Resistencia de materiales: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 14 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Tensión y deformación axial

Tensión normal: σ = F/A
Deformación: ε = ΔL/L
Ley de Hooke: σ = E·ε
Alargamiento: ΔL = FL/(EA)
Deformación térmica: ε_T = α·ΔT

Torsión de ejes

Tensión cortante: τ = T·r/J
Eje macizo: J = πd⁴/32
Eje hueco: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ)
Potencia: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Halla el momento polar de inercia: J = πd⁴/32 para un eje macizo.
Tensión tangencial en la superficie: τ = T·r/J, con r el radio exterior.
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ) en radianes.
Si te dan la potencia, halla primero el par con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cortante y momento flector

Cortante y momento: V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
Tensión de flexión: σ = M·y/I
Rectángulo: I = bh³/12
Módulo resistente: W = I/y_max
Viga biapoyada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.

Centroide y momento de inercia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectángulo: I = bh³/12
Teorema de Steiner: I = I_c + A·d²
Sección compuesta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Radio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensiones principales: σ_1,2 = C ± R
Dirección principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcula el centro del círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcula el radio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Las tensiones principales son C ± R y la tensión tangencial máxima en el plano es R.
Los ángulos en el círculo son el doble que los ángulos en el elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flecha de la viga

Carga puntual en el centro del vano: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoyada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Voladizo, carga en el extremo: δ = PL³/(3EI)
Voladizo, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposición: δ = δ₁ + δ₂

Pandeo de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Factor de longitud de pandeo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 empotrado–empotrado, 0,7 empotrado–articulado, 2 empotrado–libre
Tensión crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Problemas de práctica

1.Tensión y deformación axialMedia

Halla el alargamiento δ de la barra de acero bajo la carga axial.

P = 85 kNd = 20 mmL = 1 mE = 200 GPa

δ = mm

2.Tensión y deformación axialDifícil

Un tramo de acero (diámetro 30 mm, longitud 500 mm, E = 200 GPa) y un tramo de bronce (diámetro 40 mm, longitud 400 mm, E = 110 GPa) se unen extremo con extremo y se fijan entre dos muros rígidos. Una carga axial de 40 kN actúa en la unión, hacia el tramo 2. Halla el valor de la tensión σ₂ en el tramo 2.

tramo 1: acero, Ø30 mm, 500 mm, E = 200 GPatramo 2: bronce, Ø40 mm, 400 mm, E = 110 GPaP = 40 kN

σ₂ = MPa

3.Torsión de ejesMedia

Un eje macizo de latón está empotrado en la pared y se tuerce con un par T en su extremo libre. Halla el ángulo de torsión φ del extremo libre, en grados.

T = 500 N·md = 40 mmL = 2 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torsión de ejesDifícil

Un eje macizo de acero de 60 mm de diámetro está empotrado en A. En B, a 2 m de A, actúa un par de 1500 N·m, y en el extremo libre C, 1,5 m más allá, actúa un par de 400 N·m en el mismo sentido. Halla la tensión cortante máxima τ_max en el eje.

d = 60 mmT_B = 1500 N·mT_C = 400 N·mAB = 2 mBC = 1,5 m

τ_max = MPa

5.Cortante y momento flectorMedia

Las marcas A a G dividen la viga en seis partes iguales. ¿En qué marca es mayor el momento flector en valor absoluto, positivo o negativo? Haz clic en ella en el diagrama.

20 kN @ 3 m6 kN/m, 0–6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Cortante y momento flectorDifícil

Halla el momento flector M_x en la sección x = 1,5 m desde el apoyo A. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.

L = 4 mP = 10 kN en 1,5 mw = 8 kN/m de 0 a 4 mx = 1,5 m

M_x = kN·m

7.Centroide y momento de inerciaMedia

Una sección en I simétrica tiene alas de 240 mm de ancho y 20 mm de espesor, un canto total de 460 mm y un alma de 14 mm de espesor. Halla su momento de inercia I_x respecto al eje centroidal horizontal x.

B = 240 mmH = 460 mmt_f = 20 mmt_w = 14 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centroide y momento de inerciaDifícil

Una sección en I simétrica tiene alas de 160 mm de ancho y 10 mm de espesor, un canto total de 220 mm y un alma de 8 mm de espesor. Soporta un momento flector de 50 kN·m respecto al eje x. Halla el valor de la tensión de flexión máxima σ_max en la sección.

B = 160 mmH = 220 mmt_f = 10 mmt_w = 8 mmM = 50 kN·m

σ_max = MPa

9.Círculo de Mohr y transformación de tensionesMedia

En un punto σₓ = 60 MPa y σᵧ = 40 MPa. ¿Hasta qué valor τ_xy (en valor absoluto) puede llegar la tensión cortante antes de que la tensión principal mayor alcance 105 MPa?

σ_x = 60 MPaσ_y = 40 MPaσ₁ = 105 MPa

τ_xy = MPa

10.Círculo de Mohr y transformación de tensionesDifícil

Un punto de una placa delgada está en tensión plana: σₓ = 120 MPa, σᵧ = 40 MPa y τₓᵧ = −10 MPa (σ_z = 0). El material tiene un límite elástico de 350 MPa. Halla el coeficiente de seguridad n frente a la plastificación según el criterio de Tresca (tensión cortante máxima).

σ_x = 120 MPaσ_y = 40 MPaτ_xy = −10 MPaσ_Y = 350 MPa

n =

11.Flecha de la vigaMedia

Un voladizo de longitud L está empotrado en A y soporta una carga puntual P a una distancia a = 3,5 m de A. Halla la flecha δ_B en el extremo libre B.

P = 10 kNa = 3,5 mL = 4 mE = 200 GPa (acero)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

12.Flecha de la vigaDifícil

Una viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida w. Su flecha no puede superar luz/360. Halla el momento de inercia mínimo I_req que cumple este límite.

w = 6 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (aluminio)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Pandeo de pilaresMedia

Un pilar de longitud L de aluminio está empotrado en la base y articulado arriba. Con la fórmula de Euler, halla su carga crítica de pandeo P_cr.

L = 1,5 mE = 70 GPa (aluminio)d = 30 mm

P_cr = kN

14.Pandeo de pilaresDifícil

Un pilar de longitud L de acero está empotrado en la base y articulado arriba. Halla su esbeltez y la tensión crítica de pandeo σ_cr con la fórmula de Euler.

L = 4 mE = 200 GPa (acero)d = 80 mm

σ_cr = MPa

3Disoluciones

1.Tensión y deformación axial

Respuesta: δ = 1,353 mm

Ley de Hooke: en el rango elástico σ = E·ε. Junto con σ = P/A y ε = δ/L se obtiene δ = PL/(AE).

Tensión

A = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ = P/A = 85·1000/314,2 = 270,6 MPa

Deformación (ley de Hooke)

E for acero = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 270,6/200000 = 0,001353 = 1353 µε

Alargamiento

δ = ε·L = 0,001353·1000 mm = 1,353 mm

Respuesta

δ = 1,353 mm

2.Tensión y deformación axial

Respuesta: σ₂ = 17,51 MPa

Dos materiales: en serie (uno tras otro) cada tramo soporta la misma fuerza y los alargamientos se suman: δ = P·Σ L/(E·A). En paralelo (lado a lado entre placas rígidas) ambas partes se acortan lo mismo, así que sus deformaciones unitarias son iguales: la parte más rígida toma la mayor porción, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, y σ_i = E_i·ε. Una barra sujeta entre dos muros rígidos con una carga en la unión es estáticamente indeterminada: los dos tramos se reparten la carga en proporción a su rigidez k = EA/L.

Rigideces

k₁ = 200000·706,9/500 = 282743 N/mm

k₂ = 110000·1257/400 = 345575 N/mm

Parte del tramo 2

F₂ = 40000·345575/628319 = 22000 N

Tensión

σ₂ = 22000/1257 = 17,51 MPa (compresión)

Respuesta

σ₂ = 17,51 MPa

3.Torsión de ejes

Respuesta: φ = 5,845 °

Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τ_max = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω.

Momento polar de inercia

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Ángulo de torsión

φ = TL/(GJ) = 500·1000·2000/(39000·251327) = 0,102 rad

φ = 0,102·180/π = 5,845°

Respuesta

φ = 5,845°

4.Torsión de ejes

Respuesta: τ_max = 44,8 MPa

Pares internos

Se toma positivo el sentido de T_C.

T_BC = T_C = 400 N·m

T_AB = T_C + T_B = 400 + 1500 = 1900 N·m

Tensión cortante máxima

El tramo con el mayor par interno tiene la mayor tensión (mismo diámetro).

|T|_max = 1900 N·m

τ_max = 16·1,9 × 10⁶/(π·60³) = 44,8 MPa

Respuesta

τ_max = 44,8 MPa

5.Cortante y momento flector

Respuesta: D (x = 3 m)

Mayor momento flector: M cambia de pendiente allí donde cambia el esfuerzo cortante, así que sus picos están donde el esfuerzo cortante cruza el cero: bajo una carga puntual, dentro de una carga distribuida, o sobre un apoyo de un voladizo. En el empotramiento de una ménsula, el momento es máximo en la pared. Compara el valor de M en esos lugares, positivo o negativo.

Reacciones en los apoyos

Toma momentos respecto a un apoyo y luego usa el equilibrio de fuerzas verticales.

R₁ = 28 kN, R₂ = 28 kN

Momento flector en cada marca

Suma los momentos de todas las fuerzas a un lado del corte. El momento positivo hace que la viga se comba hacia abajo; el negativo, hacia arriba.

M_A = 0, M_B = 25, M_C = 44, M_D = 57 kN·m, M_E = 44, M_F = 25, M_G = 0

Respuesta

Marca D: M_D = 57 kN·m

6.Cortante y momento flector

Respuesta: M_x = 24,38 kN·m

Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte.

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la viga.

Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 8·4 = 32 kN, aplicada en x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 10·1,5 + 8·4·2

R_B = 79/4 = 19,75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 42 − 19,75 = 22,25 kN

Corta en x = 1,5 m y quédate con la parte izquierda

Solo aparecen las fuerzas a la izquierda del corte. Un tramo de carga repartida actúa como una fuerza en el centro de ese tramo.

M = R_A·x − (cada carga a la izquierda del corte × su distancia al corte)

M_x = 22,25·1,5 − 8·1,5·0,75 = 24,38 kN·m

Respuesta

M_x = 24,38 kN·m

7.Centroide y momento de inercia

Respuesta: I_x = 551,4 × 10⁶ mm⁴

Momento de inercia: para un rectángulo respecto a su propio eje centroidal I = bh³/12, y respecto a su base bh³/3 (teorema de Steiner I = I_c + A·d²). Un hueco se trata restando su I, siempre que ambas partes compartan el mismo eje. El módulo resistente elástico es S = I/c, donde c es la distancia a la fibra extrema.

Rectángulo exterior menos los dos huecos laterales

Los dos huecos juntos miden (B − t_w) de ancho y h_w = H − 2t_f de alto, y comparten el eje x.

h_w = 460 − 2·20 = 420 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (240·460³ − 226·420³)/12

I_x = 5,514 × 10⁸ mm⁴ = 551,4 × 10⁶ mm⁴

Respuesta

I_x = 551,4 × 10⁶ mm⁴

8.Centroide y momento de inercia

Respuesta: σ_max = 135,3 MPa

Áreas compuestas: divide la sección en rectángulos. El centroide es la media ponderada por áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. El momento de inercia respecto al eje que pasa por el centroide suma el bh³/12 propio de cada parte y su término de Steiner A·d², donde d es la distancia del centroide de la parte al centroide global. La tensión de flexión es σ = M·y/I.

Rectángulo exterior menos los dos huecos laterales

Los dos huecos juntos miden (B − t_w) de ancho y h_w = H − 2t_f de alto, y comparten el eje x.

h_w = 220 − 2·10 = 200 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (160·220³ − 152·200³)/12

I_x = 4,064 × 10⁷ mm⁴

Tensión de flexión

y = 110 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁷·110/4,064 × 10⁷ = 135,3 MPa

Respuesta

σ_max = 135,3 MPa

9.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: τ_xy = 54,08 MPa

Radio necesario

C = (60 + 40)/2 = 50 MPa

R = σ₁ − C = 105 − 50 = 55 MPa

Tensión cortante

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(55² − 10²) = 54,08 MPa

Respuesta

τ_xy = 54,08 MPa

10.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: n = 2,887

Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R. Criterios de plastificación: von Mises predice la plastificación cuando σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) alcanza σ_Y; Tresca, cuando la tensión cortante máxima absoluta alcanza σ_Y/2.

Tensiones principales

C = 80 MPa, R = 41,23 MPa

σ₁ = 121,2 MPa, σ₂ = 38,77 MPa, σ₃ = 0

Tresca

σ_max − σ_min = 121,2 MPa

n = 350/121,2 = 2,887

Respuesta

n = 2,887

n > 1 significa que el punto no plastifica; Tresca es algo más conservador que von Mises.

11.Flecha de la viga

Respuesta: δ_B = 10,33 mm

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 10000 N, a = 3500 mm, L = 4000 mm

EI = 1,68 × 10¹³ N·mm²

Flecha en el extremo libre

Flecha en la carga más el giro en la carga por la longitud restante.

δ_P = Pa³/(3EI) = 8,507 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,003646 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 10,33 mm

Respuesta

δ_B = 10,33 mm

12.Flecha de la viga

Respuesta: I_req = 25,71 × 10⁶ mm⁴

Límite de flecha

δ_allow = L/360 = 4000/360 = 11,11 mm

Momento de inercia necesario

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·6·4000⁴/(384·70000·11,11) = 2,571 × 10⁷ mm⁴

I_req = 25,71 × 10⁶ mm⁴

Respuesta

I_req = 25,71 × 10⁶ mm⁴

13.Pandeo de pilares

Respuesta: P_cr = 24,92 kN

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en P_cr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Menor momento de inercia

Una sección circular tiene el mismo I respecto a cualquier eje.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Longitud de pandeo

KL = 0,7·1500 = 1050 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·39761/1050² = 24916 N = 24,92 kN

Respuesta

P_cr = 24,92 kN

14.Pandeo de pilares

Respuesta: σ_cr = 100,7 MPa

Menor momento de inercia

Una sección circular tiene el mismo I respecto a cualquier eje.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Radio de giro y esbeltez

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

KL/r = 2800/20 = 140

Tensión crítica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/140² = 100,7 MPa

Respuesta

σ_cr = 100,7 MPa

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