Resistencia de materiales: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 14 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Tensión y deformación axial

Tensión normal: σ = F/A
Deformación: ε = ΔL/L
Ley de Hooke: σ = E·ε
Alargamiento: ΔL = FL/(EA)
Deformación térmica: ε_T = α·ΔT

Torsión de ejes

Tensión cortante: τ = T·r/J
Eje macizo: J = πd⁴/32
Eje hueco: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ)
Potencia: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Halla el momento polar de inercia: J = πd⁴/32 para un eje macizo.
Tensión tangencial en la superficie: τ = T·r/J, con r el radio exterior.
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ) en radianes.
Si te dan la potencia, halla primero el par con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cortante y momento flector

Cortante y momento: V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
Tensión de flexión: σ = M·y/I
Rectángulo: I = bh³/12
Módulo resistente: W = I/y_max
Viga biapoyada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.

Centroide y momento de inercia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectángulo: I = bh³/12
Teorema de Steiner: I = I_c + A·d²
Sección compuesta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Radio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensiones principales: σ_1,2 = C ± R
Dirección principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcula el centro del círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcula el radio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Las tensiones principales son C ± R y la tensión tangencial máxima en el plano es R.
Los ángulos en el círculo son el doble que los ángulos en el elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flecha de la viga

Carga puntual en el centro del vano: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoyada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Voladizo, carga en el extremo: δ = PL³/(3EI)
Voladizo, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposición: δ = δ₁ + δ₂

Pandeo de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Factor de longitud de pandeo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 empotrado–empotrado, 0,7 empotrado–articulado, 2 empotrado–libre
Tensión crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Problemas de práctica

1.Tensión y deformación axialMedia

Halla el alargamiento δ de la barra de cobre bajo la carga axial.

P = 75 kNd = 16 mmL = 3 mE = 117 GPa

δ = mm

2.Tensión y deformación axialDifícil

Un tramo de acero (diámetro 40 mm, longitud 300 mm, E = 200 GPa) y un tramo de bronce (diámetro 40 mm, longitud 200 mm, E = 110 GPa) se unen extremo con extremo y se fijan entre dos muros rígidos. Una carga axial de 30 kN actúa en la unión, hacia el tramo 2. Halla el valor de la tensión σ₂ en el tramo 2.

tramo 1: acero, Ø40 mm, 300 mm, E = 200 GPatramo 2: bronce, Ø40 mm, 200 mm, E = 110 GPaP = 30 kN

σ₂ = MPa

3.Torsión de ejesMedia

En un ensayo de torsión, una probeta maciza de 12 mm de diámetro se tuerce con un par de 20 N·m. Los dos extremos de una longitud de medida de 300 mm giran 6,49° uno respecto al otro (el material sigue en régimen elástico). Halla el módulo de elasticidad transversal G del material.

T = 20 N·md = 12 mmL = 300 mmφ = 6,49°

G = GPa

4.Torsión de ejesDifícil

Un eje hueco transmite 75 kW a 3000 rpm. Halla la tensión cortante máxima τ_max en el eje.

P = 75 kWN = 3000 rpmd_o = 40 mmd_i = 32 mm

τ_max = MPa

5.Cortante y momento flectorMedia

La viga simplemente apoyada soporta dos cargas puntuales. Halla el momento flector máximo M_max en la viga.

L = 4 mP₁ = 25 kN en 1,5 mP₂ = 45 kN en 2,5 m

M_max = kN·m

6.Cortante y momento flectorDifícil

Halla el momento flector M_x en la sección x = 1 m desde el apoyo A. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.

L = 8 mP = 60 kN en 5 mw = 4 kN/m de 0 a 8 mx = 1 m

M_x = kN·m

7.Centroide y momento de inerciaMedia

Una sección en U está colocada con el lado abierto hacia arriba: una placa de base de 220 mm de ancho con dos alas verticales de 110 mm de altura total. La base y las alas tienen todas 14 mm de espesor. Halla la altura ȳ del centroide sobre el borde inferior.

b = 220 mmh = 110 mmt = 14 mm

ȳ = mm

8.Centroide y momento de inerciaDifícil

La sección en T se usa como viga con el ala arriba y soporta un momento flector positivo de 20 kN·m. Halla la tensión de flexión σ_inferior en el borde inferior.

b_f = 160 mmt_f = 15 mmt_w = 16 mmh_w = 120 mmM = 20 kN·m

σ_inferior = MPa

9.Círculo de Mohr y transformación de tensionesMedia

En un punto σₓ = −70 MPa, σᵧ = −10 MPa y τₓᵧ = −40 MPa (tracción positiva). Halla el ángulo θ_s, entre −90° y 90°, desde el eje x hasta la normal del plano en el que la tensión cortante tiene su valor positivo máximo +R (cortante positivo en el mismo sentido que τₓᵧ).

σ_x = −70 MPaσ_y = −10 MPaτ_xy = −40 MPa

θ_s = °

10.Círculo de Mohr y transformación de tensionesDifícil

Un punto de una pieza cargada tiene σₓ = 100 MPa, σᵧ = −70 MPa y τₓᵧ = 20 MPa (tracción positiva). Halla la tensión cortante τ_θ en un plano cuya normal está girada 20° en sentido horario respecto al eje x (positiva en el mismo sentido que τₓᵧ).

σ_x = 100 MPaσ_y = −70 MPaτ_xy = 20 MPaθ = -20°

τ_θ = MPa

11.Flecha de la vigaMedia

Una viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida w en toda su luz. Halla la flecha máxima δ_max, en el centro del vano.

w = 8 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (aluminio)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Flecha de la vigaDifícil

Una viga está empotrada en A y simplemente apoyada en B (viga empotrada y apoyada). Soporta una carga uniformemente repartida w en toda su longitud. EI es constante. Halla la reacción R_B en el apoyo B.

L = 5 mw = 4 kN/m

R_B = kN

13.Pandeo de pilaresMedia

Un pilar de longitud L de acero está empotrado en ambos extremos. Con la fórmula de Euler, halla su carga crítica de pandeo P_cr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (acero)b × h = 30 × 100 mm

P_cr = kN

14.Pandeo de pilaresDifícil

Un pilar macizo circular de longitud L de acero está articulado en ambos extremos. Debe soportar 40 kN con un coeficiente de seguridad de 3 frente al pandeo. Halla el diámetro mínimo d.

P = 40 kNn = 3L = 5 mE = 200 GPa (acero)

d = mm

3Disoluciones

1.Tensión y deformación axial

Respuesta: δ = 9,565 mm

Ley de Hooke: en el rango elástico σ = E·ε. Junto con σ = P/A y ε = δ/L se obtiene δ = PL/(AE).

Tensión

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 75·1000/201,1 = 373 MPa

Deformación (ley de Hooke)

E for cobre = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 373/117000 = 0,003188 = 3188 µε

Alargamiento

δ = ε·L = 0,003188·3000 mm = 9,565 mm

Respuesta

δ = 9,565 mm

2.Tensión y deformación axial

Respuesta: σ₂ = 10,79 MPa

Dos materiales: en serie (uno tras otro) cada tramo soporta la misma fuerza y los alargamientos se suman: δ = P·Σ L/(E·A). En paralelo (lado a lado entre placas rígidas) ambas partes se acortan lo mismo, así que sus deformaciones unitarias son iguales: la parte más rígida toma la mayor porción, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, y σ_i = E_i·ε. Una barra sujeta entre dos muros rígidos con una carga en la unión es estáticamente indeterminada: los dos tramos se reparten la carga en proporción a su rigidez k = EA/L.

Rigideces

k₁ = 200000·1257/300 = 837758 N/mm

k₂ = 110000·1257/200 = 691150 N/mm

Parte del tramo 2

F₂ = 30000·691150/1,529 × 10⁶ = 13562 N

Tensión

σ₂ = 13562/1257 = 10,79 MPa (compresión)

Respuesta

σ₂ = 10,79 MPa

3.Torsión de ejes

Respuesta: G = 26,02 GPa

Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τ_max = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω.

Momento polar y ángulo

J = π·12⁴/32 = 2036 mm⁴

φ = 6,49·π/180 = 0,1133 rad

Módulo de elasticidad transversal

T = 20 N·m = 20000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 20000·300/(2036·0,1133) = 26020 MPa

G = 26,02 GPa

Respuesta

G = 26,02 GPa

Compara: acero ≈ 80 GPa, latón ≈ 39 GPa, aluminio ≈ 26 GPa.

4.Torsión de ejes

Respuesta: τ_max = 32,18 MPa

Par

ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314,2 rad/s

T = P/ω = 75000/314,2 = 238,7 N·m

Momento polar de inercia

J = π(40⁴ − 32⁴)/32 = 148384 mm⁴

Tensión cortante máxima

τ_max = T·(d_o/2)/J = 238732·20/148384 = 32,18 MPa

Respuesta

τ_max = 32,18 MPa

5.Cortante y momento flector

Respuesta: M_max = 56,25 kN·m

Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte. Momento máximo: como dM/dx = V, el momento flector alcanza su máximo donde el cortante pasa por cero, ya sea en una carga puntual o dentro de una carga repartida.

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la viga.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 25·1,5 + 45·2,5

R_B = 150/4 = 37,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 70 − 37,5 = 32,5 kN

Momento bajo cada carga

Quédate con la parte a la izquierda de cada carga.

bajo P₁: M = R_A·1,5 = 32,5·1,5 = 48,75 kN·m

bajo P₂: M = R_B·1,5 = 37,5·1,5 = 56,25 kN·m

Valor máximo

M_max = 56,25 kN·m (bajo P₂)

Respuesta

M_max = 56,25 kN·m

6.Cortante y momento flector

Respuesta: M_x = 36,5 kN·m

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la viga.

Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 4·8 = 32 kN, aplicada en x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 60·5 + 4·8·4

R_B = 428/8 = 53,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 92 − 53,5 = 38,5 kN

Corta en x = 1 m y quédate con la parte izquierda

Solo aparecen las fuerzas a la izquierda del corte. Un tramo de carga repartida actúa como una fuerza en el centro de ese tramo.

M = R_A·x − (cada carga a la izquierda del corte × su distancia al corte)

M_x = 38,5·1 − 4·1·0,5 = 36,5 kN·m

Respuesta

M_x = 36,5 kN·m

7.Centroide y momento de inercia

Respuesta: ȳ = 32,63 mm

Áreas compuestas: divide la sección en rectángulos. El centroide es la media ponderada por áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. El momento de inercia respecto al eje que pasa por el centroide suma el bh³/12 propio de cada parte y su término de Steiner A·d², donde d es la distancia del centroide de la parte al centroide global. La tensión de flexión es σ = M·y/I.

Divide en rectángulos

Toma la base con su ancho completo y las dos alas encima de ella (altura h − t), para no contar nada dos veces.

base: A₁ = 220·14 = 3080 mm², y₁ = 7 mm

dos alas: A₂ = 2·14·96 = 2688 mm², y₂ = 14 + 96/2 = 62 mm

Centroide

ȳ = (3080·7 + 2688·62)/5768 = 32,63 mm

Respuesta

ȳ = 32,63 mm

8.Centroide y momento de inercia

Respuesta: σ_inferior = 270,5 MPa

Divide en dos rectángulos

Mide cada y desde el borde inferior.

ala: A_f = 160·15 = 2400 mm², y_f = 120 + 15/2 = 127,5 mm

alma: A_w = 16·120 = 1920 mm², y_w = 120/2 = 60 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2400·127,5 + 1920·60)/4320 = 97,5 mm

Teorema de Steiner

ala: 160·15³/12 + 2400·(127,5 − 97,5)² = 2,205 × 10⁶ mm⁴

alma: 16·120³/12 + 1920·(60 − 97,5)² = 5,004 × 10⁶ mm⁴

I_x = 2,205 × 10⁶ + 5,004 × 10⁶ = 7,209 × 10⁶ mm⁴

Tensión de flexión

El borde inferior está a ȳ del eje.

y = 97,5 mm

σ = M·y/I = 2 × 10⁷·97,5/7,209 × 10⁶ = 270,5 MPa

Respuesta

σ_inferior = 270,5 MPa

9.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: θ_s = 71,57 °

Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R.

Ángulo en el círculo

En el círculo de Mohr el punto más alto (+R) está a 90° del punto principal σ₁; en el elemento eso son 45°.

cos 2θ_s = −40/50 = −0,8, sin 2θ_s = −(−30)/50 = 0,6

2θ_s = atan2(30, −40) = 143,1°

Ángulo en el elemento

θ_s = 71,57°

comprobación: θ_s − θ_p = 71,57 − (−63,43) = 135°

Respuesta

θ_s = 71,57°

Los ángulos positivos son en sentido antihorario.

10.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: τ_θ = 69,96 MPa

Ecuación de transformación

τ_θ = −85·−0,6428 + 20·0,766 = 69,96 MPa

Respuesta

τ_θ = 69,96 MPa

11.Flecha de la viga

Respuesta: δ_max = 1,435 mm

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

w = 8 N/mm, L = 3000 mm

EI = 5,88 × 10¹² N·mm²

Flecha

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·3000⁴/(384·5,88 × 10¹²) = 1,435 mm

Respuesta

δ_max = 1,435 mm

12.Flecha de la viga

Respuesta: R_B = 7,5 kN

Quita el apoyo adicional

Sin el apoyo adicional la viga es un voladizo. Su extremo libre descendería bajo la carga.

δ_load = wL⁴/(8EI)

Compatibilidad en el apoyo B

La reacción del apoyo R_B por sí sola levanta el extremo libre R_BL³/(3EI). El apoyo mantiene B con flecha nula, así que ambas deben anularse. EI se simplifica.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·4·5/8 = 7,5 kN

Respuesta

R_B = 7,5 kN

13.Pandeo de pilares

Respuesta: P_cr = 284,2 kN

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en P_cr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Menor momento de inercia

Un rectángulo pandea respecto a su eje débil, usando la dimensión menor al cubo.

I_min = h·b³/12 = 100·30³/12 = 225000 mm⁴

Longitud de pandeo

KL = 0,5·2500 = 1250 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·225000/1250² = 284245 N = 284,2 kN

Respuesta

P_cr = 284,2 kN

14.Pandeo de pilares

Respuesta: d = 74,59 mm

Carga crítica necesaria

P_cr = n·P = 3·40000 = 120000 N

KL = 1·5000 = 5000 mm

Despeja el diámetro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·120000·5000²/(π³·200000))^(1/4) = 74,59 mm

Respuesta

d = 74,59 mm

Comprobación: la esbeltez KL/r es 268,1, así que el pilar es esbelto y Euler es válido.

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