Resistencia de materiales: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 14 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Tensión y deformación axial

Tensión normal: σ = F/A
Deformación: ε = ΔL/L
Ley de Hooke: σ = E·ε
Alargamiento: ΔL = FL/(EA)
Deformación térmica: ε_T = α·ΔT

Torsión de ejes

Tensión cortante: τ = T·r/J
Eje macizo: J = πd⁴/32
Eje hueco: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ)
Potencia: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Halla el momento polar de inercia: J = πd⁴/32 para un eje macizo.
Tensión tangencial en la superficie: τ = T·r/J, con r el radio exterior.
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ) en radianes.
Si te dan la potencia, halla primero el par con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cortante y momento flector

Cortante y momento: V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
Tensión de flexión: σ = M·y/I
Rectángulo: I = bh³/12
Módulo resistente: W = I/y_max
Viga biapoyada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.

Centroide y momento de inercia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectángulo: I = bh³/12
Teorema de Steiner: I = I_c + A·d²
Sección compuesta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Radio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensiones principales: σ_1,2 = C ± R
Dirección principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcula el centro del círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcula el radio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Las tensiones principales son C ± R y la tensión tangencial máxima en el plano es R.
Los ángulos en el círculo son el doble que los ángulos en el elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flecha de la viga

Carga puntual en el centro del vano: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoyada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Voladizo, carga en el extremo: δ = PL³/(3EI)
Voladizo, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposición: δ = δ₁ + δ₂

Pandeo de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Factor de longitud de pandeo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 empotrado–empotrado, 0,7 empotrado–articulado, 2 empotrado–libre
Tensión crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Problemas de práctica

1.Tensión y deformación axialMedia

Una varilla de acero (diámetro 30 mm, E = 200 GPa) está dentro de un tubo de bronce (diámetro exterior 120 mm, diámetro interior 70 mm, E = 110 GPa). Ambos miden 800 mm de largo y se comprimen juntos entre placas rígidas con 150 kN. Halla el acortamiento δ.

P = 150 kNbarra: Ø30 mm, E = 200 GPatubo: Ø120/Ø70 mm, E = 110 GPaL = 800 mm

δ = mm

2.Tensión y deformación axialDifícil

Una varilla de acero (diámetro 20 mm, E = 200 GPa, tensión admisible 250 MPa) está dentro de un tubo de aluminio (diámetro exterior 120 mm, diámetro interior 70 mm, E = 70 GPa, tensión admisible 60 MPa). Se comprimen juntos entre placas rígidas. Halla la mayor carga P_max.

barra: Ø20 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 250 MPatubo: Ø120/Ø70 mm, E = 70 GPa, σ_allow = 60 MPa

P_max = kN

3.Torsión de ejesMedia

Un eje macizo escalonado de aluminio está empotrado en A. El tramo AB tiene un diámetro de 50 mm y una longitud de 1,5 m; el tramo BC tiene un diámetro de 40 mm y una longitud de 3 m. En el extremo libre C actúa un par de 400 N·m. Halla el ángulo de torsión φ_C del extremo C, en grados.

T = 400 N·md₁ = 50 mm, L₁ = 1,5 md₂ = 40 mm, L₂ = 3 mG = 26 GPa

φ_C = °

4.Torsión de ejesDifícil

Un eje macizo debe transmitir 30 kW a 1000 rpm sin que la tensión cortante supere 50 MPa. Halla el diámetro mínimo d que sirve.

P = 30 kWN = 1000 rpmτ_allow = 50 MPa

d = mm

5.Cortante y momento flectorMedia

El voladizo está empotrado en A. Soporta una carga uniformemente repartida w en toda su longitud y una carga puntual P a 2 m de A. Halla el momento flector M_x en la sección x = 1,5 m desde el empotramiento A. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.

L = 2 mP = 15 kN en 2 mw = 6 kN/m de 0 a 2 mx = 1,5 m

M_x = kN·m

6.Cortante y momento flectorDifícil

Halla el momento flector M_x en la sección x = 2,5 m desde el apoyo A. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.

L = 4 mP = 20 kN en 2,5 mw = 2 kN/m de 0 a 4 mx = 2,5 m

M_x = kN·m

7.Centroide y momento de inerciaMedia

Una sección en I simétrica tiene alas de 210 mm de ancho y 22 mm de espesor, un canto total de 420 mm y un alma de 10 mm de espesor. Halla su módulo resistente elástico S_x para flexión respecto al eje centroidal horizontal x.

B = 210 mmH = 420 mmt_f = 22 mmt_w = 10 mm

S_x = × 10³ mm³

8.Centroide y momento de inerciaDifícil

La sección en T se usa como viga con el ala arriba y soporta un momento flector positivo de 5 kN·m. Halla la tensión de flexión σ_inferior en el borde inferior.

b_f = 140 mmt_f = 10 mmt_w = 10 mmh_w = 280 mmM = 5 kN·m

σ_inferior = MPa

9.Círculo de Mohr y transformación de tensionesMedia

Un punto de una pieza cargada tiene σₓ = 90 MPa, σᵧ = −20 MPa y τₓᵧ = −40 MPa (tracción positiva). Halla el ángulo θ_p desde el eje x hasta la dirección de la tensión principal mayor, entre −90° y 90°.

σ_x = 90 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = −40 MPa

θ_p = °

10.Círculo de Mohr y transformación de tensionesDifícil

Un punto de una pieza cargada tiene σₓ = 120 MPa, σᵧ = −40 MPa y τₓᵧ = 50 MPa (tracción positiva). Halla la tensión cortante τ_θ en un plano cuya normal está girada 30° en sentido antihorario respecto al eje x (positiva en el mismo sentido que τₓᵧ).

σ_x = 120 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = 50 MPaθ = 30°

τ_θ = MPa

11.Flecha de la vigaMedia

Un voladizo soporta una carga uniformemente repartida w en toda su longitud y una carga puntual P en su extremo libre. Usando superposición, halla la flecha δ en el extremo libre.

P = 5 kNw = 15 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (aluminio)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Flecha de la vigaDifícil

Una viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida w. Su flecha no puede superar luz/360. Halla el momento de inercia mínimo I_req que cumple este límite.

w = 8 kN/mL = 1,5 mE = 11 GPa (madera estructural)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Pandeo de pilaresMedia

Un pilar de longitud L de aluminio está articulado en ambos extremos. Con la fórmula de Euler, halla su carga crítica de pandeo P_cr.

L = 2,5 mE = 70 GPa (aluminio)d = 40 mm

P_cr = kN

14.Pandeo de pilaresDifícil

Un pilar de longitud L de aluminio está empotrado en la base y libre arriba. Halla su esbeltez y la tensión crítica de pandeo σ_cr con la fórmula de Euler.

L = 1 mE = 70 GPa (aluminio)d = 80 mm

σ_cr = MPa

3Disoluciones

1.Tensión y deformación axial

Respuesta: δ = 0,1247 mm

Dos materiales: en serie (uno tras otro) cada tramo soporta la misma fuerza y los alargamientos se suman: δ = P·Σ L/(E·A). En paralelo (lado a lado entre placas rígidas) ambas partes se acortan lo mismo, así que sus deformaciones unitarias son iguales: la parte más rígida toma la mayor porción, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, y σ_i = E_i·ε. Una barra sujeta entre dos muros rígidos con una carga en la unión es estáticamente indeterminada: los dos tramos se reparten la carga en proporción a su rigidez k = EA/L.

Áreas

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

Rigidez axial combinada

ΣEA = 200·10³·706,9 + 110·10³·7461 = 9,621 × 10⁸ N

Acortamiento

δ = 150000·800/9,621 × 10⁸ = 0,1247 mm

Respuesta

δ = 0,1247 mm

2.Tensión y deformación axial

Respuesta: P_max = 501,5 kN

Áreas

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

Rigidez axial combinada

ΣEA = 200·10³·314,2 + 70·10³·7461 = 5,851 × 10⁸ N

Deformación determinante

ε = min(0,00125, 0,0008571) = 0,0008571 (aluminio)

Mayor carga

P_max = 0,0008571·5,851 × 10⁸ = 501533 N = 501,5 kN

Respuesta

P_max = 501,5 kN

3.Torsión de ejes

Respuesta: φ_C = 12,68 °

Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τ_max = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω.

Momentos polares

J₁ = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

J₂ = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Torsión de cada tramo

T = 400 N·m = 400000 N·mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ_AB = 400000·1500/(26000·613592) = 0,03761 rad

φ_BC = 400000·3000/(26000·251327) = 0,1836 rad

Torsión total

φ_C = 0,03761 + 0,1836 = 0,2212 rad = 12,68°

Respuesta

φ_C = 12,68°

4.Torsión de ejes

Respuesta: d = 30,79 mm

Par

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s

T = P/ω = 30000/104,7 = 286,5 N·m

Diámetro a partir de la tensión admisible

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·286479/(π·50)) = 30,79 mm

Respuesta

d = 30,79 mm

En la práctica redondearías al siguiente tamaño normalizado.

5.Cortante y momento flector

Respuesta: M_x = −8,25 kN·m

Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte.

Quédate con la parte del extremo libre

P: −15·0,5 = −7,5 kN·m

w: −6·0,5²/2 = −0,75 kN·m

M_x = −7,5 − 0,75 = −8,25 kN·m

Respuesta

M_x = −8,25 kN·m

Negativo significa tracción en la cara superior.

6.Cortante y momento flector

Respuesta: M_x = 22,5 kN·m

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la viga.

Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 2·4 = 8 kN, aplicada en x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 20·2,5 + 2·4·2

R_B = 66/4 = 16,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 28 − 16,5 = 11,5 kN

Corta en x = 2,5 m y quédate con la parte izquierda

Solo aparecen las fuerzas a la izquierda del corte. Un tramo de carga repartida actúa como una fuerza en el centro de ese tramo.

M = R_A·x − (cada carga a la izquierda del corte × su distancia al corte)

M_x = 11,5·2,5 − 2·2,5·1,25 = 22,5 kN·m

Respuesta

M_x = 22,5 kN·m

7.Centroide y momento de inercia

Respuesta: S_x = 1955 × 10³ mm³

Momento de inercia: para un rectángulo respecto a su propio eje centroidal I = bh³/12, y respecto a su base bh³/3 (teorema de Steiner I = I_c + A·d²). Un hueco se trata restando su I, siempre que ambas partes compartan el mismo eje. El módulo resistente elástico es S = I/c, donde c es la distancia a la fibra extrema.

Rectángulo exterior menos los dos huecos laterales

Los dos huecos juntos miden (B − t_w) de ancho y h_w = H − 2t_f de alto, y comparten el eje x.

h_w = 420 − 2·22 = 376 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (210·420³ − 200·376³)/12

I_x = 4,106 × 10⁸ mm⁴

Módulo resistente

c = H/2 = 210 mm

S_x = I/c = 4,106 × 10⁸/210

S_x = 1,955 × 10⁶ mm³ = 1955 × 10³ mm³

Respuesta

S_x = 1955 × 10³ mm³

8.Centroide y momento de inercia

Respuesta: σ_inferior = 24,83 MPa

Áreas compuestas: divide la sección en rectángulos. El centroide es la media ponderada por áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. El momento de inercia respecto al eje que pasa por el centroide suma el bh³/12 propio de cada parte y su término de Steiner A·d², donde d es la distancia del centroide de la parte al centroide global. La tensión de flexión es σ = M·y/I.

Divide en dos rectángulos

Mide cada y desde el borde inferior.

ala: A_f = 140·10 = 1400 mm², y_f = 280 + 10/2 = 285 mm

alma: A_w = 10·280 = 2800 mm², y_w = 280/2 = 140 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1400·285 + 2800·140)/4200 = 188,3 mm

Teorema de Steiner

ala: 140·10³/12 + 1400·(285 − 188,3)² = 1,309 × 10⁷ mm⁴

alma: 10·280³/12 + 2800·(140 − 188,3)² = 2,483 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,309 × 10⁷ + 2,483 × 10⁷ = 3,793 × 10⁷ mm⁴

Tensión de flexión

El borde inferior está a ȳ del eje.

y = 188,3 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁶·188,3/3,793 × 10⁷ = 24,83 MPa

Respuesta

σ_inferior = 24,83 MPa

9.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: θ_p = −18,01 °

Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R.

Ángulo en el círculo

En el círculo de Mohr, el punto x está a un ángulo 2θp del eje σ; el cuadrante se deduce de los signos de σₓ − σᵧ y τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·−40, 90 − −20) = −36,03°

Ángulo en el elemento

θ_p = −18,01°

Respuesta

θ_p = −18,01°

Los ángulos positivos son en sentido antihorario.

10.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: τ_θ = −44,28 MPa

Ecuación de transformación

τ_θ = −80·0,866 + 50·0,5 = −44,28 MPa

Respuesta

τ_θ = −44,28 MPa

11.Flecha de la viga

Respuesta: δ = 3,869 mm

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 5000 N, w = 15 N/mm, L = 2000 mm

EI = 1,12 × 10¹³ N·mm²

Cada carga por separado

δ_P = PL³/(3EI) = 5000·2000³/(3·1,12 × 10¹³) = 1,19 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 15·2000⁴/(8·1,12 × 10¹³) = 2,679 mm

Súmalas

δ = 1,19 + 2,679 = 3,869 mm

Respuesta

δ = 3,869 mm

12.Flecha de la viga

Respuesta: I_req = 11,51 × 10⁶ mm⁴

Límite de flecha

δ_allow = L/360 = 1500/360 = 4,167 mm

Momento de inercia necesario

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·8·1500⁴/(384·11000·4,167) = 1,151 × 10⁷ mm⁴

I_req = 11,51 × 10⁶ mm⁴

Respuesta

I_req = 11,51 × 10⁶ mm⁴

13.Pandeo de pilares

Respuesta: P_cr = 13,89 kN

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en P_cr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Menor momento de inercia

Una sección circular tiene el mismo I respecto a cualquier eje.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Longitud de pandeo

KL = 1·2500 = 2500 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/2500² = 13891 N = 13,89 kN

Respuesta

P_cr = 13,89 kN

14.Pandeo de pilares

Respuesta: σ_cr = 69,09 MPa

Menor momento de inercia

Una sección circular tiene el mismo I respecto a cualquier eje.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Radio de giro y esbeltez

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 2·1000 = 2000 mm

KL/r = 2000/20 = 100

Tensión crítica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/100² = 69,09 MPa

Respuesta

σ_cr = 69,09 MPa

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