Resistencia de materiales: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 14 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Tensión y deformación axial

Tensión normal: σ = F/A
Deformación: ε = ΔL/L
Ley de Hooke: σ = E·ε
Alargamiento: ΔL = FL/(EA)
Deformación térmica: ε_T = α·ΔT

Torsión de ejes

Tensión cortante: τ = T·r/J
Eje macizo: J = πd⁴/32
Eje hueco: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ)
Potencia: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Halla el momento polar de inercia: J = πd⁴/32 para un eje macizo.
Tensión tangencial en la superficie: τ = T·r/J, con r el radio exterior.
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ) en radianes.
Si te dan la potencia, halla primero el par con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cortante y momento flector

Cortante y momento: V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
Tensión de flexión: σ = M·y/I
Rectángulo: I = bh³/12
Módulo resistente: W = I/y_max
Viga biapoyada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.

Centroide y momento de inercia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectángulo: I = bh³/12
Teorema de Steiner: I = I_c + A·d²
Sección compuesta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Radio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensiones principales: σ_1,2 = C ± R
Dirección principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcula el centro del círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcula el radio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Las tensiones principales son C ± R y la tensión tangencial máxima en el plano es R.
Los ángulos en el círculo son el doble que los ángulos en el elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flecha de la viga

Carga puntual en el centro del vano: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoyada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Voladizo, carga en el extremo: δ = PL³/(3EI)
Voladizo, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposición: δ = δ₁ + δ₂

Pandeo de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Factor de longitud de pandeo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 empotrado–empotrado, 0,7 empotrado–articulado, 2 empotrado–libre
Tensión crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Problemas de práctica

1.Tensión y deformación axialMedia

Halla el alargamiento δ de la barra de cobre bajo la carga axial.

P = 105 kNd = 12 mmL = 2,5 mE = 117 GPa

δ = mm

2.Tensión y deformación axialDifícil

La barra escalonada está empotrada en la pared y cargada en su extremo libre. Halla la tensión normal máxima σ_max en la barra.

P = 100 kNtramo 1: Ø35 mm, 1 m, aluminio (E = 70 GPa)tramo 2: Ø16 mm, 1 m, acero (E = 200 GPa)

σ_max = MPa

3.Torsión de ejesMedia

Un eje hueco de acero (diámetro exterior 50 mm, diámetro interior 35 mm, longitud 2 m) está empotrado en un extremo y se tuerce con un par de 400 N·m en el otro. Halla el ángulo de torsión φ en grados.

T = 400 N·md_o = 50 mmd_i = 35 mmL = 2 mG = 80 GPa

φ = °

4.Torsión de ejesDifícil

Un eje macizo de aluminio transmite 20 kW a 1000 rpm. La tensión cortante no debe superar 75 MPa y la torsión no debe superar 0,75° por m de longitud. Halla el diámetro mínimo d que cumple ambos límites.

P = 20 kWN = 1000 rpmτ_allow = 75 MPaθ_allow = 0,75°/mG = 26 GPa

d = mm

5.Cortante y momento flectorMedia

Las marcas A a G dividen la viga en seis partes iguales. ¿En qué marca es mayor el momento flector en valor absoluto, positivo o negativo? Haz clic en ella en el diagrama.

45 kN @ 4 m5 kN/m, 2–6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Cortante y momento flectorDifícil

Las marcas A a G dividen la viga en seis partes iguales. ¿En qué marca es mayor el momento flector en valor absoluto, positivo o negativo? Haz clic en ella en el diagrama.

15 kN @ 0 m60 kN @ 6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Centroide y momento de inerciaMedia

Una sección en I simétrica tiene alas de 150 mm de ancho y 10 mm de espesor, un canto total de 300 mm y un alma de 8 mm de espesor. Halla su momento de inercia I_x respecto al eje centroidal horizontal x.

B = 150 mmH = 300 mmt_f = 10 mmt_w = 8 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centroide y momento de inerciaDifícil

La sección en T se usa como viga con el ala arriba y soporta un momento flector positivo de 50 kN·m. Halla el valor de la tensión de flexión σ_superior en el borde superior.

b_f = 100 mmt_f = 30 mmt_w = 10 mmh_w = 120 mmM = 50 kN·m

σ_superior = MPa

9.Círculo de Mohr y transformación de tensionesMedia

En un punto σₓ = −30 MPa, σᵧ = −60 MPa y τₓᵧ = 60 MPa (tracción positiva). Halla el ángulo θ_s, entre −90° y 90°, desde el eje x hasta la normal del plano en el que la tensión cortante tiene su valor positivo máximo +R (cortante positivo en el mismo sentido que τₓᵧ).

σ_x = −30 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = 60 MPa

θ_s = °

10.Círculo de Mohr y transformación de tensionesDifícil

Un punto de una pieza cargada tiene σₓ = 100 MPa, σᵧ = 100 MPa y τₓᵧ = −50 MPa (tracción positiva). Halla la tensión normal σ_θ en un plano cuya normal está girada 20° en sentido antihorario respecto al eje x.

σ_x = 100 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = −50 MPaθ = 20°

σ_θ = MPa

11.Flecha de la vigaMedia

Una viga simplemente apoyada soporta una carga puntual P a a = 1,5 m del apoyo A. Halla la flecha δ_P bajo la carga.

P = 21 kNa = 1,5 mL = 6 mE = 200 GPa (acero)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Flecha de la vigaDifícil

Una viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida w. Su flecha no puede superar luz/360. Halla el momento de inercia mínimo I_req que cumple este límite.

w = 15 kN/mL = 2,5 mE = 70 GPa (aluminio)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Pandeo de pilaresMedia

Un pilar de longitud L de aluminio está articulado en ambos extremos. Con la fórmula de Euler, halla su carga crítica de pandeo P_cr.

L = 3 mE = 70 GPa (aluminio)b × h = 25 × 50 mm

P_cr = kN

14.Pandeo de pilaresDifícil

Un pilar de longitud L de aluminio está empotrado en ambos extremos. Halla su esbeltez y la tensión crítica de pandeo σ_cr con la fórmula de Euler.

L = 3 mE = 70 GPa (aluminio)d = 25 mm

σ_cr = MPa

3Disoluciones

1.Tensión y deformación axial

Respuesta: δ = 19,84 mm

Ley de Hooke: en el rango elástico σ = E·ε. Junto con σ = P/A y ε = δ/L se obtiene δ = PL/(AE).

Tensión

A = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ = P/A = 105·1000/113,1 = 928,4 MPa

Deformación (ley de Hooke)

E for cobre = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 928,4/117000 = 0,007935 = 7935 µε

Alargamiento

δ = ε·L = 0,007935·2500 mm = 19,84 mm

Respuesta

δ = 19,84 mm

2.Tensión y deformación axial

Respuesta: σ_max = 497,4 MPa

Elementos con carga axial: cada tramo prismático cumple δ = PL/(AE). En tramos en serie los alargamientos se suman.

La misma fuerza en ambos tramos

El extremo libre soporta P, así que cada sección de la barra soporta el mismo esfuerzo axial P. Solo cambian las áreas y los materiales.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 103,9 MPa

σ₂ = 497,4 MPa

Tensión máxima

El tramo más delgado tiene menos área, así que soporta la tensión mayor.

σ_max = 497,4 MPa

Respuesta

σ_max = 497,4 MPa

3.Torsión de ejes

Respuesta: φ = 1,229 °

Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τ_max = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω.

Momento polar de inercia

J = π(50⁴ − 35⁴)/32 = 466269 mm⁴

Ángulo de torsión

T = 400 N·m = 400000 N·mm

L = 2 m = 2000 mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ = TL/(GJ) = 400000·2000/(80000·466269) = 0,02145 rad

φ = 0,02145·180/π = 1,229°

Respuesta

φ = 1,229°

4.Torsión de ejes

Respuesta: d = 48,9 mm

Par

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s

T = P/ω = 20000/104,7 = 191 N·m

Diámetro por resistencia

T = 191 N·m = 190986 N·mm

d_τ = ∛(16·190986/(π·75)) = 23,49 mm

Diámetro por rigidez

θ = 0,75·π/180/1000 = 1,309 × 10⁻⁵ rad/mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

d_φ = (32·190986/(π·26000·1,309 × 10⁻⁵))^1/4 = 48,9 mm

Diámetro determinante

Ambos límites deben cumplirse, así que manda el diámetro mayor.

d = max(23,49, 48,9) = 48,9 mm

Respuesta

d = 48,9 mm

Aquí manda la rigidez.

5.Cortante y momento flector

Respuesta: E (x = 4 m)

Mayor momento flector: M cambia de pendiente allí donde cambia el esfuerzo cortante, así que sus picos están donde el esfuerzo cortante cruza el cero: bajo una carga puntual, dentro de una carga distribuida, o sobre un apoyo de un voladizo. En el empotramiento de una ménsula, el momento es máximo en la pared. Compara el valor de M en esos lugares, positivo o negativo.

Reacciones en los apoyos

Toma momentos respecto a un apoyo y luego usa el equilibrio de fuerzas verticales.

R₁ = 21,67 kN, R₂ = 43,33 kN

Momento flector en cada marca

Suma los momentos de todas las fuerzas a un lado del corte. El momento positivo hace que la viga se comba hacia abajo; el negativo, hacia arriba.

M_A = 0, M_B = 21,67, M_C = 43,33, M_D = 62,5, M_E = 76,67 kN·m, M_F = 40,83, M_G = 0

Respuesta

Marca E: M_E = 76,67 kN·m

6.Cortante y momento flector

Respuesta: F (x = 5 m)

Reacciones en los apoyos

Toma momentos respecto a un apoyo y luego usa el equilibrio de fuerzas verticales.

R₁ = 3,75 kN, R₂ = 71,25 kN

Momento flector en cada marca

Suma los momentos de todas las fuerzas a un lado del corte. El momento positivo hace que la viga se comba hacia abajo; el negativo, hacia arriba.

M_A = 0, M_B = −15, M_C = −26,25, M_D = −37,5, M_E = −48,75, M_F = −60 kN·m, M_G = 0

Respuesta

Marca F: M_F = −60 kN·m

7.Centroide y momento de inercia

Respuesta: I_x = 77,73 × 10⁶ mm⁴

Momento de inercia: para un rectángulo respecto a su propio eje centroidal I = bh³/12, y respecto a su base bh³/3 (teorema de Steiner I = I_c + A·d²). Un hueco se trata restando su I, siempre que ambas partes compartan el mismo eje. El módulo resistente elástico es S = I/c, donde c es la distancia a la fibra extrema.

Rectángulo exterior menos los dos huecos laterales

Los dos huecos juntos miden (B − t_w) de ancho y h_w = H − 2t_f de alto, y comparten el eje x.

h_w = 300 − 2·10 = 280 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (150·300³ − 142·280³)/12

I_x = 7,773 × 10⁷ mm⁴ = 77,73 × 10⁶ mm⁴

Respuesta

I_x = 77,73 × 10⁶ mm⁴

8.Centroide y momento de inercia

Respuesta: σ_superior = 280,8 MPa

Áreas compuestas: divide la sección en rectángulos. El centroide es la media ponderada por áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. El momento de inercia respecto al eje que pasa por el centroide suma el bh³/12 propio de cada parte y su término de Steiner A·d², donde d es la distancia del centroide de la parte al centroide global. La tensión de flexión es σ = M·y/I.

Divide en dos rectángulos

Mide cada y desde el borde inferior.

ala: A_f = 100·30 = 3000 mm², y_f = 120 + 30/2 = 135 mm

alma: A_w = 10·120 = 1200 mm², y_w = 120/2 = 60 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3000·135 + 1200·60)/4200 = 113,6 mm

Teorema de Steiner

ala: 100·30³/12 + 3000·(135 − 113,6)² = 1,603 × 10⁶ mm⁴

alma: 10·120³/12 + 1200·(60 − 113,6)² = 4,884 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1,603 × 10⁶ + 4,884 × 10⁶ = 6,486 × 10⁶ mm⁴

Tensión de flexión

El borde superior está a h − ȳ del eje.

y = 150 − 113,6 = 36,43 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁷·36,43/6,486 × 10⁶ = 280,8 MPa

Respuesta

σ_superior = 280,8 MPa

9.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: θ_s = −7,018 °

Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R.

Ángulo en el círculo

En el círculo de Mohr el punto más alto (+R) está a 90° del punto principal σ₁; en el elemento eso son 45°.

cos 2θ_s = 60/61,85 = 0,9701, sin 2θ_s = −15/61,85 = −0,2425

2θ_s = atan2(−15, 60) = −14,04°

Ángulo en el elemento

θ_s = −7,018°

comprobación: θ_s − θ_p = −7,018 − 37,98 = −45°

Respuesta

θ_s = −7,018°

Los ángulos positivos son en sentido antihorario.

10.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: σ_θ = 67,86 MPa

Ecuación de transformación

σ_θ = 100 + 0·0,766 + −50·0,6428 = 67,86 MPa

Respuesta

σ_θ = 67,86 MPa

11.Flecha de la viga

Respuesta: δ_P = 31,27 mm

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 21000 N, a = 1500 mm, b = 4500 mm, L = 6000 mm

EI = 1,7 × 10¹² N·mm²

Flecha bajo la carga

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 21000·1500²·4500²/(3·1,7 × 10¹²·6000) = 31,27 mm

Respuesta

δ_P = 31,27 mm

12.Flecha de la viga

Respuesta: I_req = 15,69 × 10⁶ mm⁴

Límite de flecha

δ_allow = L/360 = 2500/360 = 6,944 mm

Momento de inercia necesario

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·15·2500⁴/(384·70000·6,944) = 1,569 × 10⁷ mm⁴

I_req = 15,69 × 10⁶ mm⁴

Respuesta

I_req = 15,69 × 10⁶ mm⁴

13.Pandeo de pilares

Respuesta: P_cr = 4,998 kN

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en P_cr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Menor momento de inercia

Un rectángulo pandea respecto a su eje débil, usando la dimensión menor al cubo.

I_min = h·b³/12 = 50·25³/12 = 65104 mm⁴

Longitud de pandeo

KL = 1·3000 = 3000 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·65104/3000² = 4998 N = 4,998 kN

Respuesta

P_cr = 4,998 kN

14.Pandeo de pilares

Respuesta: σ_cr = 11,99 MPa

Menor momento de inercia

Una sección circular tiene el mismo I respecto a cualquier eje.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Radio de giro y esbeltez

A = 490,9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

KL/r = 1500/6,25 = 240

Tensión crítica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/240² = 11,99 MPa

Respuesta

σ_cr = 11,99 MPa

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