Resistencia de materiales: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 14 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Tensión y deformación axial

Tensión normal: σ = F/A
Deformación: ε = ΔL/L
Ley de Hooke: σ = E·ε
Alargamiento: ΔL = FL/(EA)
Deformación térmica: ε_T = α·ΔT

Torsión de ejes

Tensión cortante: τ = T·r/J
Eje macizo: J = πd⁴/32
Eje hueco: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ)
Potencia: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Halla el momento polar de inercia: J = πd⁴/32 para un eje macizo.
Tensión tangencial en la superficie: τ = T·r/J, con r el radio exterior.
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ) en radianes.
Si te dan la potencia, halla primero el par con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cortante y momento flector

Cortante y momento: V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
Tensión de flexión: σ = M·y/I
Rectángulo: I = bh³/12
Módulo resistente: W = I/y_max
Viga biapoyada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.

Centroide y momento de inercia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectángulo: I = bh³/12
Teorema de Steiner: I = I_c + A·d²
Sección compuesta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Radio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensiones principales: σ_1,2 = C ± R
Dirección principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcula el centro del círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcula el radio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Las tensiones principales son C ± R y la tensión tangencial máxima en el plano es R.
Los ángulos en el círculo son el doble que los ángulos en el elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flecha de la viga

Carga puntual en el centro del vano: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoyada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Voladizo, carga en el extremo: δ = PL³/(3EI)
Voladizo, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposición: δ = δ₁ + δ₂

Pandeo de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Factor de longitud de pandeo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 empotrado–empotrado, 0,7 empotrado–articulado, 2 empotrado–libre
Tensión crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Problemas de práctica

1.Tensión y deformación axialMedia

Una varilla de acero (diámetro 20 mm, E = 200 GPa) está dentro de un tubo de bronce (diámetro exterior 100 mm, diámetro interior 60 mm, E = 110 GPa). Ambos miden 400 mm de largo y se comprimen juntos entre placas rígidas con 100 kN. Halla el acortamiento δ.

P = 100 kNbarra: Ø20 mm, E = 200 GPatubo: Ø100/Ø60 mm, E = 110 GPaL = 400 mm

δ = mm

2.Tensión y deformación axialDifícil

Una varilla de acero (diámetro 30 mm, E = 200 GPa, tensión admisible 150 MPa) está dentro de un tubo de cobre (diámetro exterior 100 mm, diámetro interior 60 mm, E = 120 GPa, tensión admisible 60 MPa). Se comprimen juntos entre placas rígidas. Halla la mayor carga P_max.

barra: Ø30 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 150 MPatubo: Ø100/Ø60 mm, E = 120 GPa, σ_allow = 60 MPa

P_max = kN

3.Torsión de ejesMedia

Un eje hueco debe transmitir un par de 1000 N·m. Su diámetro interior debe ser 0,5 veces su diámetro exterior, y la tensión cortante no debe superar 60 MPa. Halla el diámetro exterior mínimo d_o.

T = 1000 N·md_i/d_o = 0,5τ_allow = 60 MPa

d_o = mm

4.Torsión de ejesDifícil

Un eje macizo de latón de 25 mm de diámetro está empotrado en A. En B, a 1,2 m de A, actúa un par de 500 N·m, y en el extremo libre C, 0,8 m más allá, actúa un par de 200 N·m en sentido contrario. Halla el valor del ángulo de torsión φ_C del extremo C, en grados.

d = 25 mmT_B = 500 N·mT_C = 200 N·mAB = 1,2 mBC = 0,8 mG = 39 GPa

φ_C = °

5.Cortante y momento flectorMedia

Halla el momento flector M_x en la sección x = 1,5 m desde el apoyo A. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.

L = 8 mw = 6 kN/m de 0 a 8 mx = 1,5 m

M_x = kN·m

6.Cortante y momento flectorDifícil

La viga descansa sobre una articulación en A y un apoyo deslizante en B, y vuela 1 m más allá de B hasta el extremo libre C. Una carga uniformemente repartida w actúa en toda la longitud A–C. Halla el momento flector positivo máximo M_max entre los apoyos.

L = 7 mw = 12 kN/m de 0 a 7 mapoyos en x = 0 y x = 6 m

M_max = kN·m

7.Centroide y momento de inerciaMedia

Una sección en U está colocada con el lado abierto hacia arriba: una placa de base de 240 mm de ancho con dos alas verticales de 60 mm de altura total. La base y las alas tienen todas 14 mm de espesor. Halla su momento de inercia I_x respecto al eje horizontal x que pasa por su centroide.

b = 240 mmh = 60 mmt = 14 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centroide y momento de inerciaDifícil

Una sección en I soldada tiene un ala superior de 160 × 16 mm, un alma de 190 mm de alto y 8 mm de espesor, y un ala inferior de 230 × 24 mm (ancho × espesor). Halla su momento de inercia I_x respecto al eje horizontal x que pasa por su centroide.

ala superior: 160 × 16 mmalma: 8 × 190 mmala inferior: 230 × 24 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Círculo de Mohr y transformación de tensionesMedia

En un punto σₓ = −10 MPa, σᵧ = −40 MPa y τₓᵧ = −40 MPa (tracción positiva). Halla el ángulo θ_s, entre −90° y 90°, desde el eje x hasta la normal del plano en el que la tensión cortante tiene su valor positivo máximo +R (cortante positivo en el mismo sentido que τₓᵧ).

σ_x = −10 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = −40 MPa

θ_s = °

10.Círculo de Mohr y transformación de tensionesDifícil

Un punto de una placa delgada está en tensión plana: σₓ = 130 MPa, σᵧ = 60 MPa y τₓᵧ = 40 MPa (σ_z = 0). Halla la tensión equivalente de von Mises σ_vM.

σ_x = 130 MPaσ_y = 60 MPaτ_xy = 40 MPa

σ_vM = MPa

11.Flecha de la vigaMedia

Una viga simplemente apoyada soporta una carga puntual P a a = 3,5 m del apoyo A. Halla la flecha δ_P bajo la carga.

P = 16 kNa = 3,5 mL = 5 mE = 11 GPa (madera estructural)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Flecha de la vigaDifícil

Una viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida w. Su flecha no puede superar luz/360. Halla el momento de inercia mínimo I_req que cumple este límite.

w = 5 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (madera estructural)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Pandeo de pilaresMedia

Un pilar de longitud L de acero está empotrado en la base y articulado arriba. Con la fórmula de Euler, halla su carga crítica de pandeo P_cr.

L = 5 mE = 200 GPa (acero)d = 80 mm

P_cr = kN

14.Pandeo de pilaresDifícil

Un pilar de longitud L de acero está articulado en ambos extremos. Halla su esbeltez y la tensión crítica de pandeo σ_cr con la fórmula de Euler.

L = 2 mE = 200 GPa (acero)d = 50 mm

σ_cr = MPa

3Disoluciones

1.Tensión y deformación axial

Respuesta: δ = 0,06496 mm

Dos materiales: en serie (uno tras otro) cada tramo soporta la misma fuerza y los alargamientos se suman: δ = P·Σ L/(E·A). En paralelo (lado a lado entre placas rígidas) ambas partes se acortan lo mismo, así que sus deformaciones unitarias son iguales: la parte más rígida toma la mayor porción, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, y σ_i = E_i·ε. Una barra sujeta entre dos muros rígidos con una carga en la unión es estáticamente indeterminada: los dos tramos se reparten la carga en proporción a su rigidez k = EA/L.

Áreas

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²

Rigidez axial combinada

ΣEA = 200·10³·314,2 + 110·10³·5027 = 6,158 × 10⁸ N

Acortamiento

δ = 100000·400/6,158 × 10⁸ = 0,06496 mm

Respuesta

δ = 0,06496 mm

2.Tensión y deformación axial

Respuesta: P_max = 372,3 kN

Áreas

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²

Rigidez axial combinada

ΣEA = 200·10³·706,9 + 120·10³·5027 = 7,446 × 10⁸ N

Deformación determinante

ε = min(0,00075, 0,0005) = 0,0005 (cobre)

Mayor carga

P_max = 0,0005·7,446 × 10⁸ = 372279 N = 372,3 kN

Respuesta

P_max = 372,3 kN

3.Torsión de ejes

Respuesta: d_o = 44,9 mm

Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τ_max = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω.

Diámetro exterior a partir de la tensión admisible

T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,5⁴ = 0,9375

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·1 × 10⁶/(π·60·0,9375)) = 44,9 mm

d_i = 0,5·44,9 = 22,45 mm

Respuesta

d_o = 44,9 mm

Un eje macizo necesitaría d = 43,95 mm; el hueco es algo mayor pero mucho más ligero.

4.Torsión de ejes

Respuesta: φ_C = 7,662 °

Pares internos

Se toma positivo el sentido de T_C.

T_BC = T_C = 200 N·m

T_AB = T_C − T_B = 200 − 500 = −300 N·m

Torsión de cada tramo

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_AB = −300000·1200/(39000·38350) = −0,2407 rad

φ_BC = 200000·800/(39000·38350) = 0,107 rad

Torsión del extremo C

φ_C = −0,2407 + 0,107 = −0,1337 rad → |φ_C| = 7,662°

Respuesta

φ_C = 7,662°

5.Cortante y momento flector

Respuesta: M_x = 29,25 kN·m

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la viga.

Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 6·8 = 48 kN, aplicada en x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 6·8·4

R_B = 192/8 = 24 kN

ΣF_y = 0: R_A = 48 − 24 = 24 kN

Corta en x = 1,5 m y quédate con la parte izquierda

Solo aparecen las fuerzas a la izquierda del corte. Un tramo de carga repartida actúa como una fuerza en el centro de ese tramo.

M = R_A·x − (cada carga a la izquierda del corte × su distancia al corte)

M_x = 24·1,5 − 6·1,5·0,75 = 29,25 kN·m

Respuesta

M_x = 29,25 kN·m

6.Cortante y momento flector

Respuesta: M_max = 51,04 kN·m

Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte. Momento máximo: como dM/dx = V, el momento flector alcanza su máximo donde el cortante pasa por cero, ya sea en una carga puntual o dentro de una carga repartida.

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la viga, incluida la carga sobre el voladizo.

Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 12·7 = 84 kN, aplicada en x̄ = 3,5 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 12·7·3,5

R_B = 294/6 = 49 kN

ΣF_y = 0: R_A = 84 − 49 = 35 kN

Cortante nulo

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 35/12 = 2,917 m

Momento positivo máximo

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = R_A²/(2w) = 35²/(2·12) = 51,04 kN·m

Respuesta

M_max = 51,04 kN·m

7.Centroide y momento de inercia

Respuesta: I_x = 1,12 × 10⁶ mm⁴

Áreas compuestas: divide la sección en rectángulos. El centroide es la media ponderada por áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. El momento de inercia respecto al eje que pasa por el centroide suma el bh³/12 propio de cada parte y su término de Steiner A·d², donde d es la distancia del centroide de la parte al centroide global. La tensión de flexión es σ = M·y/I.

Divide en rectángulos

Toma la base con su ancho completo y las dos alas encima de ella (altura h − t), para no contar nada dos veces.

base: A₁ = 240·14 = 3360 mm², y₁ = 7 mm

dos alas: A₂ = 2·14·46 = 1288 mm², y₂ = 14 + 46/2 = 37 mm

Centroide

ȳ = (3360·7 + 1288·37)/4648 = 15,31 mm

Teorema de Steiner

base: 240·14³/12 + 3360·(7 − 15,31)² = 287090 mm⁴

dos alas: 2·14·46³/12 + 1288·(37 − 15,31)² = 832883 mm⁴

I_x = 287090 + 832883

I_x = 1,12 × 10⁶ mm⁴ = 1,12 × 10⁶ mm⁴

Respuesta

I_x = 1,12 × 10⁶ mm⁴

8.Centroide y momento de inercia

Respuesta: I_x = 84,11 × 10⁶ mm⁴

Divide en tres rectángulos

Mide cada y desde el borde inferior.

ala superior: A = 2560 mm², y = 222 mm

alma: A = 1520 mm², y = 119 mm

ala inferior: A = 5520 mm², y = 12 mm

Centroide

ȳ = (2560·222 + 1520·119 + 5520·12)/9600 = 84,94 mm

Teorema de Steiner

ala superior: 160·16³/12 + 2560·137,1² = 4,814 × 10⁷ mm⁴

alma: 8·190³/12 + 1520·34,06² = 6,336 × 10⁶ mm⁴

ala inferior: 230·24³/12 + 5520·72,94² = 2,963 × 10⁷ mm⁴

I_x = 4,814 × 10⁷ + 6,336 × 10⁶ + 2,963 × 10⁷

I_x = 8,411 × 10⁷ mm⁴ = 84,11 × 10⁶ mm⁴

Respuesta

I_x = 84,11 × 10⁶ mm⁴

9.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: θ_s = −79,72 °

Ángulo en el círculo

En el círculo de Mohr el punto más alto (+R) está a 90° del punto principal σ₁; en el elemento eso son 45°.

cos 2θ_s = −40/42,72 = −0,9363, sin 2θ_s = −15/42,72 = −0,3511

2θ_s = atan2(−15, −40) = −159,4°

Ángulo en el elemento

θ_s = −79,72°

comprobación: θ_s − θ_p = −79,72 − (−34,72) = −45°

Respuesta

θ_s = −79,72°

Los ángulos positivos son en sentido antihorario.

10.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: σ_vM = 132,3 MPa

Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R. Criterios de plastificación: von Mises predice la plastificación cuando σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) alcanza σ_Y; Tresca, cuando la tensión cortante máxima absoluta alcanza σ_Y/2.

Tensiones principales

C = 95 MPa, R = 53,15 MPa

σ₁ = 148,2 MPa, σ₂ = 41,85 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(148,2² − 148,2·41,85 + 41,85²) = 132,3 MPa

Respuesta

σ_vM = 132,3 MPa

11.Flecha de la viga

Respuesta: δ_P = 31,82 mm

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 16000 N, a = 3500 mm, b = 1500 mm, L = 5000 mm

EI = 9,24 × 10¹¹ N·mm²

Flecha bajo la carga

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 16000·3500²·1500²/(3·9,24 × 10¹¹·5000) = 31,82 mm

Respuesta

δ_P = 31,82 mm

12.Flecha de la viga

Respuesta: I_req = 17,05 × 10⁶ mm⁴

Límite de flecha

δ_allow = L/360 = 2000/360 = 5,556 mm

Momento de inercia necesario

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·5·2000⁴/(384·11000·5,556) = 1,705 × 10⁷ mm⁴

I_req = 17,05 × 10⁶ mm⁴

Respuesta

I_req = 17,05 × 10⁶ mm⁴

13.Pandeo de pilares

Respuesta: P_cr = 324 kN

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en P_cr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Menor momento de inercia

Una sección circular tiene el mismo I respecto a cualquier eje.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Longitud de pandeo

KL = 0,7·5000 = 3500 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·2,011 × 10⁶/3500² = 323984 N = 324 kN

Respuesta

P_cr = 324 kN

14.Pandeo de pilares

Respuesta: σ_cr = 77,11 MPa

Menor momento de inercia

Una sección circular tiene el mismo I respecto a cualquier eje.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Radio de giro y esbeltez

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 1·2000 = 2000 mm

KL/r = 2000/12,5 = 160

Tensión crítica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/160² = 77,11 MPa

Respuesta

σ_cr = 77,11 MPa

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