Resistencia de materiales: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 14 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Tensión y deformación axial

Tensión normal: σ = F/A
Deformación: ε = ΔL/L
Ley de Hooke: σ = E·ε
Alargamiento: ΔL = FL/(EA)
Deformación térmica: ε_T = α·ΔT

Torsión de ejes

Tensión cortante: τ = T·r/J
Eje macizo: J = πd⁴/32
Eje hueco: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ)
Potencia: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Halla el momento polar de inercia: J = πd⁴/32 para un eje macizo.
Tensión tangencial en la superficie: τ = T·r/J, con r el radio exterior.
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ) en radianes.
Si te dan la potencia, halla primero el par con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cortante y momento flector

Cortante y momento: V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
Tensión de flexión: σ = M·y/I
Rectángulo: I = bh³/12
Módulo resistente: W = I/y_max
Viga biapoyada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.

Centroide y momento de inercia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectángulo: I = bh³/12
Teorema de Steiner: I = I_c + A·d²
Sección compuesta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Radio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensiones principales: σ_1,2 = C ± R
Dirección principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcula el centro del círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcula el radio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Las tensiones principales son C ± R y la tensión tangencial máxima en el plano es R.
Los ángulos en el círculo son el doble que los ángulos en el elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flecha de la viga

Carga puntual en el centro del vano: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoyada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Voladizo, carga en el extremo: δ = PL³/(3EI)
Voladizo, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposición: δ = δ₁ + δ₂

Pandeo de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Factor de longitud de pandeo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 empotrado–empotrado, 0,7 empotrado–articulado, 2 empotrado–libre
Tensión crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Problemas de práctica

1.Tensión y deformación axialMedia

Halla la deformación axial ε en la barra de acero, en microdeformaciones (µε = 10⁻⁶).

P = 25 kNd = 25 mmL = 2,5 mE = 200 GPa

ε = µε

2.Tensión y deformación axialDifícil

La barra escalonada está empotrada en la pared y cargada en su extremo libre. Halla la tensión normal máxima σ_max en la barra.

P = 115 kNtramo 1: Ø35 mm, 1,5 m, cobre (E = 117 GPa)tramo 2: Ø12 mm, 2 m, acero (E = 200 GPa)

σ_max = MPa

3.Torsión de ejesMedia

Un eje macizo de aluminio de 2,5 m de longitud transmite un par de 250 N·m. El ángulo de torsión entre sus extremos no debe superar 2°. Halla el diámetro mínimo d que cumple este límite.

T = 250 N·mL = 2,5 mG = 26 GPaφ_allow = 2°

d = mm

4.Torsión de ejesDifícil

Un eje macizo debe transmitir 30 kW a 1450 rpm sin que la tensión cortante supere 60 MPa. Halla el diámetro mínimo d que sirve.

P = 30 kWN = 1450 rpmτ_allow = 60 MPa

d = mm

5.Cortante y momento flectorMedia

Halla el momento flector M_x en la sección x = 3,5 m desde el apoyo A. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.

L = 8 mw = 4 kN/m de 0 a 8 mx = 3,5 m

M_x = kN·m

6.Cortante y momento flectorDifícil

Las marcas A a G dividen la viga en seis partes iguales. ¿En qué marca es mayor el momento flector en valor absoluto, positivo o negativo? Haz clic en ella en el diagrama.

60 kN @ 0 m35 kN @ 6 m15 kN @ 3 m12 kN/m, 1–4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Centroide y momento de inerciaMedia

Halla el momento de inercia I_x de la sección en T respecto al eje horizontal x que pasa por su centroide.

b_f = 160 mmt_f = 20 mmt_w = 14 mmh_w = 180 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centroide y momento de inerciaDifícil

La sección en T se usa como viga con el ala arriba y soporta un momento flector positivo de 15 kN·m. Halla el valor de la tensión de flexión σ_superior en el borde superior.

b_f = 280 mmt_f = 30 mmt_w = 16 mmh_w = 300 mmM = 15 kN·m

σ_superior = MPa

9.Círculo de Mohr y transformación de tensionesMedia

En un punto σₓ = 30 MPa y σᵧ = −60 MPa. ¿Hasta qué valor τ_xy (en valor absoluto) puede llegar la tensión cortante antes de que la tensión principal mayor alcance 90 MPa?

σ_x = 30 MPaσ_y = −60 MPaσ₁ = 90 MPa

τ_xy = MPa

10.Círculo de Mohr y transformación de tensionesDifícil

Un punto de una pieza cargada tiene σₓ = −40 MPa, σᵧ = 20 MPa y τₓᵧ = 60 MPa (tracción positiva). Halla la tensión normal σ_θ en un plano cuya normal está girada 30° en sentido antihorario respecto al eje x.

σ_x = −40 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = 60 MPaθ = 30°

σ_θ = MPa

11.Flecha de la vigaMedia

Una viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida w en toda su luz. Halla la flecha máxima δ_max, en el centro del vano.

w = 6 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (aluminio)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Flecha de la vigaDifícil

Una viga de madera simplemente apoyada, de sección rectangular de 75 mm de ancho, soporta una carga uniformemente repartida w en toda su luz. Su flecha en el centro no puede superar luz/250. Halla el canto mínimo h_req de la sección.

w = 2,5 kN/mL = 4,5 mE = 11 GPa (madera estructural)b = 75 mm

h_req = mm

13.Pandeo de pilaresMedia

Un pilar de longitud L de acero está empotrado en la base y libre arriba. Con la fórmula de Euler, halla su carga crítica de pandeo P_cr.

L = 2 mE = 200 GPa (acero)b × h = 40 × 50 mm

P_cr = kN

14.Pandeo de pilaresDifícil

Un pilar de longitud L de aluminio está empotrado en la base y libre arriba. Halla su esbeltez y la tensión crítica de pandeo σ_cr con la fórmula de Euler.

L = 1,5 mE = 70 GPa (aluminio)d = 40 mm

σ_cr = MPa

3Disoluciones

1.Tensión y deformación axial

Respuesta: ε = 254,6 µε

Ley de Hooke: en el rango elástico σ = E·ε. Junto con σ = P/A y ε = δ/L se obtiene δ = PL/(AE).

Tensión

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 25·1000/490,9 = 50,93 MPa

Deformación (ley de Hooke)

E for acero = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 50,93/200000 = 0,0002546 = 254,6 µε

Respuesta

ε = 254,6 µε

2.Tensión y deformación axial

Respuesta: σ_max = 1017 MPa

Elementos con carga axial: cada tramo prismático cumple δ = PL/(AE). En tramos en serie los alargamientos se suman.

La misma fuerza en ambos tramos

El extremo libre soporta P, así que cada sección de la barra soporta el mismo esfuerzo axial P. Solo cambian las áreas y los materiales.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 119,5 MPa

σ₂ = 1017 MPa

Tensión máxima

El tramo más delgado tiene menos área, así que soporta la tensión mayor.

σ_max = 1017 MPa

Respuesta

σ_max = 1017 MPa

3.Torsión de ejes

Respuesta: d = 51,46 mm

Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τ_max = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω.

Momento polar necesario

T = 250 N·m = 250000 N·mm

L = 2,5 m = 2500 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = 2·π/180 = 0,03491 rad

J = TL/(Gφ) = 250000·2500/(26000·0,03491) = 688651 mm⁴

Diámetro

d = (32J/π)^1/4 = 51,46 mm

Respuesta

d = 51,46 mm

En la práctica redondearías al siguiente tamaño normalizado.

4.Torsión de ejes

Respuesta: d = 25,6 mm

Par

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 30000/151,8 = 197,6 N·m

Diámetro a partir de la tensión admisible

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·197572/(π·60)) = 25,6 mm

Respuesta

d = 25,6 mm

En la práctica redondearías al siguiente tamaño normalizado.

5.Cortante y momento flector

Respuesta: M_x = 31,5 kN·m

Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte.

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la viga.

Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 4·8 = 32 kN, aplicada en x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 4·8·4

R_B = 128/8 = 16 kN

ΣF_y = 0: R_A = 32 − 16 = 16 kN

Corta en x = 3,5 m y quédate con la parte izquierda

Solo aparecen las fuerzas a la izquierda del corte. Un tramo de carga repartida actúa como una fuerza en el centro de ese tramo.

M = R_A·x − (cada carga a la izquierda del corte × su distancia al corte)

M_x = 16·3,5 − 4·3,5·1,75 = 31,5 kN·m

Respuesta

M_x = 31,5 kN·m

6.Cortante y momento flector

Respuesta: E (x = 4 m)

Mayor momento flector: M cambia de pendiente allí donde cambia el esfuerzo cortante, así que sus picos están donde el esfuerzo cortante cruza el cero: bajo una carga puntual, dentro de una carga distribuida, o sobre un apoyo de un voladizo. En el empotramiento de una ménsula, el momento es máximo en la pared. Compara el valor de M en esos lugares, positivo o negativo.

Reacciones en los apoyos

Toma momentos respecto a un apoyo y luego usa el equilibrio de fuerzas verticales.

R₁ = 79,67 kN, R₂ = 66,33 kN

Momento flector en cada marca

Suma los momentos de todas las fuerzas a un lado del corte. El momento positivo hace que la viga se comba hacia abajo; el negativo, hacia arriba.

M_A = 0, M_B = −60, M_C = −46,33, M_D = −44,67, M_E = −70 kN·m, M_F = −35, M_G = 0

Respuesta

Marca E: M_E = −70 kN·m

7.Centroide y momento de inercia

Respuesta: I_x = 21,01 × 10⁶ mm⁴

Áreas compuestas: divide la sección en rectángulos. El centroide es la media ponderada por áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. El momento de inercia respecto al eje que pasa por el centroide suma el bh³/12 propio de cada parte y su término de Steiner A·d², donde d es la distancia del centroide de la parte al centroide global. La tensión de flexión es σ = M·y/I.

Divide en dos rectángulos

Mide cada y desde el borde inferior.

ala: A_f = 160·20 = 3200 mm², y_f = 180 + 20/2 = 190 mm

alma: A_w = 14·180 = 2520 mm², y_w = 180/2 = 90 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3200·190 + 2520·90)/5720 = 145,9 mm

Teorema de Steiner

ala: 160·20³/12 + 3200·(190 − 145,9)² = 6,318 × 10⁶ mm⁴

alma: 14·180³/12 + 2520·(90 − 145,9)² = 1,469 × 10⁷ mm⁴

I_x = 6,318 × 10⁶ + 1,469 × 10⁷ = 2,101 × 10⁷ mm⁴ = 21,01 × 10⁶ mm⁴

Respuesta

I_x = 21,01 × 10⁶ mm⁴

8.Centroide y momento de inercia

Respuesta: σ_superior = 9,391 MPa

Divide en dos rectángulos

Mide cada y desde el borde inferior.

ala: A_f = 280·30 = 8400 mm², y_f = 300 + 30/2 = 315 mm

alma: A_w = 16·300 = 4800 mm², y_w = 300/2 = 150 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (8400·315 + 4800·150)/13200 = 255 mm

Teorema de Steiner

ala: 280·30³/12 + 8400·(315 − 255)² = 3,087 × 10⁷ mm⁴

alma: 16·300³/12 + 4800·(150 − 255)² = 8,892 × 10⁷ mm⁴

I_x = 3,087 × 10⁷ + 8,892 × 10⁷ = 1,198 × 10⁸ mm⁴

Tensión de flexión

El borde superior está a h − ȳ del eje.

y = 330 − 255 = 75 mm

σ = M·y/I = 1,5 × 10⁷·75/1,198 × 10⁸ = 9,391 MPa

Respuesta

σ_superior = 9,391 MPa

9.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: τ_xy = 94,87 MPa

Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R.

Radio necesario

C = (30 + (−60))/2 = −15 MPa

R = σ₁ − C = 90 − (−15) = 105 MPa

Tensión cortante

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(105² − 45²) = 94,87 MPa

Respuesta

τ_xy = 94,87 MPa

10.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: σ_θ = 26,96 MPa

Ecuación de transformación

σ_θ = −10 + −30·0,5 + 60·0,866 = 26,96 MPa

Respuesta

σ_θ = 26,96 MPa

11.Flecha de la viga

Respuesta: δ_max = 33,61 mm

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

w = 6 N/mm, L = 4000 mm

EI = 5,95 × 10¹¹ N·mm²

Flecha

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·4000⁴/(384·5,95 × 10¹¹) = 33,61 mm

Respuesta

δ_max = 33,61 mm

12.Flecha de la viga

Respuesta: h_req = 221 mm

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

w = 2,5 N/mm, L = 4500 mm, E = 11000 N/mm²

Límite de flecha

δ_allow = L/250 = 4500/250 = 18 mm

Momento de inercia necesario

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2,5·4500⁴/(384·11000·18) = 6,742 × 10⁷ mm⁴

Canto necesario

bh³/12 = I_req → h = (12·6,742 × 10⁷/75)^1/3 = 221 mm

Respuesta

h_req = 221 mm

En la práctica, elige el canto normalizado inmediatamente superior a este valor.

13.Pandeo de pilares

Respuesta: P_cr = 32,9 kN

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en P_cr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Menor momento de inercia

Un rectángulo pandea respecto a su eje débil, usando la dimensión menor al cubo.

I_min = h·b³/12 = 50·40³/12 = 266667 mm⁴

Longitud de pandeo

KL = 2·2000 = 4000 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·266667/4000² = 32899 N = 32,9 kN

Respuesta

P_cr = 32,9 kN

14.Pandeo de pilares

Respuesta: σ_cr = 7,676 MPa

Menor momento de inercia

Una sección circular tiene el mismo I respecto a cualquier eje.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Radio de giro y esbeltez

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 2·1500 = 3000 mm

KL/r = 3000/10 = 300

Tensión crítica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/300² = 7,676 MPa

Respuesta

σ_cr = 7,676 MPa

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