Resistencia de materiales: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 14 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Tensión y deformación axial

Tensión normal: σ = F/A
Deformación: ε = ΔL/L
Ley de Hooke: σ = E·ε
Alargamiento: ΔL = FL/(EA)
Deformación térmica: ε_T = α·ΔT

Torsión de ejes

Tensión cortante: τ = T·r/J
Eje macizo: J = πd⁴/32
Eje hueco: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ)
Potencia: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Halla el momento polar de inercia: J = πd⁴/32 para un eje macizo.
Tensión tangencial en la superficie: τ = T·r/J, con r el radio exterior.
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ) en radianes.
Si te dan la potencia, halla primero el par con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cortante y momento flector

Cortante y momento: V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
Tensión de flexión: σ = M·y/I
Rectángulo: I = bh³/12
Módulo resistente: W = I/y_max
Viga biapoyada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.

Centroide y momento de inercia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectángulo: I = bh³/12
Teorema de Steiner: I = I_c + A·d²
Sección compuesta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Radio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensiones principales: σ_1,2 = C ± R
Dirección principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcula el centro del círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcula el radio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Las tensiones principales son C ± R y la tensión tangencial máxima en el plano es R.
Los ángulos en el círculo son el doble que los ángulos en el elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flecha de la viga

Carga puntual en el centro del vano: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoyada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Voladizo, carga en el extremo: δ = PL³/(3EI)
Voladizo, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposición: δ = δ₁ + δ₂

Pandeo de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Factor de longitud de pandeo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 empotrado–empotrado, 0,7 empotrado–articulado, 2 empotrado–libre
Tensión crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Problemas de práctica

1.Tensión y deformación axialMedia

Una varilla de acero (diámetro 30 mm, E = 200 GPa) está dentro de un tubo de aluminio (diámetro exterior 120 mm, diámetro interior 70 mm, E = 70 GPa). Ambos miden 400 mm de largo y se comprimen juntos entre placas rígidas con 100 kN. Halla el acortamiento δ.

P = 100 kNbarra: Ø30 mm, E = 200 GPatubo: Ø120/Ø70 mm, E = 70 GPaL = 400 mm

δ = mm

2.Tensión y deformación axialDifícil

Un tramo de acero (diámetro 25 mm, longitud 400 mm, E = 200 GPa) y un tramo de latón (diámetro 50 mm, longitud 400 mm, E = 100 GPa) se unen extremo con extremo y se fijan entre dos muros rígidos. Una carga axial de 20 kN actúa en la unión, hacia el tramo 2. Halla el valor de la tensión σ₂ en el tramo 2.

tramo 1: acero, Ø25 mm, 400 mm, E = 200 GPatramo 2: latón, Ø50 mm, 400 mm, E = 100 GPaP = 20 kN

σ₂ = MPa

3.Torsión de ejesMedia

Un eje hueco debe transmitir un par de 200 N·m. Su diámetro interior debe ser 0,8 veces su diámetro exterior, y la tensión cortante no debe superar 50 MPa. Halla el diámetro exterior mínimo d_o.

T = 200 N·md_i/d_o = 0,8τ_allow = 50 MPa

d_o = mm

4.Torsión de ejesDifícil

Un eje macizo debe transmitir 5 kW a 300 rpm sin que la tensión cortante supere 80 MPa. Halla el diámetro mínimo d que sirve.

P = 5 kWN = 300 rpmτ_allow = 80 MPa

d = mm

5.Cortante y momento flectorMedia

Halla el momento flector M_x en la sección x = 4,5 m desde el apoyo A. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.

L = 6 mw = 3 kN/m de 0 a 6 mx = 4,5 m

M_x = kN·m

6.Cortante y momento flectorDifícil

Las marcas A a G dividen la viga en seis partes iguales. ¿En qué marca es mayor el momento flector en valor absoluto, positivo o negativo? Haz clic en ella en el diagrama.

55 kN @ 0 m25 kN @ 6 m55 kN @ 4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Centroide y momento de inerciaMedia

Una sección en U está colocada con el lado abierto hacia arriba: una placa de base de 160 mm de ancho con dos alas verticales de 80 mm de altura total. La base y las alas tienen todas 12 mm de espesor. Halla su momento de inercia I_x respecto al eje horizontal x que pasa por su centroide.

b = 160 mmh = 80 mmt = 12 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centroide y momento de inerciaDifícil

La sección en T se usa como viga con el ala arriba y soporta un momento flector positivo de 15 kN·m. Halla la tensión de flexión σ_inferior en el borde inferior.

b_f = 300 mmt_f = 30 mmt_w = 8 mmh_w = 260 mmM = 15 kN·m

σ_inferior = MPa

9.Círculo de Mohr y transformación de tensionesMedia

En un punto σₓ = 110 MPa y σᵧ = 20 MPa. ¿Hasta qué valor τ_xy (en valor absoluto) puede llegar la tensión cortante antes de que la tensión principal mayor alcance 130 MPa?

σ_x = 110 MPaσ_y = 20 MPaσ₁ = 130 MPa

τ_xy = MPa

10.Círculo de Mohr y transformación de tensionesDifícil

Un depósito cilíndrico de pared delgada, con un diámetro interior de 1000 mm y un espesor de pared de 5 mm, contiene gas a una presión manométrica de 2 MPa. Está fabricado con chapa soldada a lo largo de una costura helicoidal a 30° del eje del cilindro. Halla la tensión normal σ_n que actúa perpendicularmente a la costura de soldadura.

D = 1000 mmt = 5 mmp = 2 MPaα = 30°

σ_n = MPa

11.Flecha de la vigaMedia

Una viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida w en toda su luz. Halla la flecha máxima δ_max, en el centro del vano.

w = 12 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (aluminio)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Flecha de la vigaDifícil

Una viga está empotrada en A y simplemente apoyada en B (viga empotrada y apoyada). Soporta una carga uniformemente repartida w en toda su longitud. EI es constante. Halla la reacción R_B en el apoyo B.

L = 4 mw = 15 kN/m

R_B = kN

13.Pandeo de pilaresMedia

Un pilar de longitud L de aluminio está empotrado en ambos extremos. Con la fórmula de Euler, halla su carga crítica de pandeo P_cr.

L = 4 mE = 70 GPa (aluminio)d = 25 mm

P_cr = kN

14.Pandeo de pilaresDifícil

Un pilar macizo circular de longitud L de aluminio está empotrado en ambos extremos. Debe soportar 135 kN con un coeficiente de seguridad de 2 frente al pandeo. Halla el diámetro mínimo d.

P = 135 kNn = 2L = 6 mE = 70 GPa (aluminio)

d = mm

3Disoluciones

1.Tensión y deformación axial

Respuesta: δ = 0,06027 mm

Dos materiales: en serie (uno tras otro) cada tramo soporta la misma fuerza y los alargamientos se suman: δ = P·Σ L/(E·A). En paralelo (lado a lado entre placas rígidas) ambas partes se acortan lo mismo, así que sus deformaciones unitarias son iguales: la parte más rígida toma la mayor porción, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, y σ_i = E_i·ε. Una barra sujeta entre dos muros rígidos con una carga en la unión es estáticamente indeterminada: los dos tramos se reparten la carga en proporción a su rigidez k = EA/L.

Áreas

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

Rigidez axial combinada

ΣEA = 200·10³·706,9 + 70·10³·7461 = 6,637 × 10⁸ N

Acortamiento

δ = 100000·400/6,637 × 10⁸ = 0,06027 mm

Respuesta

δ = 0,06027 mm

2.Tensión y deformación axial

Respuesta: σ₂ = 6,791 MPa

Rigideces

k₁ = 200000·490,9/400 = 245437 N/mm

k₂ = 100000·1963/400 = 490874 N/mm

Parte del tramo 2

F₂ = 20000·490874/736311 = 13333 N

Tensión

σ₂ = 13333/1963 = 6,791 MPa (compresión)

Respuesta

σ₂ = 6,791 MPa

3.Torsión de ejes

Respuesta: d_o = 32,56 mm

Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τ_max = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω.

Diámetro exterior a partir de la tensión admisible

T = 200 N·m = 200000 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,8⁴ = 0,5904

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·200000/(π·50·0,5904)) = 32,56 mm

d_i = 0,8·32,56 = 26,04 mm

Respuesta

d_o = 32,56 mm

Un eje macizo necesitaría d = 27,31 mm; el hueco es algo mayor pero mucho más ligero.

4.Torsión de ejes

Respuesta: d = 21,64 mm

Par

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 5000/31,42 = 159,2 N·m

Diámetro a partir de la tensión admisible

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·159155/(π·80)) = 21,64 mm

Respuesta

d = 21,64 mm

En la práctica redondearías al siguiente tamaño normalizado.

5.Cortante y momento flector

Respuesta: M_x = 10,13 kN·m

Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte.

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la viga.

Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 3·6 = 18 kN, aplicada en x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 3·6·3

R_B = 54/6 = 9 kN

ΣF_y = 0: R_A = 18 − 9 = 9 kN

Corta en x = 4,5 m y quédate con la parte izquierda

Solo aparecen las fuerzas a la izquierda del corte. Un tramo de carga repartida actúa como una fuerza en el centro de ese tramo.

M = R_A·x − (cada carga a la izquierda del corte × su distancia al corte)

M_x = 9·4,5 − 3·4,5·2,25 = 10,13 kN·m

Respuesta

M_x = 10,13 kN·m

6.Cortante y momento flector

Respuesta: B (x = 1 m)

Mayor momento flector: M cambia de pendiente allí donde cambia el esfuerzo cortante, así que sus picos están donde el esfuerzo cortante cruza el cero: bajo una carga puntual, dentro de una carga distribuida, o sobre un apoyo de un voladizo. En el empotramiento de una ménsula, el momento es máximo en la pared. Compara el valor de M en esos lugares, positivo o negativo.

Reacciones en los apoyos

Toma momentos respecto a un apoyo y luego usa el equilibrio de fuerzas verticales.

R₁ = 76,25 kN, R₂ = 58,75 kN

Momento flector en cada marca

Suma los momentos de todas las fuerzas a un lado del corte. El momento positivo hace que la viga se comba hacia abajo; el negativo, hacia arriba.

M_A = 0, M_B = −55 kN·m, M_C = −33,75, M_D = −12,5, M_E = 8,75, M_F = −25, M_G = 0

Respuesta

Marca B: M_B = −55 kN·m

7.Centroide y momento de inercia

Respuesta: I_x = 2,063 × 10⁶ mm⁴

Áreas compuestas: divide la sección en rectángulos. El centroide es la media ponderada por áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. El momento de inercia respecto al eje que pasa por el centroide suma el bh³/12 propio de cada parte y su término de Steiner A·d², donde d es la distancia del centroide de la parte al centroide global. La tensión de flexión es σ = M·y/I.

Divide en rectángulos

Toma la base con su ancho completo y las dos alas encima de ella (altura h − t), para no contar nada dos veces.

base: A₁ = 160·12 = 1920 mm², y₁ = 6 mm

dos alas: A₂ = 2·12·68 = 1632 mm², y₂ = 12 + 68/2 = 46 mm

Centroide

ȳ = (1920·6 + 1632·46)/3552 = 24,38 mm

Teorema de Steiner

base: 160·12³/12 + 1920·(6 − 24,38)² = 671548 mm⁴

dos alas: 2·12·68³/12 + 1632·(46 − 24,38)² = 1,392 × 10⁶ mm⁴

I_x = 671548 + 1,392 × 10⁶

I_x = 2,063 × 10⁶ mm⁴ = 2,063 × 10⁶ mm⁴

Respuesta

I_x = 2,063 × 10⁶ mm⁴

8.Centroide y momento de inercia

Respuesta: σ_inferior = 77,57 MPa

Divide en dos rectángulos

Mide cada y desde el borde inferior.

ala: A_f = 300·30 = 9000 mm², y_f = 260 + 30/2 = 275 mm

alma: A_w = 8·260 = 2080 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (9000·275 + 2080·130)/11080 = 247,8 mm

Teorema de Steiner

ala: 300·30³/12 + 9000·(275 − 247,8)² = 7,343 × 10⁶ mm⁴

alma: 8·260³/12 + 2080·(130 − 247,8)² = 4,057 × 10⁷ mm⁴

I_x = 7,343 × 10⁶ + 4,057 × 10⁷ = 4,791 × 10⁷ mm⁴

Tensión de flexión

El borde inferior está a ȳ del eje.

y = 247,8 mm

σ = M·y/I = 1,5 × 10⁷·247,8/4,791 × 10⁷ = 77,57 MPa

Respuesta

σ_inferior = 77,57 MPa

9.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: τ_xy = 46,9 MPa

Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R.

Radio necesario

C = (110 + 20)/2 = 65 MPa

R = σ₁ − C = 130 − 65 = 65 MPa

Tensión cortante

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(65² − 45²) = 46,9 MPa

Respuesta

τ_xy = 46,9 MPa

10.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: σ_n = 175 MPa

Tensiones en la pared

r = 1000/2 = 500 mm

σ_h = pr/t = 2·500/5 = 200 MPa

σ_a = pr/(2t) = 100 MPa

Transforma a la costura

Toma x a lo largo del eje (σ_a) e y en dirección circunferencial (σ_h). La normal de la costura forma 90° − α con el eje.

σ_n = 100·sin²30° + 200·cos²30° = 175 MPa

Respuesta

σ_n = 175 MPa

11.Flecha de la viga

Respuesta: δ_max = 21,27 mm

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

w = 12 N/mm, L = 3000 mm

EI = 5,95 × 10¹¹ N·mm²

Flecha

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·3000⁴/(384·5,95 × 10¹¹) = 21,27 mm

Respuesta

δ_max = 21,27 mm

12.Flecha de la viga

Respuesta: R_B = 22,5 kN

Quita el apoyo adicional

Sin el apoyo adicional la viga es un voladizo. Su extremo libre descendería bajo la carga.

δ_load = wL⁴/(8EI)

Compatibilidad en el apoyo B

La reacción del apoyo R_B por sí sola levanta el extremo libre R_BL³/(3EI). El apoyo mantiene B con flecha nula, así que ambas deben anularse. EI se simplifica.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·15·4/8 = 22,5 kN

Respuesta

R_B = 22,5 kN

13.Pandeo de pilares

Respuesta: P_cr = 3,312 kN

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en P_cr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Menor momento de inercia

Una sección circular tiene el mismo I respecto a cualquier eje.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Longitud de pandeo

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·19175/2000² = 3312 N = 3,312 kN

Respuesta

P_cr = 3,312 kN

14.Pandeo de pilares

Respuesta: d = 92 mm

Carga crítica necesaria

P_cr = n·P = 2·135000 = 270000 N

KL = 0,5·6000 = 3000 mm

Despeja el diámetro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·270000·3000²/(π³·70000))^(1/4) = 92 mm

Respuesta

d = 92 mm

Comprobación: la esbeltez KL/r es 130,4, así que el pilar es esbelto y Euler es válido.

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