Resistencia de materiales: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 14 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Tensión y deformación axial

Tensión normal
σ = F/A
Deformación
ε = ΔL/L
Ley de Hooke
σ = E·ε
Alargamiento
ΔL = FL/(EA)
Deformación térmica
εT = α·ΔT

Torsión de ejes

Tensión cortante
τ = T·r/J
Eje macizo
J = πd⁴/32
Eje hueco
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ángulo de torsión
φ = TL/(GJ)
Potencia
P = T·ω = 2πnT/60

Método

  1. Halla el momento polar de inercia: J = πd⁴/32 para un eje macizo.
  2. Tensión tangencial en la superficie: τ = T·r/J, con r el radio exterior.
  3. Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ) en radianes.
  4. Si te dan la potencia, halla primero el par con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cortante y momento flector

Cortante y momento
V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
Tensión de flexión
σ = M·y/I
Rectángulo
I = bh³/12
Módulo resistente
W = I/ymax
Viga biapoyada, carga uniforme
Mmax = wL²/8

Método

  1. Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
  2. Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
  3. Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
  4. Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.

Centroide y momento de inercia

Centroide
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Rectángulo
I = bh³/12
Teorema de Steiner
I = Ic + A·d²
Sección compuesta
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Centro
C = (σx + σy)/2
Radio
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tensiones principales
σ1,2 = C ± R
Dirección principal
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Plano inclinado
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Método

  1. Calcula el centro del círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Calcula el radio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Las tensiones principales son C ± R y la tensión tangencial máxima en el plano es R.
  4. Los ángulos en el círculo son el doble que los ángulos en el elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flecha de la viga

Carga puntual en el centro del vano
δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoyada
δ = 5wL⁴/(384EI)
Voladizo, carga en el extremo
δ = PL³/(3EI)
Voladizo, carga uniforme
δ = wL⁴/(8EI)
Superposición
δ = δ1 + δ2

Pandeo de pilares

Carga crítica de Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Factor de longitud de pandeo
K = 1 articulado–articulado, 0,5 empotrado–empotrado, 0,7 empotrado–articulado, 2 empotrado–libre
Tensión crítica
σcr = Pcr/A
Esbeltez
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Problemas de práctica

1.Tensión y deformación axialMedia
150 kNØ30110 GPaØ100/50400 mmδ = ?

Una varilla de acero (diámetro 30 mm, E = 200 GPa) está dentro de un tubo de bronce (diámetro exterior 100 mm, diámetro interior 50 mm, E = 110 GPa). Ambos miden 400 mm de largo y se comprimen juntos entre placas rígidas con 150 kN. Halla el acortamiento δ.

P = 150 kNbarra: Ø30 mm, E = 200 GPatubo: Ø100/Ø50 mm, E = 110 GPaL = 400 mm
δ = mm
2.Tensión y deformación axialDifícil
P = ?Ø25120 GPaØ120/50500 mm

Una varilla de acero (diámetro 25 mm, E = 200 GPa, tensión admisible 160 MPa) está dentro de un tubo de cobre (diámetro exterior 120 mm, diámetro interior 50 mm, E = 120 GPa, tensión admisible 60 MPa). Se comprimen juntos entre placas rígidas. Halla la mayor carga Pmax.

barra: Ø25 mm, E = 200 GPa, σallow = 160 MPatubo: Ø120/Ø50 mm, E = 120 GPa, σallow = 60 MPa
Pmax = kN
3.Torsión de ejesMedia
do​ = ?T = 100 N·m

Un eje hueco debe transmitir un par de 100 N·m. Su diámetro interior debe ser 0,5 veces su diámetro exterior, y la tensión cortante no debe superar 50 MPa. Halla el diámetro exterior mínimo do.

T = 100 N·mdi/do = 0,5τallow = 50 MPa
do = mm
4.Torsión de ejesDifícil
Td = ?

Un eje macizo debe transmitir 10 kW a 3000 rpm sin que la tensión cortante supere 75 MPa. Halla el diámetro mínimo d que sirve.

P = 10 kWN = 3000 rpmτallow = 75 MPa
d = mm
5.Cortante y momento flectorMedia
P1​ = 70 kNP2​ = 75 kNABC1 m7 m1,5 m

La viga descansa sobre una articulación en A y un apoyo deslizante en B, y vuela 1,5 m más allá de B hasta el extremo libre C. Soporta una carga puntual P1 entre los apoyos y una carga puntual P2 en C. Halla el momento flector Mx bajo la carga P1. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.

L = 9,5 mP1 = 70 kN en 1 mP2 = 75 kN en 9,5 mapoyos en x = 0 y x = 8 m
Mx = kN·m
6.Cortante y momento flectorDifícil
5 kN/m55 kN60 kN55 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

Las marcas A a G dividen la viga en seis partes iguales. ¿En qué marca es mayor el momento flector en valor absoluto, positivo o negativo? Haz clic en ella en el diagrama.

55 kN @ 0 m60 kN @ 12 m55 kN @ 4 m5 kN/m, 2–8 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
7.Centroide y momento de inerciaMedia
3001028012xcotas en mm

Halla el momento de inercia Ix de la sección en T respecto al eje horizontal x que pasa por su centroide.

bf = 300 mmtf = 10 mmtw = 12 mmhw = 280 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Centroide y momento de inerciaDifícil
3002024018xM negativocotas en mm

Una viga de fundición tiene la sección en T de la figura, con el ala arriba. Las tensiones admisibles son 30 MPa a tracción y 100 MPa a compresión. Halla el mayor momento flector negativo Mallow que puede soportar la viga (da su valor absoluto).

bf = 300 mmtf = 20 mmtw = 18 mmhw = 240 mmσt,allow = 30 MPaσc,allow = 100 MPa
Mallow = kN·m
9.Círculo de Mohr y transformación de tensionesMedia
σx​ = 120σy​ = 100τxy​ = 40MPa

Un punto de una placa delgada está en tensión plana: σₓ = 120 MPa, σᵧ = 100 MPa y τₓᵧ = 40 MPa, con σz = 0. Halla la tensión cortante máxima absoluta τabs en el punto (considerando todos los planos en tres dimensiones).

σx = 120 MPaσy = 100 MPaτxy = 40 MPaσz = 0
τabs = MPa
10.Círculo de Mohr y transformación de tensionesDifícil
σx​ = 130σy​ = 10τxy​ = −50MPa

Un punto de una pieza cargada tiene σₓ = 130 MPa, σᵧ = 10 MPa y τₓᵧ = −50 MPa (tracción positiva). Halla la tensión normal σθ en un plano cuya normal está girada 15° en sentido antihorario respecto al eje x.

σx = 130 MPaσy = 10 MPaτxy = −50 MPaθ = 15°
σθ = MPa
11.Flecha de la vigaMedia
P = 7 kNABδ2 m1 m

Un voladizo de longitud L está empotrado en A y soporta una carga puntual P a una distancia a = 2 m de A. Halla la flecha δB en el extremo libre B.

P = 7 kNa = 2 mL = 3 mE = 70 GPa (aluminio)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴
δB = mm
12.Flecha de la vigaDifícil
w = 4 kN/mP = 6 kNδL = 6 m

Una viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida w y una carga puntual P en el centro del vano. Usando superposición, halla la flecha en el centro δmax.

P = 6 kNw = 4 kN/mL = 6 mE = 11 GPa (madera estructural)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.Pandeo de pilaresMedia
PL = 4 m25 × 40 mmsección

Un pilar de longitud L de acero está empotrado en la base y articulado arriba. Con la fórmula de Euler, halla su carga crítica de pandeo Pcr.

L = 4 mE = 200 GPa (acero)b × h = 25 × 40 mm
Pcr = kN
14.Pandeo de pilaresDifícil
PL = 5 md = 60 mmsección

Un pilar de longitud L de aluminio está empotrado en ambos extremos. Halla su esbeltez y la tensión crítica de pandeo σcr con la fórmula de Euler.

L = 5 mE = 70 GPa (aluminio)d = 60 mm
σcr = MPa

3Disoluciones

1.Tensión y deformación axial

Respuesta: δ = 0,07601 mm

Dos materiales: en serie (uno tras otro) cada tramo soporta la misma fuerza y los alargamientos se suman: δ = P·Σ L/(E·A). En paralelo (lado a lado entre placas rígidas) ambas partes se acortan lo mismo, así que sus deformaciones unitarias son iguales: la parte más rígida toma la mayor porción, Pi = P·EiAi/ΣEA, y σi = Ei·ε. Una barra sujeta entre dos muros rígidos con una carga en la unión es estáticamente indeterminada: los dos tramos se reparten la carga en proporción a su rigidez k = EA/L.

Áreas

Ar = π·30²/4 = 706,9 mm²
At = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²

Rigidez axial combinada

ΣEA = 200·10³·706,9 + 110·10³·5890 = 7,893 × 10⁸ N

Acortamiento

δ = 150000·400/7,893 × 10⁸ = 0,07601 mm

Respuesta

δ = 0,07601 mm
2.Tensión y deformación axial

Respuesta: Pmax = 609,9 kN

Dos materiales: en serie (uno tras otro) cada tramo soporta la misma fuerza y los alargamientos se suman: δ = P·Σ L/(E·A). En paralelo (lado a lado entre placas rígidas) ambas partes se acortan lo mismo, así que sus deformaciones unitarias son iguales: la parte más rígida toma la mayor porción, Pi = P·EiAi/ΣEA, y σi = Ei·ε. Una barra sujeta entre dos muros rígidos con una carga en la unión es estáticamente indeterminada: los dos tramos se reparten la carga en proporción a su rigidez k = EA/L.

Áreas

Ar = π·25²/4 = 490,9 mm²
At = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

Rigidez axial combinada

ΣEA = 200·10³·490,9 + 120·10³·9346 = 1,22 × 10⁹ N

Deformación determinante

ε = min(0,0008, 0,0005) = 0,0005 (cobre)

Mayor carga

Pmax = 0,0005·1,22 × 10⁹ = 609862 N = 609,9 kN

Respuesta

Pmax = 609,9 kN
3.Torsión de ejes

Respuesta: do = 22,15 mm

Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τmax = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(do⁴ − di⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω.

Diámetro exterior a partir de la tensión admisible

T = 100 N·m = 100000 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0,5⁴ = 0,9375
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·100000/(π·50·0,9375)) = 22,15 mm
di = 0,5·22,15 = 11,07 mm

Respuesta

do = 22,15 mm

Un eje macizo necesitaría d = 21,68 mm; el hueco es algo mayor pero mucho más ligero.

4.Torsión de ejes

Respuesta: d = 12,93 mm

Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τmax = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(do⁴ − di⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω.

Par

ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314,2 rad/s
T = P/ω = 10000/314,2 = 31,83 N·m

Diámetro a partir de la tensión admisible

d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·31831/(π·75)) = 12,93 mm

Respuesta

d = 12,93 mm

En la práctica redondearías al siguiente tamaño normalizado.

5.Cortante y momento flector

Respuesta: Mx = 47,19 kN·m

Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte.

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la viga. La carga del voladizo también produce momento respecto a A.

ΣMA = 0: RB·8 = 70·1 + 75·9,5
RB = 782,5/8 = 97,81 kN
ΣFy = 0: RA = 145 − 97,81 = 47,19 kN

Corta bajo P1 y quédate con la parte izquierda

Mx = RA·1 = 47,19·1 = 47,19 kN·m

Respuesta

Mx = 47,19 kN·m
6.Cortante y momento flector

Respuesta: E (x = 8 m)

Mayor momento flector: M cambia de pendiente allí donde cambia el esfuerzo cortante, así que sus picos están donde el esfuerzo cortante cruza el cero: bajo una carga puntual, dentro de una carga distribuida, o sobre un apoyo de un voladizo. En el empotramiento de una ménsula, el momento es máximo en la pared. Compara el valor de M en esos lugares, positivo o negativo.

Reacciones en los apoyos

Toma momentos respecto a un apoyo y luego usa el equilibrio de fuerzas verticales.

R1 = 85 kN, R2 = 115 kN

Momento flector en cada marca

Suma los momentos de todas las fuerzas a un lado del corte. El momento positivo hace que la viga se comba hacia abajo; el negativo, hacia arriba.

MA = 0, MB = −110, MC = −60, MD = −140, ME = −240 kN·m, MF = −120, MG = 0

Respuesta

Marca E: ME = −240 kN·m
7.Centroide y momento de inercia

Respuesta: Ix = 55,3 × 10⁶ mm⁴

Áreas compuestas: divide la sección en rectángulos. El centroide es la media ponderada por áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. El momento de inercia respecto al eje que pasa por el centroide suma el bh³/12 propio de cada parte y su término de Steiner A·d², donde d es la distancia del centroide de la parte al centroide global. La tensión de flexión es σ = M·y/I.

Divide en dos rectángulos

Mide cada y desde el borde inferior.

ala: Af = 300·10 = 3000 mm², yf = 280 + 10/2 = 285 mm
alma: Aw = 12·280 = 3360 mm², yw = 280/2 = 140 mm

Centroide

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (3000·285 + 3360·140)/6360 = 208,4 mm

Teorema de Steiner

ala: 300·10³/12 + 3000·(285 − 208,4)² = 1,763 × 10⁷ mm⁴
alma: 12·280³/12 + 3360·(140 − 208,4)² = 3,767 × 10⁷ mm⁴
Ix = 1,763 × 10⁷ + 3,767 × 10⁷ = 5,53 × 10⁷ mm⁴ = 55,3 × 10⁶ mm⁴

Respuesta

Ix = 55,3 × 10⁶ mm⁴
8.Centroide y momento de inercia

Respuesta: Mallow = 29,52 kN·m

Áreas compuestas: divide la sección en rectángulos. El centroide es la media ponderada por áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. El momento de inercia respecto al eje que pasa por el centroide suma el bh³/12 propio de cada parte y su término de Steiner A·d², donde d es la distancia del centroide de la parte al centroide global. La tensión de flexión es σ = M·y/I.

Centroide

ȳ = (6000·250 + 4320·120)/10320 = 195,6 mm
borde superior: c = 260 − 195,6 = 64,42 mm

Momento de inercia

I = 300·20³/12 + 6000·54,42² + 18·240³/12 + 4320·75,58² = 6,338 × 10⁷ mm⁴

Momento admisible por cada borde

Momento negativo: la parte superior está traccionada y la inferior comprimida.

borde superior: M = 30·6,338 × 10⁷/64,42 = 29,52 kN·m
borde inferior: M = 100·6,338 × 10⁷/195,6 = 32,41 kN·m

Valor determinante

Mallow = min = 29,52 kN·m (borde superior)

Respuesta

Mallow = 29,52 kN·m
9.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: τabs = 75,62 MPa

Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R. En tres dimensiones la tensión cortante máxima absoluta es (σmax − σmin)/2 entre las tres tensiones principales; en tensión plana la tercera es nula.

σxyCσ1​σ2​

Tensiones principales en el plano

C = 110 MPa, R = √(10² + 40²) = 41,23 MPa
σ1 = 151,2 MPa, σ2 = 68,77 MPa, σz = 0

El mayor de los tres círculos

τ = max(|σ1 − σ2|, |σ1|, |σ2|)/2 = max(82,46, 151,2, 68,77)/2 = 75,62 MPa

Respuesta

τabs = 75,62 MPa

Aquí manda el círculo fuera del plano: el máximo absoluto es mayor que el máximo en el plano R.

10.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: σθ = 96,96 MPa

Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R.

Ecuación de transformación

σθ = 70 + 60·0,866 + −50·0,5 = 96,96 MPa

Respuesta

σθ = 96,96 MPa
11.Flecha de la viga

Respuesta: δB = 54,9 mm

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 7000 N, a = 2000 mm, L = 3000 mm
EI = 5,95 × 10¹¹ N·mm²

Flecha en el extremo libre

Flecha en la carga más el giro en la carga por la longitud restante.

δP = Pa³/(3EI) = 31,37 mm
θP = Pa²/(2EI) = 0,02353 rad
δB = δP + θP·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 54,9 mm

Respuesta

δB = 54,9 mm
12.Flecha de la viga

Respuesta: δmax = 53,69 mm

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 6000 N, w = 4 N/mm, L = 6000 mm, EI = 1,76 × 10¹² N·mm²

Cada carga por separado

δP = PL³/(48EI) = 6000·6000³/(48·1,76 × 10¹²) = 15,34 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·4·6000⁴/(384·1,76 × 10¹²) = 38,35 mm

Súmalas

δmax = 15,34 + 38,35 = 53,69 mm

Respuesta

δmax = 53,69 mm
13.Pandeo de pilares

Respuesta: Pcr = 13,11 kN

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en Pcr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Menor momento de inercia

Un rectángulo pandea respecto a su eje débil, usando la dimensión menor al cubo.

Imin = h·b³/12 = 40·25³/12 = 52083 mm⁴

Longitud de pandeo

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

Carga crítica

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·52083/2800² = 13113 N = 13,11 kN

Respuesta

Pcr = 13,11 kN
14.Pandeo de pilares

Respuesta: σcr = 24,87 MPa

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en Pcr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Menor momento de inercia

Una sección circular tiene el mismo I respecto a cualquier eje.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

Radio de giro y esbeltez

A = 2827 mm²
r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm
KL = 0,5·5000 = 2500 mm
KL/r = 2500/15 = 166,7

Tensión crítica

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/166,7² = 24,87 MPa

Respuesta

σcr = 24,87 MPa

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