Resistencia de materiales: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 14 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Tensión y deformación axial

Tensión normal: σ = F/A
Deformación: ε = ΔL/L
Ley de Hooke: σ = E·ε
Alargamiento: ΔL = FL/(EA)
Deformación térmica: ε_T = α·ΔT

Torsión de ejes

Tensión cortante: τ = T·r/J
Eje macizo: J = πd⁴/32
Eje hueco: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ)
Potencia: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Halla el momento polar de inercia: J = πd⁴/32 para un eje macizo.
Tensión tangencial en la superficie: τ = T·r/J, con r el radio exterior.
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ) en radianes.
Si te dan la potencia, halla primero el par con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cortante y momento flector

Cortante y momento: V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
Tensión de flexión: σ = M·y/I
Rectángulo: I = bh³/12
Módulo resistente: W = I/y_max
Viga biapoyada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.

Centroide y momento de inercia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectángulo: I = bh³/12
Teorema de Steiner: I = I_c + A·d²
Sección compuesta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Radio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensiones principales: σ_1,2 = C ± R
Dirección principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcula el centro del círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcula el radio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Las tensiones principales son C ± R y la tensión tangencial máxima en el plano es R.
Los ángulos en el círculo son el doble que los ángulos en el elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flecha de la viga

Carga puntual en el centro del vano: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoyada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Voladizo, carga en el extremo: δ = PL³/(3EI)
Voladizo, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposición: δ = δ₁ + δ₂

Pandeo de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Factor de longitud de pandeo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 empotrado–empotrado, 0,7 empotrado–articulado, 2 empotrado–libre
Tensión crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Problemas de práctica

1.Tensión y deformación axialMedia

Halla el alargamiento δ de la barra de acero bajo la carga axial.

P = 85 kNd = 10 mmL = 0,5 mE = 200 GPa

δ = mm

2.Tensión y deformación axialDifícil

La barra escalonada está empotrada en la pared y cargada en su extremo libre. Halla el alargamiento total δ.

P = 70 kNtramo 1: Ø25 mm, 2 m, acero (E = 200 GPa)tramo 2: Ø12 mm, 1 m, cobre (E = 117 GPa)

δ = mm

3.Torsión de ejesMedia

Un eje macizo de acero está empotrado en la pared y se tuerce con un par T en su extremo libre. Halla el ángulo de torsión φ del extremo libre, en grados.

T = 200 N·md = 40 mmL = 2 mG = 80 GPa

φ = °

4.Torsión de ejesDifícil

Un eje hueco debe transmitir 100 kW a 750 rpm. Su diámetro interior debe ser 0,6 veces su diámetro exterior, y la tensión cortante no debe superar 40 MPa. Halla el diámetro exterior mínimo d_o.

P = 100 kWN = 750 rpmd_i/d_o = 0,6τ_allow = 40 MPa

d_o = mm

5.Cortante y momento flectorMedia

Halla el momento flector M_x en la sección x = 2 m desde el apoyo A. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.

L = 6 mw = 4 kN/m de 0 a 6 mx = 2 m

M_x = kN·m

6.Cortante y momento flectorDifícil

Halla el momento flector M_x en la sección x = 1 m desde el apoyo A. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.

L = 4 mP = 30 kN en 1 mw = 4 kN/m de 0 a 4 mx = 1 m

M_x = kN·m

7.Centroide y momento de inerciaMedia

Una placa de 100 mm × 240 mm tiene un agujero circular de diámetro 40 mm en su línea central vertical, con su centro a 168 mm por encima del fondo. Halla el momento de inercia I_x respecto al eje horizontal que pasa por el centroide.

b = 100 mmh = 240 mmd = 40 mmcentro del agujero: y = 168 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centroide y momento de inerciaDifícil

Una sección en I simétrica tiene alas de 170 mm de ancho y 22 mm de espesor, un canto total de 500 mm y un alma de 8 mm de espesor. Soporta un momento flector de 120 kN·m respecto al eje x. Halla el valor de la tensión de flexión máxima σ_max en la sección.

B = 170 mmH = 500 mmt_f = 22 mmt_w = 8 mmM = 120 kN·m

σ_max = MPa

9.Círculo de Mohr y transformación de tensionesMedia

En un punto σₓ = −50 MPa, σᵧ = 40 MPa y τₓᵧ = 10 MPa (tracción positiva). El elemento se gira 20° en sentido antihorario. Halla la tensión normal σ_y′ en las caras del elemento girado perpendiculares al eje girado y′.

σ_x = −50 MPaσ_y = 40 MPaτ_xy = 10 MPaθ = 20°

σ_y′ = MPa

10.Círculo de Mohr y transformación de tensionesDifícil

Un punto de una placa delgada está en tensión plana: σₓ = 140 MPa, σᵧ = 60 MPa y τₓᵧ = 60 MPa (σ_z = 0). El material tiene un límite elástico de 275 MPa. Halla el coeficiente de seguridad n frente a la plastificación según el criterio de Tresca (tensión cortante máxima).

σ_x = 140 MPaσ_y = 60 MPaτ_xy = 60 MPaσ_Y = 275 MPa

n =

11.Flecha de la vigaMedia

Una viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida w en toda su luz. Halla la flecha máxima δ_max, en el centro del vano.

w = 20 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (madera estructural)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Flecha de la vigaDifícil

Una viga de madera simplemente apoyada, de sección rectangular de 100 mm de ancho, soporta una carga uniformemente repartida w en toda su luz. Su flecha en el centro no puede superar luz/360. Halla el canto mínimo h_req de la sección.

w = 4 kN/mL = 3,5 mE = 11 GPa (madera estructural)b = 100 mm

h_req = mm

13.Pandeo de pilaresMedia

Un pilar de longitud L de acero está empotrado en la base y libre arriba. Con la fórmula de Euler, halla su carga crítica de pandeo P_cr.

L = 2 mE = 200 GPa (acero)b × h = 40 × 50 mm

P_cr = kN

14.Pandeo de pilaresDifícil

Un pilar macizo circular de longitud L de aluminio está articulado en ambos extremos. Debe soportar 70 kN con un coeficiente de seguridad de 2 frente al pandeo. Halla el diámetro mínimo d.

P = 70 kNn = 2L = 2,5 mE = 70 GPa (aluminio)

d = mm

3Disoluciones

1.Tensión y deformación axial

Respuesta: δ = 2,706 mm

Ley de Hooke: en el rango elástico σ = E·ε. Junto con σ = P/A y ε = δ/L se obtiene δ = PL/(AE).

Tensión

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 85·1000/78,54 = 1082 MPa

Deformación (ley de Hooke)

E for acero = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 1082/200000 = 0,005411 = 5411 µε

Alargamiento

δ = ε·L = 0,005411·500 mm = 2,706 mm

Respuesta

δ = 2,706 mm

2.Tensión y deformación axial

Respuesta: δ = 6,716 mm

Elementos con carga axial: cada tramo prismático cumple δ = PL/(AE). En tramos en serie los alargamientos se suman.

La misma fuerza en ambos tramos

El extremo libre soporta P, así que cada sección de la barra soporta el mismo esfuerzo axial P. Solo cambian las áreas y los materiales.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 142,6 MPa

σ₂ = 618,9 MPa

Suma los alargamientos de los tramos

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 142,6·2000/200000 = 1,426 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 618,9·1000/117000 = 5,29 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 6,716 mm

Respuesta

δ = 6,716 mm

3.Torsión de ejes

Respuesta: φ = 1,14 °

Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τ_max = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω.

Momento polar de inercia

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Ángulo de torsión

φ = TL/(GJ) = 200·1000·2000/(80000·251327) = 0,01989 rad

φ = 0,01989·180/π = 1,14°

Respuesta

φ = 1,14°

4.Torsión de ejes

Respuesta: d_o = 57,11 mm

Par

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 100000/78,54 = 1273 N·m

Diámetro exterior a partir de la tensión admisible

T = 1273 N·m = 1,273 × 10⁶ N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,6⁴ = 0,8704

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·1,273 × 10⁶/(π·40·0,8704)) = 57,11 mm

d_i = 0,6·57,11 = 34,27 mm

Respuesta

d_o = 57,11 mm

Un eje macizo necesitaría d = 54,53 mm; el hueco es algo mayor pero mucho más ligero.

5.Cortante y momento flector

Respuesta: M_x = 16 kN·m

Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte.

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la viga.

Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 4·6 = 24 kN, aplicada en x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 4·6·3

R_B = 72/6 = 12 kN

ΣF_y = 0: R_A = 24 − 12 = 12 kN

Corta en x = 2 m y quédate con la parte izquierda

Solo aparecen las fuerzas a la izquierda del corte. Un tramo de carga repartida actúa como una fuerza en el centro de ese tramo.

M = R_A·x − (cada carga a la izquierda del corte × su distancia al corte)

M_x = 12·2 − 4·2·1 = 16 kN·m

Respuesta

M_x = 16 kN·m

6.Cortante y momento flector

Respuesta: M_x = 28,5 kN·m

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la viga.

Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 4·4 = 16 kN, aplicada en x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 30·1 + 4·4·2

R_B = 62/4 = 15,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 46 − 15,5 = 30,5 kN

Corta en x = 1 m y quédate con la parte izquierda

Solo aparecen las fuerzas a la izquierda del corte. Un tramo de carga repartida actúa como una fuerza en el centro de ese tramo.

M = R_A·x − (cada carga a la izquierda del corte × su distancia al corte)

M_x = 30,5·1 − 4·1·0,5 = 28,5 kN·m

Respuesta

M_x = 28,5 kN·m

7.Centroide y momento de inercia

Respuesta: I_x = 112 × 10⁶ mm⁴

Secciones con huecos: trata un hueco como un área negativa. El centroide es ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), con A₁, y₁ para la placa completa y A₂, y₂ para el hueco. Para el momento de inercia (segundo momento de área) respecto al eje centroidal, usa el teorema de los ejes paralelos para cada parte y resta el hueco: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), donde d es la distancia del centroide propio de cada parte al eje que pasa por ȳ. Un rectángulo tiene I_c = bh³/12 y un círculo I_c = πd⁴/64.

Centroide

ȳ = (24000·120 − 1257·168)/(24000 − 1257) = 117,3 mm

Placa completa respecto a ȳ

100·240³/12 + 24000·2,652² = 115,4 × 10⁶ mm⁴

Agujero respecto a ȳ

π·40⁴/64 + 1257·50,65² = 3,35 × 10⁶ mm⁴

Resta

I_x = 112 × 10⁶ mm⁴

Respuesta

I_x = 112 × 10⁶ mm⁴

8.Centroide y momento de inercia

Respuesta: σ_max = 61,13 MPa

Áreas compuestas: divide la sección en rectángulos. El centroide es la media ponderada por áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. El momento de inercia respecto al eje que pasa por el centroide suma el bh³/12 propio de cada parte y su término de Steiner A·d², donde d es la distancia del centroide de la parte al centroide global. La tensión de flexión es σ = M·y/I.

Rectángulo exterior menos los dos huecos laterales

Los dos huecos juntos miden (B − t_w) de ancho y h_w = H − 2t_f de alto, y comparten el eje x.

h_w = 500 − 2·22 = 456 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (170·500³ − 162·456³)/12

I_x = 4,908 × 10⁸ mm⁴

Tensión de flexión

y = 250 mm

σ = M·y/I = 1,2 × 10⁸·250/4,908 × 10⁸ = 61,13 MPa

Respuesta

σ_max = 61,13 MPa

9.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: σ_y′ = 23,04 MPa

Ecuación de transformación para la cara y′

σ_y′ = −5 − (−45)·0,766 − 10·0,6428 = 23,04 MPa

Comprobación

La suma de las tensiones normales no cambia con el giro.

σ_x′ = −33,04 MPa, σ_x′ + σ_y′ = −10 = σ_x + σ_y

Respuesta

σ_y′ = 23,04 MPa

10.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: n = 1,598

Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R. Criterios de plastificación: von Mises predice la plastificación cuando σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) alcanza σ_Y; Tresca, cuando la tensión cortante máxima absoluta alcanza σ_Y/2.

Tensiones principales

C = 100 MPa, R = 72,11 MPa

σ₁ = 172,1 MPa, σ₂ = 27,89 MPa, σ₃ = 0

Tresca

σ_max − σ_min = 172,1 MPa

n = 275/172,1 = 1,598

Respuesta

n = 1,598

n > 1 significa que el punto no plastifica; Tresca es algo más conservador que von Mises.

11.Flecha de la viga

Respuesta: δ_max = 15,98 mm

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

w = 20 N/mm, L = 3000 mm

EI = 1,32 × 10¹² N·mm²

Flecha

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·3000⁴/(384·1,32 × 10¹²) = 15,98 mm

Respuesta

δ_max = 15,98 mm

12.Flecha de la viga

Respuesta: h_req = 206,2 mm

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 3500 mm, E = 11000 N/mm²

Límite de flecha

δ_allow = L/360 = 3500/360 = 9,722 mm

Momento de inercia necesario

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·4·3500⁴/(384·11000·9,722) = 7,308 × 10⁷ mm⁴

Canto necesario

bh³/12 = I_req → h = (12·7,308 × 10⁷/100)^1/3 = 206,2 mm

Respuesta

h_req = 206,2 mm

En la práctica, elige el canto normalizado inmediatamente superior a este valor.

13.Pandeo de pilares

Respuesta: P_cr = 32,9 kN

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en P_cr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Menor momento de inercia

Un rectángulo pandea respecto a su eje débil, usando la dimensión menor al cubo.

I_min = h·b³/12 = 50·40³/12 = 266667 mm⁴

Longitud de pandeo

KL = 2·2000 = 4000 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·266667/4000² = 32899 N = 32,9 kN

Respuesta

P_cr = 32,9 kN

14.Pandeo de pilares

Respuesta: d = 71,27 mm

Carga crítica necesaria

P_cr = n·P = 2·70000 = 140000 N

KL = 1·2500 = 2500 mm

Despeja el diámetro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·140000·2500²/(π³·70000))^(1/4) = 71,27 mm

Respuesta

d = 71,27 mm

Comprobación: la esbeltez KL/r es 140,3, así que el pilar es esbelto y Euler es válido.

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