Tensión y deformación axial
- Tensión normal
- σ = F/A
- Deformación
- ε = ΔL/L
- Ley de Hooke
- σ = E·ε
- Alargamiento
- ΔL = FL/(EA)
- Deformación térmica
- εT = α·ΔT
Resistencia de materiales: pack de repaso
Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 14 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.
1Fórmulas y métodos
Torsión de ejes
- Tensión cortante
- τ = T·r/J
- Eje macizo
- J = πd⁴/32
- Eje hueco
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- Ángulo de torsión
- φ = TL/(GJ)
- Potencia
- P = T·ω = 2πnT/60
Método
- Halla el momento polar de inercia: J = πd⁴/32 para un eje macizo.
- Tensión tangencial en la superficie: τ = T·r/J, con r el radio exterior.
- Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ) en radianes.
- Si te dan la potencia, halla primero el par con P = T·ω, ω = 2πn/60.
Cortante y momento flector
- Cortante y momento
- V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
- Tensión de flexión
- σ = M·y/I
- Rectángulo
- I = bh³/12
- Módulo resistente
- W = I/ymax
- Viga biapoyada, carga uniforme
- Mmax = wL²/8
Método
- Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
- Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
- Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
- Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.
Centroide y momento de inercia
- Centroide
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- Rectángulo
- I = bh³/12
- Teorema de Steiner
- I = Ic + A·d²
- Sección compuesta
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
Círculo de Mohr y transformación de tensiones
- Centro
- C = (σx + σy)/2
- Radio
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- Tensiones principales
- σ1,2 = C ± R
- Dirección principal
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- Plano inclinado
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
Método
- Calcula el centro del círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
- Calcula el radio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- Las tensiones principales son C ± R y la tensión tangencial máxima en el plano es R.
- Los ángulos en el círculo son el doble que los ángulos en el elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
Flecha de la viga
- Carga puntual en el centro del vano
- δ = PL³/(48EI)
- Carga uniforme, viga biapoyada
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- Voladizo, carga en el extremo
- δ = PL³/(3EI)
- Voladizo, carga uniforme
- δ = wL⁴/(8EI)
- Superposición
- δ = δ1 + δ2
Pandeo de pilares
- Carga crítica de Euler
- Pcr = π²EI/(KL)²
- Factor de longitud de pandeo
- K = 1 articulado–articulado, 0,5 empotrado–empotrado, 0,7 empotrado–articulado, 2 empotrado–libre
- Tensión crítica
- σcr = Pcr/A
- Esbeltez
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2Problemas de práctica
1.Tensión y deformación axialMedia
Halla la deformación axial ε en la barra de acero, en microdeformaciones (µε = 10⁻⁶).
P = 55 kNd = 10 mmL = 2 mE = 200 GPa
ε = µε
2.Tensión y deformación axialDifícil
La barra escalonada está empotrada en la pared y cargada en su extremo libre. Halla la tensión normal máxima σmax en la barra.
P = 85 kNtramo 1: Ø30 mm, 1 m, cobre (E = 117 GPa)tramo 2: Ø20 mm, 1,5 m, acero (E = 200 GPa)
σmax = MPa
3.Torsión de ejesMedia
Un eje macizo de latón está empotrado en la pared y se tuerce con un par T en su extremo libre. Halla el ángulo de torsión φ del extremo libre, en grados.
T = 750 N·md = 40 mmL = 1 mG = 39 GPa
φ = °
4.Torsión de ejesDifícil
Un eje macizo de aluminio de 60 mm de diámetro está empotrado en muros rígidos en sus dos extremos A y B. Se aplica un par de 250 N·m en C, a 1 m de A y a 1,2 m de B. Halla el ángulo de giro φC de la sección C, en grados.
d = 60 mmT0 = 250 N·ma = 1 mb = 1,2 mG = 26 GPa
φC = °
5.Cortante y momento flectorMedia
La viga descansa sobre una articulación en A y un apoyo deslizante en B, y vuela 1,5 m más allá de B hasta el extremo libre C. Soporta una carga puntual P1 entre los apoyos y una carga puntual P2 en C. Halla el momento flector MB en el apoyo B. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.
L = 5,5 mP1 = 80 kN en 2,5 mP2 = 15 kN en 5,5 mapoyos en x = 0 y x = 4 m
MB = kN·m
6.Cortante y momento flectorDifícil
Las marcas A a G dividen la viga en seis partes iguales. ¿En qué marca es mayor el momento flector en valor absoluto, positivo o negativo? Haz clic en ella en el diagrama.
10 kN @ 12 m60 kN @ 4 m
- 1A (x = 0 m)
- 2B (x = 2 m)
- 3C (x = 4 m)
- 4D (x = 6 m)
- 5E (x = 8 m)
- 6F (x = 10 m)
- 7G (x = 12 m)
7.Centroide y momento de inerciaMedia
Una placa de 200 mm × 150 mm tiene un agujero circular de diámetro 50 mm en su línea central vertical, con su centro a 97,5 mm por encima del fondo. Halla el momento de inercia Ix respecto al eje horizontal que pasa por el centroide.
b = 200 mmh = 150 mmd = 50 mmcentro del agujero: y = 97,5 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Centroide y momento de inerciaDifícil
La sección en T se usa como viga con el ala arriba y soporta un momento flector positivo de 20 kN·m. Halla el valor de la tensión de flexión σsuperior en el borde superior.
bf = 160 mmtf = 20 mmtw = 18 mmhw = 100 mmM = 20 kN·m
σsuperior = MPa
9.Círculo de Mohr y transformación de tensionesMedia
Un punto de una pieza cargada tiene σₓ = 50 MPa, σᵧ = 70 MPa y τₓᵧ = −50 MPa (tracción positiva). Halla el ángulo θp desde el eje x hasta la dirección de la tensión principal mayor, entre −90° y 90°.
σx = 50 MPaσy = 70 MPaτxy = −50 MPa
θp = °
10.Círculo de Mohr y transformación de tensionesDifícil
Un punto de una placa delgada está en tensión plana: σₓ = 130 MPa, σᵧ = 30 MPa y τₓᵧ = 30 MPa (σz = 0). Halla la tensión equivalente de von Mises σvM.
σx = 130 MPaσy = 30 MPaτxy = 30 MPa
σvM = MPa
11.Flecha de la vigaMedia
Un voladizo soporta una carga uniformemente repartida w en toda su longitud. Halla la flecha δ en el extremo libre.
w = 15 kN/mL = 2,5 mE = 11 GPa (madera estructural)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.Flecha de la vigaDifícil
Una viga simplemente apoyada soporta una carga puntual P a b = 1 m del apoyo B. Halla la flecha δmid en el centro del vano.
P = 13 kNb = 1 mL = 8 mE = 11 GPa (madera estructural)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δmid = mm
13.Pandeo de pilaresMedia
Un pilar de longitud L de aluminio está empotrado en ambos extremos. Con la fórmula de Euler, halla su carga crítica de pandeo Pcr.
L = 3 mE = 70 GPa (aluminio)b × h = 40 × 60 mm
Pcr = kN
14.Pandeo de pilaresDifícil
Un pilar de longitud L de aluminio está empotrado en la base y libre arriba. Halla su esbeltez y la tensión crítica de pandeo σcr con la fórmula de Euler.
L = 3 mE = 70 GPa (aluminio)d = 60 mm
σcr = MPa
3Disoluciones
1.Tensión y deformación axial
Respuesta: ε = 3501 µε
Ley de Hooke: en el rango elástico σ = E·ε. Junto con σ = P/A y ε = δ/L se obtiene δ = PL/(AE).
Tensión
A = π·10²/4 = 78,54 mm²
σ = P/A = 55·1000/78,54 = 700,3 MPa
Deformación (ley de Hooke)
E for acero = 200 GPa = 200000 MPa.
ε = σ/E = 700,3/200000 = 0,003501 = 3501 µε
Respuesta
ε = 3501 µε
2.Tensión y deformación axial
Respuesta: σmax = 270,6 MPa
Elementos con carga axial: cada tramo prismático cumple δ = PL/(AE). En tramos en serie los alargamientos se suman.
La misma fuerza en ambos tramos
El extremo libre soporta P, así que cada sección de la barra soporta el mismo esfuerzo axial P. Solo cambian las áreas y los materiales.
A1 = π·30²/4 = 706,9 mm², A2 = π·20²/4 = 314,2 mm²
σ1 = 120,3 MPa
σ2 = 270,6 MPa
Tensión máxima
El tramo más delgado tiene menos área, así que soporta la tensión mayor.
σmax = 270,6 MPa
Respuesta
σmax = 270,6 MPa
3.Torsión de ejes
Respuesta: φ = 4,384 °
Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τmax = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(do⁴ − di⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω.
Momento polar de inercia
J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴
Ángulo de torsión
φ = TL/(GJ) = 750·1000·1000/(39000·251327) = 0,07652 rad
φ = 0,07652·180/π = 4,384°
Respuesta
φ = 4,384°
4.Torsión de ejes
Respuesta: φC = 0,2362 °
Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τmax = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(do⁴ − di⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω. Cuando ambos extremos están empotrados, la estática por sí sola solo da TA + TB = T₀; la segunda ecuación es la compatibilidad (igual torsión de ambas partes en la sección cargada).
Equilibrio y compatibilidad
TA + TB = 250
TA·a = TB·b
TA = 250·1,2/2,2 = 136,4 N·m
TB = 250·1/2,2 = 113,6 N·m
Giro de C
Usa el tramo AC: está empotrado en A y transmite TA.
J = π·60⁴/32 = 1,272 × 10⁶ mm⁴
G = 26 GPa = 26000 MPa
φC = TA·a/(GJ) = 136364·1000/(26000·1,272 × 10⁶) = 0,004122 rad = 0,2362°
Respuesta
φC = 0,2362°
5.Cortante y momento flector
Respuesta: MB = −22,5 kN·m
Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte.
Reacciones en los apoyos
Equilibrio de toda la viga. La carga del voladizo también produce momento respecto a A.
ΣMA = 0: RB·4 = 80·2,5 + 15·5,5
RB = 282,5/4 = 70,63 kN
ΣFy = 0: RA = 95 − 70,63 = 24,38 kN
Corta en B y quédate con el voladizo
Sobre el voladizo solo actúa P2, con brazo de palanca a. Flexiona la viga hacia arriba sobre el apoyo (momento negativo).
MB = −P2·a = −15·1,5 = −22,5 kN·m
Respuesta
MB = −22,5 kN·m
6.Cortante y momento flector
Respuesta: C (x = 4 m)
Mayor momento flector: M cambia de pendiente allí donde cambia el esfuerzo cortante, así que sus picos están donde el esfuerzo cortante cruza el cero: bajo una carga puntual, dentro de una carga distribuida, o sobre un apoyo de un voladizo. En el empotramiento de una ménsula, el momento es máximo en la pared. Compara el valor de M en esos lugares, positivo o negativo.
Reacciones en los apoyos
Toma momentos respecto a un apoyo y luego usa el equilibrio de fuerzas verticales.
R1 = 25 kN, R2 = 45 kN
Momento flector en cada marca
Suma los momentos de todas las fuerzas a un lado del corte. El momento positivo hace que la viga se comba hacia abajo; el negativo, hacia arriba.
MA = 0, MB = 50, MC = 100 kN·m, MD = 30, ME = −40, MF = −20, MG = 0
Respuesta
Marca C: MC = 100 kN·m
7.Centroide y momento de inercia
Respuesta: Ix = 54,88 × 10⁶ mm⁴
Secciones con huecos: trata un hueco como un área negativa. El centroide es ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), con A₁, y₁ para la placa completa y A₂, y₂ para el hueco. Para el momento de inercia (segundo momento de área) respecto al eje centroidal, usa el teorema de los ejes paralelos para cada parte y resta el hueco: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), donde d es la distancia del centroide propio de cada parte al eje que pasa por ȳ. Un rectángulo tiene Ic = bh³/12 y un círculo Ic = πd⁴/64.
Centroide
ȳ = (30000·75 − 1963·97,5)/(30000 − 1963) = 73,42 mm
Placa completa respecto a ȳ
200·150³/12 + 30000·1,576² = 56,32 × 10⁶ mm⁴
Agujero respecto a ȳ
π·50⁴/64 + 1963·24,08² = 1,445 × 10⁶ mm⁴
Resta
Ix = 54,88 × 10⁶ mm⁴
Respuesta
Ix = 54,88 × 10⁶ mm⁴
8.Centroide y momento de inercia
Respuesta: σsuperior = 109,8 MPa
Áreas compuestas: divide la sección en rectángulos. El centroide es la media ponderada por áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. El momento de inercia respecto al eje que pasa por el centroide suma el bh³/12 propio de cada parte y su término de Steiner A·d², donde d es la distancia del centroide de la parte al centroide global. La tensión de flexión es σ = M·y/I.
Divide en dos rectángulos
Mide cada y desde el borde inferior.
ala: Af = 160·20 = 3200 mm², yf = 100 + 20/2 = 110 mm
alma: Aw = 18·100 = 1800 mm², yw = 100/2 = 50 mm
Centroide
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (3200·110 + 1800·50)/5000 = 88,4 mm
Teorema de Steiner
ala: 160·20³/12 + 3200·(110 − 88,4)² = 1,6 × 10⁶ mm⁴
alma: 18·100³/12 + 1800·(50 − 88,4)² = 4,154 × 10⁶ mm⁴
Ix = 1,6 × 10⁶ + 4,154 × 10⁶ = 5,754 × 10⁶ mm⁴
Tensión de flexión
El borde superior está a h − ȳ del eje.
y = 120 − 88,4 = 31,6 mm
σ = M·y/I = 2 × 10⁷·31,6/5,754 × 10⁶ = 109,8 MPa
Respuesta
σsuperior = 109,8 MPa
9.Círculo de Mohr y transformación de tensiones
Respuesta: θp = −50,65 °
Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R.
Ángulo en el círculo
En el círculo de Mohr, el punto x está a un ángulo 2θp del eje σ; el cuadrante se deduce de los signos de σₓ − σᵧ y τₓᵧ.
2θp = atan2(2·−50, 50 − 70) = −101,3°
Ángulo en el elemento
θp = −50,65°
Respuesta
θp = −50,65°
Los ángulos positivos son en sentido antihorario.
10.Círculo de Mohr y transformación de tensiones
Respuesta: σvM = 128,8 MPa
Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R. Criterios de plastificación: von Mises predice la plastificación cuando σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) alcanza σY; Tresca, cuando la tensión cortante máxima absoluta alcanza σY/2.
Tensiones principales
C = 80 MPa, R = 58,31 MPa
σ1 = 138,3 MPa, σ2 = 21,69 MPa, σ3 = 0
Von Mises
σvM = √(138,3² − 138,3·21,69 + 21,69²) = 128,8 MPa
Respuesta
σvM = 128,8 MPa
11.Flecha de la viga
Respuesta: δ = 79,27 mm
Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).
Unidades coherentes
Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.
w = 15 N/mm, L = 2500 mm
EI = 9,24 × 10¹¹ N·mm²
Flecha
δ = wL⁴/(8EI) = 15·2500⁴/(8·9,24 × 10¹¹) = 79,27 mm
Respuesta
δ = 79,27 mm
12.Flecha de la viga
Respuesta: δmid = 28,93 mm
Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).
Unidades coherentes
Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.
P = 13000 N, b = 1000 mm, L = 8000 mm
EI = 1,76 × 10¹² N·mm²
Flecha en el centro del vano
δmid = Pb(3L² − 4b²)/(48EI) = 13000·1000·(3·8000² − 4·1000²)/(48·1,76 × 10¹²) = 28,93 mm
Respuesta
δmid = 28,93 mm
13.Pandeo de pilares
Respuesta: Pcr = 98,26 kN
Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en Pcr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.
Menor momento de inercia
Un rectángulo pandea respecto a su eje débil, usando la dimensión menor al cubo.
Imin = h·b³/12 = 60·40³/12 = 320000 mm⁴
Longitud de pandeo
KL = 0,5·3000 = 1500 mm
Carga crítica
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·320000/1500² = 98257 N = 98,26 kN
Respuesta
Pcr = 98,26 kN
14.Pandeo de pilares
Respuesta: σcr = 4,318 MPa
Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en Pcr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.
Menor momento de inercia
Una sección circular tiene el mismo I respecto a cualquier eje.
I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴
Radio de giro y esbeltez
A = 2827 mm²
r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm
KL = 2·3000 = 6000 mm
KL/r = 6000/15 = 400
Tensión crítica
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/400² = 4,318 MPa
Respuesta
σcr = 4,318 MPa
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