/12 + 3000·(150 − 269,2)² = 6,51 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,697 × 10⁷ + 6,51 × 10⁷ = 8,207 × 10⁷ mm⁴

Tensión de flexión

El borde inferior está a ȳ del eje.

y = 269,2 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁷·269,2/8,207 × 10⁷ = 164 MPa

Respuesta

σ_inferior = 164 MPa

9.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: τ_xy = 19,36 MPa

Radio necesario

C = (−40 + (−30))/2 = −35 MPa

R = σ₁ − C = −15 − (−35) = 20 MPa

Tensión cortante

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(20² − 5²) = 19,36 MPa

Respuesta

τ_xy = 19,36 MPa

10.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: n = 1,964

Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R. Criterios de plastificación: von Mises predice la plastificación cuando σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) alcanza σ_Y; Tresca, cuando la tensión cortante máxima absoluta alcanza σ_Y/2.

Tensiones principales

C = 55 MPa, R = 74,33 MPa

σ₁ = 129,3 MPa, σ₂ = −19,33 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(129,3² − 129,3·(−19,33) + (−19,33)²) = 140 MPa

n = 275/140 = 1,964

Respuesta

n = 1,964

n > 1 significa que el punto no plastifica; Tresca es algo más conservador que von Mises.

11.Flecha de la viga

Respuesta: δ_P = 8,152 mm

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 27000 N, a = 5000 mm, b = 1000 mm, L = 6000 mm

EI = 4,6 × 10¹² N·mm²

Flecha bajo la carga

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 27000·5000²·1000²/(3·4,6 × 10¹²·6000) = 8,152 mm

Respuesta

δ_P = 8,152 mm

12.Flecha de la viga

Respuesta: I_req = 2,712 × 10⁶ mm⁴

Límite de flecha

δ_allow = L/360 = 1500/360 = 4,167 mm

Momento de inercia necesario

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·12·1500⁴/(384·70000·4,167) = 2,712 × 10⁶ mm⁴

I_req = 2,712 × 10⁶ mm⁴

Respuesta

I_req = 2,712 × 10⁶ mm⁴

13.Pandeo de pilares

Respuesta: P_cr = 96,89 kN

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en P_cr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Menor momento de inercia

Una sección circular tiene el mismo I respecto a cualquier eje.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Longitud de pandeo

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/2500² = 96895 N = 96,89 kN

Respuesta

P_cr = 96,89 kN

14.Pandeo de pilares

Respuesta: σ_cr = 12,34 MPa

Menor momento de inercia

Una sección circular tiene el mismo I respecto a cualquier eje.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Radio de giro y esbeltez

A = 706,9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm

KL = 0,5·6000 = 3000 mm

KL/r = 3000/7,5 = 400

Tensión crítica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/400² = 12,34 MPa

Respuesta

σ_cr = 12,34 MPa

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