Resistencia de materiales: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 14 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Tensión y deformación axial

Tensión normal
σ = F/A
Deformación
ε = ΔL/L
Ley de Hooke
σ = E·ε
Alargamiento
ΔL = FL/(EA)
Deformación térmica
εT = α·ΔT

Torsión de ejes

Tensión cortante
τ = T·r/J
Eje macizo
J = πd⁴/32
Eje hueco
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ángulo de torsión
φ = TL/(GJ)
Potencia
P = T·ω = 2πnT/60

Método

  1. Halla el momento polar de inercia: J = πd⁴/32 para un eje macizo.
  2. Tensión tangencial en la superficie: τ = T·r/J, con r el radio exterior.
  3. Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ) en radianes.
  4. Si te dan la potencia, halla primero el par con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cortante y momento flector

Cortante y momento
V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
Tensión de flexión
σ = M·y/I
Rectángulo
I = bh³/12
Módulo resistente
W = I/ymax
Viga biapoyada, carga uniforme
Mmax = wL²/8

Método

  1. Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
  2. Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
  3. Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
  4. Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.

Centroide y momento de inercia

Centroide
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Rectángulo
I = bh³/12
Teorema de Steiner
I = Ic + A·d²
Sección compuesta
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Centro
C = (σx + σy)/2
Radio
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tensiones principales
σ1,2 = C ± R
Dirección principal
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Plano inclinado
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Método

  1. Calcula el centro del círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Calcula el radio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Las tensiones principales son C ± R y la tensión tangencial máxima en el plano es R.
  4. Los ángulos en el círculo son el doble que los ángulos en el elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flecha de la viga

Carga puntual en el centro del vano
δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoyada
δ = 5wL⁴/(384EI)
Voladizo, carga en el extremo
δ = PL³/(3EI)
Voladizo, carga uniforme
δ = wL⁴/(8EI)
Superposición
δ = δ1 + δ2

Pandeo de pilares

Carga crítica de Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Factor de longitud de pandeo
K = 1 articulado–articulado, 0,5 empotrado–empotrado, 0,7 empotrado–articulado, 2 empotrado–libre
Tensión crítica
σcr = Pcr/A
Esbeltez
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Problemas de práctica

1.Tensión y deformación axialMedia
P = ?12300 mm500 mmØ25Ø60δ = 0,4 mm

Una barra está formada por un tramo de acero (diámetro 25 mm, longitud 300 mm, E = 200 GPa) unido extremo con extremo a un tramo de bronce (diámetro 60 mm, longitud 500 mm, E = 110 GPa). Está empotrada en un extremo y se tira del otro. Halla la carga axial P que la alarga 0,4 mm en total.

tramo 1: acero, Ø25 mm, 300 mm, E = 200 GPatramo 2: bronce, Ø60 mm, 500 mm, E = 110 GPaδ = 0,4 mm
P = kN
2.Tensión y deformación axialDifícil
Ø 30 mmAcero1,5 mØ 20 mmAcero0,5 mP = 105 kN

La barra escalonada está empotrada en la pared y cargada en su extremo libre. Halla el alargamiento total δ.

P = 105 kNtramo 1: Ø30 mm, 1,5 m, acero (E = 200 GPa)tramo 2: Ø20 mm, 0,5 m, acero (E = 200 GPa)
δ = mm
3.Torsión de ejesMedia
do​ = ?T = 1500 N·m

Un eje hueco debe transmitir un par de 1500 N·m. Su diámetro interior debe ser 0,5 veces su diámetro exterior, y la tensión cortante no debe superar 40 MPa. Halla el diámetro exterior mínimo do.

T = 1500 N·mdi/do = 0,5τallow = 40 MPa
do = mm
4.Torsión de ejesDifícil
Tdo​ = 75 mm, di​ = 60 mm

Un eje hueco transmite 15 kW a 750 rpm. Halla la tensión cortante máxima τmax en el eje.

P = 15 kWN = 750 rpmdo = 75 mmdi = 60 mm
τmax = MPa
5.Cortante y momento flectorMedia
50 kN30 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

Las marcas A a G dividen la viga en seis partes iguales. ¿En qué marca es mayor el momento flector en valor absoluto, positivo o negativo? Haz clic en ella en el diagrama.

50 kN @ 4 m30 kN @ 1 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
6.Cortante y momento flectorDifícil
25 kN30 kN25 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

Las marcas A a G dividen la viga en seis partes iguales. ¿En qué marca es mayor el momento flector en valor absoluto, positivo o negativo? Haz clic en ella en el diagrama.

25 kN @ 0 m30 kN @ 12 m25 kN @ 4 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
7.Centroide y momento de inerciaMedia
100 mm300 mm120 mmØ50xIx​ = ?

Una placa de 100 mm × 300 mm tiene un agujero circular de diámetro 50 mm en su línea central vertical, con su centro a 120 mm por encima del fondo. Halla el momento de inercia Ix respecto al eje horizontal que pasa por el centroide.

b = 100 mmh = 300 mmd = 50 mmcentro del agujero: y = 120 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Centroide y momento de inerciaDifícil
2202514014xM positivocotas en mm

Una viga de fundición tiene la sección en T de la figura, con el ala arriba. Las tensiones admisibles son 50 MPa a tracción y 120 MPa a compresión. Halla el mayor momento flector positivo Mallow que puede soportar la viga.

bf = 220 mmtf = 25 mmtw = 14 mmhw = 140 mmσt,allow = 50 MPaσc,allow = 120 MPa
Mallow = kN·m
9.Círculo de Mohr y transformación de tensionesMedia
σx​ = −80σy​ = 10τxy​ = 10MPa

Un punto de una pieza cargada tiene σₓ = −80 MPa, σᵧ = 10 MPa y τₓᵧ = 10 MPa (tracción positiva). Halla la tensión cortante máxima en el plano τmax.

σx = −80 MPaσy = 10 MPaτxy = 10 MPa
τmax = MPa
10.Círculo de Mohr y transformación de tensionesDifícil
σx​ = 160σy​ = −20τxy​ = 30MPa

Un punto de una pieza cargada tiene σₓ = 160 MPa, σᵧ = −20 MPa y τₓᵧ = 30 MPa (tracción positiva). Halla la tensión normal σθ en un plano cuya normal está girada 15° en sentido antihorario respecto al eje x.

σx = 160 MPaσy = −20 MPaτxy = 30 MPaθ = 15°
σθ = MPa
11.Flecha de la vigaMedia
w = 10 kN/mδL = 2 m

Un voladizo soporta una carga uniformemente repartida w en toda su longitud. Halla la flecha δ en el extremo libre.

w = 10 kN/mL = 2 mE = 200 GPa (acero)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.Flecha de la vigaDifícil
w = 8 kN/mP = 3 kNδL = 6 m

Una viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida w y una carga puntual P en el centro del vano. Usando superposición, halla la flecha en el centro δmax.

P = 3 kNw = 8 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (acero)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.Pandeo de pilaresMedia
PL = 4 m25 × 40 mmsección

Un pilar de longitud L de acero está articulado en ambos extremos. Con la fórmula de Euler, halla su carga crítica de pandeo Pcr.

L = 4 mE = 200 GPa (acero)b × h = 25 × 40 mm
Pcr = kN
14.Pandeo de pilaresDifícil
P = 25 kNL = 4 md = ?sección

Un pilar macizo circular de longitud L de aluminio está empotrado en ambos extremos. Debe soportar 25 kN con un coeficiente de seguridad de 2,5 frente al pandeo. Halla el diámetro mínimo d.

P = 25 kNn = 2,5L = 4 mE = 70 GPa (aluminio)
d = mm

3Disoluciones

1.Tensión y deformación axial

Respuesta: P = 85,77 kN

Dos materiales: en serie (uno tras otro) cada tramo soporta la misma fuerza y los alargamientos se suman: δ = P·Σ L/(E·A). En paralelo (lado a lado entre placas rígidas) ambas partes se acortan lo mismo, así que sus deformaciones unitarias son iguales: la parte más rígida toma la mayor porción, Pi = P·EiAi/ΣEA, y σi = Ei·ε. Una barra sujeta entre dos muros rígidos con una carga en la unión es estáticamente indeterminada: los dos tramos se reparten la carga en proporción a su rigidez k = EA/L.

Áreas

A₁ = 490,9 mm², A₂ = 2827 mm²

Flexibilidades

L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·490,9) = 3,056 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 500/(110000·2827) = 1,608 × 10⁻⁶ mm/N

Carga

P = 0,4/4,663 × 10⁻⁶ = 85774 N = 85,77 kN

Respuesta

P = 85,77 kN
2.Tensión y deformación axial

Respuesta: δ = 1,95 mm

Elementos con carga axial: cada tramo prismático cumple δ = PL/(AE). En tramos en serie los alargamientos se suman.

La misma fuerza en ambos tramos

El extremo libre soporta P, así que cada sección de la barra soporta el mismo esfuerzo axial P. Solo cambian las áreas y los materiales.

A1 = π·30²/4 = 706,9 mm², A2 = π·20²/4 = 314,2 mm²
σ1 = 148,5 MPa
σ2 = 334,2 MPa

Suma los alargamientos de los tramos

δ1 = σ1L1/E1 = 148,5·1500/200000 = 1,114 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 334,2·500/200000 = 0,8356 mm
δ = δ1 + δ2 = 1,95 mm

Respuesta

δ = 1,95 mm
3.Torsión de ejes

Respuesta: do = 58,84 mm

Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τmax = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(do⁴ − di⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω.

Diámetro exterior a partir de la tensión admisible

T = 1500 N·m = 1,5 × 10⁶ N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0,5⁴ = 0,9375
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·1,5 × 10⁶/(π·40·0,9375)) = 58,84 mm
di = 0,5·58,84 = 29,42 mm

Respuesta

do = 58,84 mm

Un eje macizo necesitaría d = 57,59 mm; el hueco es algo mayor pero mucho más ligero.

4.Torsión de ejes

Respuesta: τmax = 3,905 MPa

Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τmax = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(do⁴ − di⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω.

Par

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s
T = P/ω = 15000/78,54 = 191 N·m

Momento polar de inercia

J = π(75⁴ − 60⁴)/32 = 1,834 × 10⁶ mm⁴

Tensión cortante máxima

τmax = T·(do/2)/J = 190986·37,5/1,834 × 10⁶ = 3,905 MPa

Respuesta

τmax = 3,905 MPa
5.Cortante y momento flector

Respuesta: E (x = 4 m)

Mayor momento flector: M cambia de pendiente allí donde cambia el esfuerzo cortante, así que sus picos están donde el esfuerzo cortante cruza el cero: bajo una carga puntual, dentro de una carga distribuida, o sobre un apoyo de un voladizo. En el empotramiento de una ménsula, el momento es máximo en la pared. Compara el valor de M en esos lugares, positivo o negativo.

Reacciones en los apoyos

Toma momentos respecto a un apoyo y luego usa el equilibrio de fuerzas verticales.

R1 = 41,67 kN, R2 = 38,33 kN

Momento flector en cada marca

Suma los momentos de todas las fuerzas a un lado del corte. El momento positivo hace que la viga se comba hacia abajo; el negativo, hacia arriba.

MA = 0, MB = 41,67, MC = 53,33, MD = 65, ME = 76,67 kN·m, MF = 38,33, MG = 0

Respuesta

Marca E: ME = 76,67 kN·m
6.Cortante y momento flector

Respuesta: F (x = 10 m)

Mayor momento flector: M cambia de pendiente allí donde cambia el esfuerzo cortante, así que sus picos están donde el esfuerzo cortante cruza el cero: bajo una carga puntual, dentro de una carga distribuida, o sobre un apoyo de un voladizo. En el empotramiento de una ménsula, el momento es máximo en la pared. Compara el valor de M en esos lugares, positivo o negativo.

Reacciones en los apoyos

Toma momentos respecto a un apoyo y luego usa el equilibrio de fuerzas verticales.

R1 = 42,5 kN, R2 = 37,5 kN

Momento flector en cada marca

Suma los momentos de todas las fuerzas a un lado del corte. El momento positivo hace que la viga se comba hacia abajo; el negativo, hacia arriba.

MA = 0, MB = −50, MC = −15, MD = −30, ME = −45, MF = −60 kN·m, MG = 0

Respuesta

Marca F: MF = −60 kN·m
7.Centroide y momento de inercia

Respuesta: Ix = 222,8 × 10⁶ mm⁴

Secciones con huecos: trata un hueco como un área negativa. El centroide es ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), con A₁, y₁ para la placa completa y A₂, y₂ para el hueco. Para el momento de inercia (segundo momento de área) respecto al eje centroidal, usa el teorema de los ejes paralelos para cada parte y resta el hueco: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), donde d es la distancia del centroide propio de cada parte al eje que pasa por ȳ. Un rectángulo tiene Ic = bh³/12 y un círculo Ic = πd⁴/64.

Centroide

ȳ = (30000·150 − 1963·120)/(30000 − 1963) = 152,1 mm

Placa completa respecto a ȳ

100·300³/12 + 30000·−2,101² = 225,1 × 10⁶ mm⁴

Agujero respecto a ȳ

π·50⁴/64 + 1963·−32,1² = 2,33 × 10⁶ mm⁴

Resta

Ix = 222,8 × 10⁶ mm⁴

Respuesta

Ix = 222,8 × 10⁶ mm⁴
8.Centroide y momento de inercia

Respuesta: Mallow = 5,092 kN·m

Áreas compuestas: divide la sección en rectángulos. El centroide es la media ponderada por áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. El momento de inercia respecto al eje que pasa por el centroide suma el bh³/12 propio de cada parte y su término de Steiner A·d², donde d es la distancia del centroide de la parte al centroide global. La tensión de flexión es σ = M·y/I.

Centroide

ȳ = (5500·152,5 + 1960·70)/7460 = 130,8 mm
borde superior: c = 165 − 130,8 = 34,18 mm

Momento de inercia

I = 220·25³/12 + 5500·21,68² + 14·140³/12 + 1960·60,82² = 1,332 × 10⁷ mm⁴

Momento admisible por cada borde

Momento positivo: la parte superior está comprimida y la inferior traccionada.

borde superior: M = 120·1,332 × 10⁷/34,18 = 46,78 kN·m
borde inferior: M = 50·1,332 × 10⁷/130,8 = 5,092 kN·m

Valor determinante

Mallow = min = 5,092 kN·m (borde inferior)

Respuesta

Mallow = 5,092 kN·m
9.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: τmax = 46,1 MPa

Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R.

στxyCτmax​

Radio del círculo de Mohr

τmax = R = √(((−80 − 10)/2)² + 10²) = 46,1 MPa

Respuesta

τmax = 46,1 MPa
10.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: σθ = 162,9 MPa

Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R.

Ecuación de transformación

σθ = 70 + 90·0,866 + 30·0,5 = 162,9 MPa

Respuesta

σθ = 162,9 MPa
11.Flecha de la viga

Respuesta: δ = 2,778 mm

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

w = 10 N/mm, L = 2000 mm
EI = 7,2 × 10¹² N·mm²

Flecha

δ = wL⁴/(8EI) = 10·2000⁴/(8·7,2 × 10¹²) = 2,778 mm

Respuesta

δ = 2,778 mm
12.Flecha de la viga

Respuesta: δmax = 13,03 mm

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 3000 N, w = 8 N/mm, L = 6000 mm, EI = 1,14 × 10¹³ N·mm²

Cada carga por separado

δP = PL³/(48EI) = 3000·6000³/(48·1,14 × 10¹³) = 1,184 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·6000⁴/(384·1,14 × 10¹³) = 11,84 mm

Súmalas

δmax = 1,184 + 11,84 = 13,03 mm

Respuesta

δmax = 13,03 mm
13.Pandeo de pilares

Respuesta: Pcr = 6,426 kN

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en Pcr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Menor momento de inercia

Un rectángulo pandea respecto a su eje débil, usando la dimensión menor al cubo.

Imin = h·b³/12 = 40·25³/12 = 52083 mm⁴

Longitud de pandeo

KL = 1·4000 = 4000 mm

Carga crítica

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·52083/4000² = 6426 N = 6,426 kN

Respuesta

Pcr = 6,426 kN
14.Pandeo de pilares

Respuesta: d = 52,11 mm

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en Pcr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Carga crítica necesaria

Pcr = n·P = 2,5·25000 = 62500 N
KL = 0,5·4000 = 2000 mm

Despeja el diámetro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·62500·2000²/(π³·70000))^(1/4) = 52,11 mm

Respuesta

d = 52,11 mm

Comprobación: la esbeltez KL/r es 153,5, así que el pilar es esbelto y Euler es válido.

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