Resistencia de materiales: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 14 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Tensión y deformación axial

Tensión normal: σ = F/A
Deformación: ε = ΔL/L
Ley de Hooke: σ = E·ε
Alargamiento: ΔL = FL/(EA)
Deformación térmica: ε_T = α·ΔT

Torsión de ejes

Tensión cortante: τ = T·r/J
Eje macizo: J = πd⁴/32
Eje hueco: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ)
Potencia: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Halla el momento polar de inercia: J = πd⁴/32 para un eje macizo.
Tensión tangencial en la superficie: τ = T·r/J, con r el radio exterior.
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ) en radianes.
Si te dan la potencia, halla primero el par con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cortante y momento flector

Cortante y momento: V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
Tensión de flexión: σ = M·y/I
Rectángulo: I = bh³/12
Módulo resistente: W = I/y_max
Viga biapoyada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.

Centroide y momento de inercia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectángulo: I = bh³/12
Teorema de Steiner: I = I_c + A·d²
Sección compuesta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Radio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensiones principales: σ_1,2 = C ± R
Dirección principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcula el centro del círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcula el radio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Las tensiones principales son C ± R y la tensión tangencial máxima en el plano es R.
Los ángulos en el círculo son el doble que los ángulos en el elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flecha de la viga

Carga puntual en el centro del vano: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoyada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Voladizo, carga en el extremo: δ = PL³/(3EI)
Voladizo, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposición: δ = δ₁ + δ₂

Pandeo de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Factor de longitud de pandeo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 empotrado–empotrado, 0,7 empotrado–articulado, 2 empotrado–libre
Tensión crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Problemas de práctica

1.Tensión y deformación axialMedia

Halla el alargamiento δ de la barra de cobre bajo la carga axial.

P = 30 kNd = 16 mmL = 3 mE = 117 GPa

δ = mm

2.Tensión y deformación axialDifícil

La barra escalonada está empotrada en la pared y cargada en su extremo libre. Halla la tensión normal máxima σ_max en la barra.

P = 75 kNtramo 1: Ø40 mm, 1,5 m, acero (E = 200 GPa)tramo 2: Ø12 mm, 1 m, acero (E = 200 GPa)

σ_max = MPa

3.Torsión de ejesMedia

Un eje macizo de acero está empotrado en la pared y se tuerce con un par T en su extremo libre. Halla el ángulo de torsión φ del extremo libre, en grados.

T = 400 N·md = 50 mmL = 0,8 mG = 80 GPa

φ = °

4.Torsión de ejesDifícil

Un eje macizo debe transmitir 75 kW a 1000 rpm sin que la tensión cortante supere 50 MPa. Halla el diámetro mínimo d que sirve.

P = 75 kWN = 1000 rpmτ_allow = 50 MPa

d = mm

5.Cortante y momento flectorMedia

Las marcas A a G dividen la viga en seis partes iguales. ¿En qué marca es mayor el momento flector en valor absoluto, positivo o negativo? Haz clic en ella en el diagrama.

45 kN @ 3 m55 kN @ 1 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Cortante y momento flectorDifícil

La viga descansa sobre una articulación en A y un apoyo deslizante en B, y vuela 1,5 m más allá de B hasta el extremo libre C. Una carga uniformemente repartida w actúa en toda la longitud A–C. Halla el momento flector positivo máximo M_max entre los apoyos.

L = 6,5 mw = 12 kN/m de 0 a 6,5 mapoyos en x = 0 y x = 5 m

M_max = kN·m

7.Centroide y momento de inerciaMedia

Una sección rectangular hueca (en cajón) tiene una anchura exterior B = 180 mm, una altura exterior H = 225 mm y un espesor de pared uniforme t = 18 mm. Halla su radio de giro r respecto al eje centroidal horizontal.

B = 180 mmH = 225 mmt = 18 mm

r = mm

8.Centroide y momento de inerciaDifícil

Una sección en I simétrica tiene alas de 120 mm de ancho y 12 mm de espesor, un canto total de 460 mm y un alma de 12 mm de espesor. Soporta un momento flector de 60 kN·m respecto al eje x. Halla el valor de la tensión de flexión σ_j en la unión del alma con el ala superior.

B = 120 mmH = 460 mmt_f = 12 mmt_w = 12 mmM = 60 kN·m

σ_j = MPa

9.Círculo de Mohr y transformación de tensionesMedia

En un punto σₓ = −50 MPa, σᵧ = 60 MPa y τₓᵧ = 30 MPa (tracción positiva). El elemento se gira 20° en sentido horario. Halla la tensión normal σ_y′ en las caras del elemento girado perpendiculares al eje girado y′.

σ_x = −50 MPaσ_y = 60 MPaτ_xy = 30 MPaθ = -20°

σ_y′ = MPa

10.Círculo de Mohr y transformación de tensionesDifícil

Un punto de una pieza cargada tiene σₓ = 20 MPa, σᵧ = 90 MPa y τₓᵧ = −20 MPa (tracción positiva). Halla la tensión normal σ_θ en un plano cuya normal está girada 45° en sentido horario respecto al eje x.

σ_x = 20 MPaσ_y = 90 MPaτ_xy = −20 MPaθ = -45°

σ_θ = MPa

11.Flecha de la vigaMedia

Un voladizo de longitud L está empotrado en A y soporta una carga puntual P a una distancia a = 4 m de A. Halla la flecha δ_B en el extremo libre B.

P = 8 kNa = 4 mL = 6 mE = 70 GPa (aluminio)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

12.Flecha de la vigaDifícil

Una viga está empotrada en A y simplemente apoyada en B (viga empotrada y apoyada). Soporta una carga uniformemente repartida w en toda su longitud. EI es constante. Halla la reacción R_B en el apoyo B.

L = 5 mw = 15 kN/m

R_B = kN

13.Pandeo de pilaresMedia

Un pilar de longitud L de aluminio está empotrado en la base y articulado arriba. Con la fórmula de Euler, halla su carga crítica de pandeo P_cr.

L = 4 mE = 70 GPa (aluminio)d = 80 mm

P_cr = kN

14.Pandeo de pilaresDifícil

Un pilar macizo circular de longitud L de aluminio está empotrado en ambos extremos. Debe soportar 85 kN con un coeficiente de seguridad de 3 frente al pandeo. Halla el diámetro mínimo d.

P = 85 kNn = 3L = 6 mE = 70 GPa (aluminio)

d = mm

3Disoluciones

1.Tensión y deformación axial

Respuesta: δ = 3,826 mm

Ley de Hooke: en el rango elástico σ = E·ε. Junto con σ = P/A y ε = δ/L se obtiene δ = PL/(AE).

Tensión

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 30·1000/201,1 = 149,2 MPa

Deformación (ley de Hooke)

E for cobre = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 149,2/117000 = 0,001275 = 1275 µε

Alargamiento

δ = ε·L = 0,001275·3000 mm = 3,826 mm

Respuesta

δ = 3,826 mm

2.Tensión y deformación axial

Respuesta: σ_max = 663,1 MPa

Elementos con carga axial: cada tramo prismático cumple δ = PL/(AE). En tramos en serie los alargamientos se suman.

La misma fuerza en ambos tramos

El extremo libre soporta P, así que cada sección de la barra soporta el mismo esfuerzo axial P. Solo cambian las áreas y los materiales.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 59,68 MPa

σ₂ = 663,1 MPa

Tensión máxima

El tramo más delgado tiene menos área, así que soporta la tensión mayor.

σ_max = 663,1 MPa

Respuesta

σ_max = 663,1 MPa

3.Torsión de ejes

Respuesta: φ = 0,3735 °

Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τ_max = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω.

Momento polar de inercia

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Ángulo de torsión

φ = TL/(GJ) = 400·1000·800/(80000·613592) = 0,006519 rad

φ = 0,006519·180/π = 0,3735°

Respuesta

φ = 0,3735°

4.Torsión de ejes

Respuesta: d = 41,78 mm

Par

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s

T = P/ω = 75000/104,7 = 716,2 N·m

Diámetro a partir de la tensión admisible

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·716197/(π·50)) = 41,78 mm

Respuesta

d = 41,78 mm

En la práctica redondearías al siguiente tamaño normalizado.

5.Cortante y momento flector

Respuesta: D (x = 3 m)

Mayor momento flector: M cambia de pendiente allí donde cambia el esfuerzo cortante, así que sus picos están donde el esfuerzo cortante cruza el cero: bajo una carga puntual, dentro de una carga distribuida, o sobre un apoyo de un voladizo. En el empotramiento de una ménsula, el momento es máximo en la pared. Compara el valor de M en esos lugares, positivo o negativo.

Reacciones en los apoyos

Toma momentos respecto a un apoyo y luego usa el equilibrio de fuerzas verticales.

R₁ = 68,33 kN, R₂ = 31,67 kN

Momento flector en cada marca

Suma los momentos de todas las fuerzas a un lado del corte. El momento positivo hace que la viga se comba hacia abajo; el negativo, hacia arriba.

M_A = 0, M_B = 68,33, M_C = 81,67, M_D = 95 kN·m, M_E = 63,33, M_F = 31,67, M_G = 0

Respuesta

Marca D: M_D = 95 kN·m

6.Cortante y momento flector

Respuesta: M_max = 31,05 kN·m

Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte. Momento máximo: como dM/dx = V, el momento flector alcanza su máximo donde el cortante pasa por cero, ya sea en una carga puntual o dentro de una carga repartida.

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la viga, incluida la carga sobre el voladizo.

Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 12·6,5 = 78 kN, aplicada en x̄ = 3,25 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 12·6,5·3,25

R_B = 253,5/5 = 50,7 kN

ΣF_y = 0: R_A = 78 − 50,7 = 27,3 kN

Cortante nulo

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 27,3/12 = 2,275 m

Momento positivo máximo

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = R_A²/(2w) = 27,3²/(2·12) = 31,05 kN·m

Respuesta

M_max = 31,05 kN·m

7.Centroide y momento de inercia

Respuesta: r = 82,24 mm

Momento de inercia: para un rectángulo respecto a su propio eje centroidal I = bh³/12, y respecto a su base bh³/3 (teorema de Steiner I = I_c + A·d²). Un hueco se trata restando su I, siempre que ambas partes compartan el mismo eje. El módulo resistente elástico es S = I/c, donde c es la distancia a la fibra extrema. El radio de giro r = √(I/A) es la distancia a la que toda el área daría el mismo I; se usa en el pandeo de pilares.

Área neta y momento de inercia neto

b = 144 mm, h = 189 mm

A = BH − bh = 180·225 − 144·189 = 13284 mm²

I = (BH³ − bh³)/12 = 8,984 × 10⁷ mm⁴

Radio de giro

r = √(I/A) = √(8,984 × 10⁷/13284) = 82,24 mm

Respuesta

r = 82,24 mm

8.Centroide y momento de inercia

Respuesta: σ_j = 57,51 MPa

Áreas compuestas: divide la sección en rectángulos. El centroide es la media ponderada por áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. El momento de inercia respecto al eje que pasa por el centroide suma el bh³/12 propio de cada parte y su término de Steiner A·d², donde d es la distancia del centroide de la parte al centroide global. La tensión de flexión es σ = M·y/I.

Rectángulo exterior menos los dos huecos laterales

Los dos huecos juntos miden (B − t_w) de ancho y h_w = H − 2t_f de alto, y comparten el eje x.

h_w = 460 − 2·12 = 436 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (120·460³ − 108·436³)/12

I_x = 2,274 × 10⁸ mm⁴

Tensión de flexión

y = 230 − 12 = 218 mm

σ = M·y/I = 6 × 10⁷·218/2,274 × 10⁸ = 57,51 MPa

Respuesta

σ_j = 57,51 MPa

9.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: σ_y′ = 66,42 MPa

Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R.

Ecuación de transformación para la cara y′

σ_y′ = 5 − (−55)·0,766 − 30·(−0,6428) = 66,42 MPa

Comprobación

La suma de las tensiones normales no cambia con el giro.

σ_x′ = −56,42 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 10 = σ_x + σ_y

Respuesta

σ_y′ = 66,42 MPa

10.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: σ_θ = 75 MPa

Ecuación de transformación

σ_θ = 55 + −35·0 + −20·−1 = 75 MPa

Respuesta

σ_θ = 75 MPa

11.Flecha de la viga

Respuesta: δ_B = 50,79 mm

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 8000 N, a = 4000 mm, L = 6000 mm

EI = 5,88 × 10¹² N·mm²

Flecha en el extremo libre

Flecha en la carga más el giro en la carga por la longitud restante.

δ_P = Pa³/(3EI) = 29,02 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,01088 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 50,79 mm

Respuesta

δ_B = 50,79 mm

12.Flecha de la viga

Respuesta: R_B = 28,13 kN

Quita el apoyo adicional

Sin el apoyo adicional la viga es un voladizo. Su extremo libre descendería bajo la carga.

δ_load = wL⁴/(8EI)

Compatibilidad en el apoyo B

La reacción del apoyo R_B por sí sola levanta el extremo libre R_BL³/(3EI). El apoyo mantiene B con flecha nula, así que ambas deben anularse. EI se simplifica.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·15·5/8 = 28,13 kN

Respuesta

R_B = 28,13 kN

13.Pandeo de pilares

Respuesta: P_cr = 177,2 kN

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en P_cr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Menor momento de inercia

Una sección circular tiene el mismo I respecto a cualquier eje.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Longitud de pandeo

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·2,011 × 10⁶/2800² = 177179 N = 177,2 kN

Respuesta

P_cr = 177,2 kN

14.Pandeo de pilares

Respuesta: d = 90,7 mm

Carga crítica necesaria

P_cr = n·P = 3·85000 = 255000 N

KL = 0,5·6000 = 3000 mm

Despeja el diámetro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·255000·3000²/(π³·70000))^(1/4) = 90,7 mm

Respuesta

d = 90,7 mm

Comprobación: la esbeltez KL/r es 132,3, así que el pilar es esbelto y Euler es válido.

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