Resistencia de materiales: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 14 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Tensión y deformación axial

Tensión normal
σ = F/A
Deformación
ε = ΔL/L
Ley de Hooke
σ = E·ε
Alargamiento
ΔL = FL/(EA)
Deformación térmica
εT = α·ΔT

Torsión de ejes

Tensión cortante
τ = T·r/J
Eje macizo
J = πd⁴/32
Eje hueco
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ángulo de torsión
φ = TL/(GJ)
Potencia
P = T·ω = 2πnT/60

Método

  1. Halla el momento polar de inercia: J = πd⁴/32 para un eje macizo.
  2. Tensión tangencial en la superficie: τ = T·r/J, con r el radio exterior.
  3. Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ) en radianes.
  4. Si te dan la potencia, halla primero el par con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cortante y momento flector

Cortante y momento
V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
Tensión de flexión
σ = M·y/I
Rectángulo
I = bh³/12
Módulo resistente
W = I/ymax
Viga biapoyada, carga uniforme
Mmax = wL²/8

Método

  1. Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
  2. Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
  3. Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
  4. Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.

Centroide y momento de inercia

Centroide
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Rectángulo
I = bh³/12
Teorema de Steiner
I = Ic + A·d²
Sección compuesta
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Centro
C = (σx + σy)/2
Radio
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tensiones principales
σ1,2 = C ± R
Dirección principal
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Plano inclinado
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Método

  1. Calcula el centro del círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Calcula el radio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Las tensiones principales son C ± R y la tensión tangencial máxima en el plano es R.
  4. Los ángulos en el círculo son el doble que los ángulos en el elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flecha de la viga

Carga puntual en el centro del vano
δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoyada
δ = 5wL⁴/(384EI)
Voladizo, carga en el extremo
δ = PL³/(3EI)
Voladizo, carga uniforme
δ = wL⁴/(8EI)
Superposición
δ = δ1 + δ2

Pandeo de pilares

Carga crítica de Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Factor de longitud de pandeo
K = 1 articulado–articulado, 0,5 empotrado–empotrado, 0,7 empotrado–articulado, 2 empotrado–libre
Tensión crítica
σcr = Pcr/A
Esbeltez
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Problemas de práctica

1.Tensión y deformación axialMedia
Ø 20 mmAcero0,5 mP = 40 kN

Halla la deformación axial ε en la barra de acero, en microdeformaciones (µε = 10⁻⁶).

P = 40 kNd = 20 mmL = 0,5 mE = 200 GPa
ε = µε
2.Tensión y deformación axialDifícil
50 kN12600 mm300 mmØ25Ø50σ2​ = ?

Un tramo de acero (diámetro 25 mm, longitud 600 mm, E = 200 GPa) y un tramo de aluminio (diámetro 50 mm, longitud 300 mm, E = 70 GPa) se unen extremo con extremo y se fijan entre dos muros rígidos. Una carga axial de 50 kN actúa en la unión, hacia el tramo 2. Halla el valor de la tensión σ2 en el tramo 2.

tramo 1: acero, Ø25 mm, 600 mm, E = 200 GPatramo 2: aluminio, Ø50 mm, 300 mm, E = 70 GPaP = 50 kN
σ2 = MPa
3.Torsión de ejesMedia
do​ = ?T = 750 N·m

Un eje hueco debe transmitir un par de 750 N·m. Su diámetro interior debe ser 0,8 veces su diámetro exterior, y la tensión cortante no debe superar 60 MPa. Halla el diámetro exterior mínimo do.

T = 750 N·mdi/do = 0,8τallow = 60 MPa
do = mm
4.Torsión de ejesDifícil
d = 40 mmT0​ = 100 N·mACBa = 2,5 mb = 0,5 m

Un eje macizo de acero de 40 mm de diámetro está empotrado en muros rígidos en sus dos extremos A y B. Se aplica un par de 100 N·m en C, a 2,5 m de A y a 0,5 m de B. Halla el ángulo de giro φC de la sección C, en grados.

d = 40 mmT0 = 100 N·ma = 2,5 mb = 0,5 mG = 80 GPa
φC = °
5.Cortante y momento flectorMedia
w = 4 kN/mABsección3,5 m0,5 m

Halla el momento flector Mx en la sección x = 3,5 m desde el apoyo A. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.

L = 4 mw = 4 kN/m de 0 a 4 mx = 3,5 m
Mx = kN·m
6.Cortante y momento flectorDifícil
w = 2 kN/mP = 60 kNABsección3,5 m1 m1,5 m

Halla el momento flector Mx en la sección x = 4,5 m desde el apoyo A. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.

L = 6 mP = 60 kN en 3,5 mw = 2 kN/m de 0 a 6 mx = 4,5 m
Mx = kN·m
7.Centroide y momento de inerciaMedia
1002024020xcotas en mm

Halla el momento de inercia Ix de la sección en T respecto al eje horizontal x que pasa por su centroide.

bf = 100 mmtf = 20 mmtw = 20 mmhw = 240 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Centroide y momento de inerciaDifícil
10029022360208xcotas en mm

Una sección en I soldada tiene un ala superior de 100 × 22 mm, un alma de 360 mm de alto y 8 mm de espesor, y un ala inferior de 290 × 20 mm (ancho × espesor). Halla su momento de inercia Ix respecto al eje horizontal x que pasa por su centroide.

ala superior: 100 × 22 mmalma: 8 × 360 mmala inferior: 290 × 20 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.Círculo de Mohr y transformación de tensionesMedia
σx​ = −10σy​ = 10MPaτxy​ = ?

En un punto σₓ = −10 MPa y σᵧ = 10 MPa. ¿Hasta qué valor τxy (en valor absoluto) puede llegar la tensión cortante antes de que la tensión principal mayor alcance 35 MPa?

σx = −10 MPaσy = 10 MPaσ1 = 35 MPa
τxy = MPa
10.Círculo de Mohr y transformación de tensionesDifícil
35°D = 1200 mm, t = 5 mm, p = 1 MPap

Un depósito cilíndrico de pared delgada, con un diámetro interior de 1200 mm y un espesor de pared de 5 mm, contiene gas a una presión manométrica de 1 MPa. Está fabricado con chapa soldada a lo largo de una costura helicoidal a 35° del eje del cilindro. Halla el valor de la tensión cortante |τn| que actúa a lo largo de la costura de soldadura.

D = 1200 mmt = 5 mmp = 1 MPaα = 35°
|τn| = MPa
11.Flecha de la vigaMedia
P = 22 kNABδ3 m1 m

Una viga simplemente apoyada soporta una carga puntual P a a = 3 m del apoyo A. Halla la flecha δP bajo la carga.

P = 22 kNa = 3 mL = 4 mE = 70 GPa (aluminio)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
12.Flecha de la vigaDifícil
w = 5 kN/mAB8 m

Una viga está empotrada en A y simplemente apoyada en B (viga empotrada y apoyada). Soporta una carga uniformemente repartida w en toda su longitud. EI es constante. Halla la reacción RB en el apoyo B.

L = 8 mw = 5 kN/m
RB = kN
13.Pandeo de pilaresMedia
PL = 2,5 md = 40 mmsección

Un pilar de longitud L de aluminio está empotrado en la base y libre arriba. Con la fórmula de Euler, halla su carga crítica de pandeo Pcr.

L = 2,5 mE = 70 GPa (aluminio)d = 40 mm
Pcr = kN
14.Pandeo de pilaresDifícil
P = 80 kNL = 2 md = ?sección

Un pilar macizo circular de longitud L de acero está articulado en ambos extremos. Debe soportar 80 kN con un coeficiente de seguridad de 2,5 frente al pandeo. Halla el diámetro mínimo d.

P = 80 kNn = 2,5L = 2 mE = 200 GPa (acero)
d = mm

3Disoluciones

1.Tensión y deformación axial

Respuesta: ε = 636,6 µε

Ley de Hooke: en el rango elástico σ = E·ε. Junto con σ = P/A y ε = δ/L se obtiene δ = PL/(AE).

Tensión

A = π·20²/4 = 314,2 mm²
σ = P/A = 40·1000/314,2 = 127,3 MPa

Deformación (ley de Hooke)

E for acero = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 127,3/200000 = 0,0006366 = 636,6 µε

Respuesta

ε = 636,6 µε
2.Tensión y deformación axial

Respuesta: σ2 = 18,76 MPa

Dos materiales: en serie (uno tras otro) cada tramo soporta la misma fuerza y los alargamientos se suman: δ = P·Σ L/(E·A). En paralelo (lado a lado entre placas rígidas) ambas partes se acortan lo mismo, así que sus deformaciones unitarias son iguales: la parte más rígida toma la mayor porción, Pi = P·EiAi/ΣEA, y σi = Ei·ε. Una barra sujeta entre dos muros rígidos con una carga en la unión es estáticamente indeterminada: los dos tramos se reparten la carga en proporción a su rigidez k = EA/L.

Rigideces

k₁ = 200000·490,9/600 = 163625 N/mm
k₂ = 70000·1963/300 = 458149 N/mm

Parte del tramo 2

F2 = 50000·458149/621774 = 36842 N

Tensión

σ2 = 36842/1963 = 18,76 MPa (compresión)

Respuesta

σ2 = 18,76 MPa
3.Torsión de ejes

Respuesta: do = 47,6 mm

Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τmax = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(do⁴ − di⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω.

Diámetro exterior a partir de la tensión admisible

T = 750 N·m = 750000 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0,8⁴ = 0,5904
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·750000/(π·60·0,5904)) = 47,6 mm
di = 0,8·47,6 = 38,08 mm

Respuesta

do = 47,6 mm

Un eje macizo necesitaría d = 39,93 mm; el hueco es algo mayor pero mucho más ligero.

4.Torsión de ejes

Respuesta: φC = 0,1187 °

Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τmax = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(do⁴ − di⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω. Cuando ambos extremos están empotrados, la estática por sí sola solo da TA + TB = T₀; la segunda ecuación es la compatibilidad (igual torsión de ambas partes en la sección cargada).

Equilibrio y compatibilidad

TA + TB = 100
TA·a = TB·b
TA = 100·0,5/3 = 16,67 N·m
TB = 100·2,5/3 = 83,33 N·m

Giro de C

Usa el tramo AC: está empotrado en A y transmite TA.

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴
G = 80 GPa = 80000 MPa
φC = TA·a/(GJ) = 16667·2500/(80000·251327) = 0,002072 rad = 0,1187°

Respuesta

φC = 0,1187°
5.Cortante y momento flector

Respuesta: Mx = 3,5 kN·m

Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte.

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la viga.

Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 4·4 = 16 kN, aplicada en x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 4·4·2
RB = 32/4 = 8 kN
ΣFy = 0: RA = 16 − 8 = 8 kN
w = 4 kN/mABRA​ = 8RB​ = 8sección3,5 m0,5 m

Corta en x = 3,5 m y quédate con la parte izquierda

Solo aparecen las fuerzas a la izquierda del corte. Un tramo de carga repartida actúa como una fuerza en el centro de ese tramo.

M = RA·x − (cada carga a la izquierda del corte × su distancia al corte)
Mx = 8·3,5 − 4·3,5·1,75 = 3,5 kN·m

Respuesta

Mx = 3,5 kN·m
6.Cortante y momento flector

Respuesta: Mx = 59,25 kN·m

Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte.

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la viga.

Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 2·6 = 12 kN, aplicada en x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 60·3,5 + 2·6·3
RB = 246/6 = 41 kN
ΣFy = 0: RA = 72 − 41 = 31 kN
w = 2 kN/mP = 60 kNABRA​ = 31RB​ = 41sección3,5 m1 m1,5 m

Corta en x = 4,5 m y quédate con la parte izquierda

Solo aparecen las fuerzas a la izquierda del corte. Un tramo de carga repartida actúa como una fuerza en el centro de ese tramo.

M = RA·x − (cada carga a la izquierda del corte × su distancia al corte)
Mx = 31·4,5 − 60·(4,5 − 3,5) − 2·4,5·2,25 = 59,25 kN·m

Respuesta

Mx = 59,25 kN·m
7.Centroide y momento de inercia

Respuesta: Ix = 46,97 × 10⁶ mm⁴

Áreas compuestas: divide la sección en rectángulos. El centroide es la media ponderada por áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. El momento de inercia respecto al eje que pasa por el centroide suma el bh³/12 propio de cada parte y su término de Steiner A·d², donde d es la distancia del centroide de la parte al centroide global. La tensión de flexión es σ = M·y/I.

Divide en dos rectángulos

Mide cada y desde el borde inferior.

ala: Af = 100·20 = 2000 mm², yf = 240 + 20/2 = 250 mm
alma: Aw = 20·240 = 4800 mm², yw = 240/2 = 120 mm

Centroide

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (2000·250 + 4800·120)/6800 = 158,2 mm

Teorema de Steiner

ala: 100·20³/12 + 2000·(250 − 158,2)² = 1,691 × 10⁷ mm⁴
alma: 20·240³/12 + 4800·(120 − 158,2)² = 3,006 × 10⁷ mm⁴
Ix = 1,691 × 10⁷ + 3,006 × 10⁷ = 4,697 × 10⁷ mm⁴ = 46,97 × 10⁶ mm⁴

Respuesta

Ix = 46,97 × 10⁶ mm⁴
8.Centroide y momento de inercia

Respuesta: Ix = 278,3 × 10⁶ mm⁴

Áreas compuestas: divide la sección en rectángulos. El centroide es la media ponderada por áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. El momento de inercia respecto al eje que pasa por el centroide suma el bh³/12 propio de cada parte y su término de Steiner A·d², donde d es la distancia del centroide de la parte al centroide global. La tensión de flexión es σ = M·y/I.

Divide en tres rectángulos

Mide cada y desde el borde inferior.

ala superior: A = 2200 mm², y = 391 mm
alma: A = 2880 mm², y = 200 mm
ala inferior: A = 5800 mm², y = 10 mm

Centroide

ȳ = (2200·391 + 2880·200 + 5800·10)/10880 = 137,3 mm

Teorema de Steiner

ala superior: 100·22³/12 + 2200·253,7² = 1,417 × 10⁸ mm⁴
alma: 8·360³/12 + 2880·62,67² = 4,241 × 10⁷ mm⁴
ala inferior: 290·20³/12 + 5800·127,3² = 9,424 × 10⁷ mm⁴
Ix = 1,417 × 10⁸ + 4,241 × 10⁷ + 9,424 × 10⁷
Ix = 2,783 × 10⁸ mm⁴ = 278,3 × 10⁶ mm⁴

Respuesta

Ix = 278,3 × 10⁶ mm⁴
9.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: τxy = 33,54 MPa

Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R.

Radio necesario

C = (−10 + 10)/2 = 0 MPa
R = σ1 − C = 35 − 0 = 35 MPa
στxyCσ1​σ2​

Tensión cortante

τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(35² − 10²) = 33,54 MPa

Respuesta

τxy = 33,54 MPa
10.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: |τn| = 28,19 MPa

Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R. Cilindro de pared delgada: tensión circunferencial σh = pr/t y tensión axial σa = pr/(2t); son las tensiones principales en la pared.

Tensiones en la pared

r = 1200/2 = 600 mm
σh = pr/t = 1·600/5 = 120 MPa
σa = pr/(2t) = 60 MPa

Transforma a la costura

Toma x a lo largo del eje (σa) e y en dirección circunferencial (σh). La normal de la costura forma 90° − α con el eje.

|τn| = (120 − 60)·sin 35°·cos 35° = 28,19 MPa

Respuesta

|τn| = 28,19 MPa
11.Flecha de la viga

Respuesta: δP = 4,135 mm

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 22000 N, a = 3000 mm, b = 1000 mm, L = 4000 mm
EI = 3,99 × 10¹² N·mm²

Flecha bajo la carga

δP = Pa²b²/(3EIL) = 22000·3000²·1000²/(3·3,99 × 10¹²·4000) = 4,135 mm

Respuesta

δP = 4,135 mm
12.Flecha de la viga

Respuesta: RB = 15 kN

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición). En una viga hiperestática, quita un apoyo redundante e impón que la flecha ahí sea nula (compatibilidad).

Quita el apoyo adicional

Sin el apoyo adicional la viga es un voladizo. Su extremo libre descendería bajo la carga.

δload = wL⁴/(8EI)

Compatibilidad en el apoyo B

La reacción del apoyo RB por sí sola levanta el extremo libre RBL³/(3EI). El apoyo mantiene B con flecha nula, así que ambas deben anularse. EI se simplifica.

RB·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → RB = 3wL/8 = 3·5·8/8 = 15 kN

Respuesta

RB = 15 kN
13.Pandeo de pilares

Respuesta: Pcr = 3,473 kN

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en Pcr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Menor momento de inercia

Una sección circular tiene el mismo I respecto a cualquier eje.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Longitud de pandeo

KL = 2·2500 = 5000 mm

Carga crítica

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/5000² = 3473 N = 3,473 kN

Respuesta

Pcr = 3,473 kN
14.Pandeo de pilares

Respuesta: d = 53,6 mm

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en Pcr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Carga crítica necesaria

Pcr = n·P = 2,5·80000 = 200000 N
KL = 1·2000 = 2000 mm

Despeja el diámetro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·200000·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 53,6 mm

Respuesta

d = 53,6 mm

Comprobación: la esbeltez KL/r es 149,2, así que el pilar es esbelto y Euler es válido.

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