Resistencia de materiales: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 14 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Tensión y deformación axial

Tensión normal: σ = F/A
Deformación: ε = ΔL/L
Ley de Hooke: σ = E·ε
Alargamiento: ΔL = FL/(EA)
Deformación térmica: ε_T = α·ΔT

Torsión de ejes

Tensión cortante: τ = T·r/J
Eje macizo: J = πd⁴/32
Eje hueco: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ)
Potencia: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Halla el momento polar de inercia: J = πd⁴/32 para un eje macizo.
Tensión tangencial en la superficie: τ = T·r/J, con r el radio exterior.
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ) en radianes.
Si te dan la potencia, halla primero el par con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cortante y momento flector

Cortante y momento: V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
Tensión de flexión: σ = M·y/I
Rectángulo: I = bh³/12
Módulo resistente: W = I/y_max
Viga biapoyada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.

Centroide y momento de inercia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectángulo: I = bh³/12
Teorema de Steiner: I = I_c + A·d²
Sección compuesta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Radio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensiones principales: σ_1,2 = C ± R
Dirección principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcula el centro del círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcula el radio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Las tensiones principales son C ± R y la tensión tangencial máxima en el plano es R.
Los ángulos en el círculo son el doble que los ángulos en el elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flecha de la viga

Carga puntual en el centro del vano: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoyada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Voladizo, carga en el extremo: δ = PL³/(3EI)
Voladizo, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposición: δ = δ₁ + δ₂

Pandeo de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Factor de longitud de pandeo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 empotrado–empotrado, 0,7 empotrado–articulado, 2 empotrado–libre
Tensión crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Problemas de práctica

1.Tensión y deformación axialMedia

Halla el alargamiento δ de la barra de acero bajo la carga axial.

P = 85 kNd = 25 mmL = 2 mE = 200 GPa

δ = mm

2.Tensión y deformación axialDifícil

Un tramo de acero (diámetro 20 mm, longitud 300 mm, E = 200 GPa) y un tramo de aluminio (diámetro 40 mm, longitud 200 mm, E = 70 GPa) se unen extremo con extremo y se fijan entre dos muros rígidos. Una carga axial de 20 kN actúa en la unión, hacia el tramo 2. Halla el valor de la tensión σ₂ en el tramo 2.

tramo 1: acero, Ø20 mm, 300 mm, E = 200 GPatramo 2: aluminio, Ø40 mm, 200 mm, E = 70 GPaP = 20 kN

σ₂ = MPa

3.Torsión de ejesMedia

Un eje macizo de aluminio está empotrado en la pared y se tuerce con un par T en su extremo libre. Halla el ángulo de torsión φ del extremo libre, en grados.

T = 100 N·md = 30 mmL = 1,5 mG = 26 GPa

φ = °

4.Torsión de ejesDifícil

Un eje macizo de aluminio transmite 50 kW a 750 rpm. La tensión cortante no debe superar 80 MPa y la torsión no debe superar 0,75° por m de longitud. Halla el diámetro mínimo d que cumple ambos límites.

P = 50 kWN = 750 rpmτ_allow = 80 MPaθ_allow = 0,75°/mG = 26 GPa

d = mm

5.Cortante y momento flectorMedia

Las marcas A a G dividen la viga en seis partes iguales. ¿En qué marca es mayor el momento flector en valor absoluto, positivo o negativo? Haz clic en ella en el diagrama.

60 kN @ 2 m5 kN/m, 0–6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Cortante y momento flectorDifícil

Halla el momento flector M_x en la sección x = 2,5 m desde el apoyo A. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.

L = 4 mP = 40 kN en 2,5 mw = 6 kN/m de 0 a 4 mx = 2,5 m

M_x = kN·m

7.Centroide y momento de inerciaMedia

Halla el momento de inercia I_x de la sección en T respecto al eje horizontal x que pasa por su centroide.

b_f = 100 mmt_f = 10 mmt_w = 8 mmh_w = 100 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centroide y momento de inerciaDifícil

Una viga de fundición tiene la sección en T de la figura, con el ala arriba. Las tensiones admisibles son 35 MPa a tracción y 120 MPa a compresión. Halla el mayor momento flector negativo M_allow que puede soportar la viga (da su valor absoluto).

b_f = 120 mmt_f = 15 mmt_w = 10 mmh_w = 200 mmσ_t,allow = 35 MPaσ_c,allow = 120 MPa

M_allow = kN·m

9.Círculo de Mohr y transformación de tensionesMedia

En un punto σₓ = 50 MPa, σᵧ = 80 MPa y τₓᵧ = −40 MPa (tracción positiva). Halla el ángulo θ_s, entre −90° y 90°, desde el eje x hasta la normal del plano en el que la tensión cortante tiene su valor positivo máximo +R (cortante positivo en el mismo sentido que τₓᵧ).

σ_x = 50 MPaσ_y = 80 MPaτ_xy = −40 MPa

θ_s = °

10.Círculo de Mohr y transformación de tensionesDifícil

Un depósito cilíndrico de pared delgada, con un diámetro interior de 1200 mm y un espesor de pared de 12 mm, contiene gas a una presión manométrica de 0,5 MPa. Está fabricado con chapa soldada a lo largo de una costura helicoidal a 55° del eje del cilindro. Halla el valor de la tensión cortante |τ_n| que actúa a lo largo de la costura de soldadura.

D = 1200 mmt = 12 mmp = 0,5 MPaα = 55°

|τ_n| = MPa

11.Flecha de la vigaMedia

Un voladizo soporta una carga uniformemente repartida w en toda su longitud. Halla la flecha δ en el extremo libre.

w = 20 kN/mL = 2,5 mE = 70 GPa (aluminio)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.Flecha de la vigaDifícil

Una viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida w. Su flecha no puede superar luz/360. Halla el momento de inercia mínimo I_req que cumple este límite.

w = 15 kN/mL = 8 mE = 200 GPa (acero)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Pandeo de pilaresMedia

Un pilar de longitud L de acero está empotrado en la base y libre arriba. Con la fórmula de Euler, halla su carga crítica de pandeo P_cr.

L = 2 mE = 200 GPa (acero)d = 25 mm

P_cr = kN

14.Pandeo de pilaresDifícil

Un pilar macizo circular de longitud L de aluminio está empotrado en la base y libre arriba. Debe soportar 95 kN con un coeficiente de seguridad de 3 frente al pandeo. Halla el diámetro mínimo d.

P = 95 kNn = 3L = 2 mE = 70 GPa (aluminio)

d = mm

3Disoluciones

1.Tensión y deformación axial

Respuesta: δ = 1,732 mm

Ley de Hooke: en el rango elástico σ = E·ε. Junto con σ = P/A y ε = δ/L se obtiene δ = PL/(AE).

Tensión

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 85·1000/490,9 = 173,2 MPa

Deformación (ley de Hooke)

E for acero = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 173,2/200000 = 0,0008658 = 865,8 µε

Alargamiento

δ = ε·L = 0,0008658·2000 mm = 1,732 mm

Respuesta

δ = 1,732 mm

2.Tensión y deformación axial

Respuesta: σ₂ = 10,78 MPa

Dos materiales: en serie (uno tras otro) cada tramo soporta la misma fuerza y los alargamientos se suman: δ = P·Σ L/(E·A). En paralelo (lado a lado entre placas rígidas) ambas partes se acortan lo mismo, así que sus deformaciones unitarias son iguales: la parte más rígida toma la mayor porción, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, y σ_i = E_i·ε. Una barra sujeta entre dos muros rígidos con una carga en la unión es estáticamente indeterminada: los dos tramos se reparten la carga en proporción a su rigidez k = EA/L.

Rigideces

k₁ = 200000·314,2/300 = 209440 N/mm

k₂ = 70000·1257/200 = 439823 N/mm

Parte del tramo 2

F₂ = 20000·439823/649262 = 13548 N

Tensión

σ₂ = 13548/1257 = 10,78 MPa (compresión)

Respuesta

σ₂ = 10,78 MPa

3.Torsión de ejes

Respuesta: φ = 4,157 °

Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τ_max = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω.

Momento polar de inercia

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

Ángulo de torsión

φ = TL/(GJ) = 100·1000·1500/(26000·79522) = 0,07255 rad

φ = 0,07255·180/π = 4,157°

Respuesta

φ = 4,157°

4.Torsión de ejes

Respuesta: d = 66,07 mm

Par

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 50000/78,54 = 636,6 N·m

Diámetro por resistencia

T = 636,6 N·m = 636620 N·mm

d_τ = ∛(16·636620/(π·80)) = 34,35 mm

Diámetro por rigidez

θ = 0,75·π/180/1000 = 1,309 × 10⁻⁵ rad/mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

d_φ = (32·636620/(π·26000·1,309 × 10⁻⁵))^1/4 = 66,07 mm

Diámetro determinante

Ambos límites deben cumplirse, así que manda el diámetro mayor.

d = max(34,35, 66,07) = 66,07 mm

Respuesta

d = 66,07 mm

Aquí manda la rigidez.

5.Cortante y momento flector

Respuesta: C (x = 2 m)

Mayor momento flector: M cambia de pendiente allí donde cambia el esfuerzo cortante, así que sus picos están donde el esfuerzo cortante cruza el cero: bajo una carga puntual, dentro de una carga distribuida, o sobre un apoyo de un voladizo. En el empotramiento de una ménsula, el momento es máximo en la pared. Compara el valor de M en esos lugares, positivo o negativo.

Reacciones en los apoyos

Toma momentos respecto a un apoyo y luego usa el equilibrio de fuerzas verticales.

R₁ = 55 kN, R₂ = 35 kN

Momento flector en cada marca

Suma los momentos de todas las fuerzas a un lado del corte. El momento positivo hace que la viga se comba hacia abajo; el negativo, hacia arriba.

M_A = 0, M_B = 52,5, M_C = 100 kN·m, M_D = 82,5, M_E = 60, M_F = 32,5, M_G = 0

Respuesta

Marca C: M_C = 100 kN·m

6.Cortante y momento flector

Respuesta: M_x = 48,75 kN·m

Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte.

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la viga.

Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 6·4 = 24 kN, aplicada en x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 40·2,5 + 6·4·2

R_B = 148/4 = 37 kN

ΣF_y = 0: R_A = 64 − 37 = 27 kN

Corta en x = 2,5 m y quédate con la parte izquierda

Solo aparecen las fuerzas a la izquierda del corte. Un tramo de carga repartida actúa como una fuerza en el centro de ese tramo.

M = R_A·x − (cada carga a la izquierda del corte × su distancia al corte)

M_x = 27·2,5 − 6·2,5·1,25 = 48,75 kN·m

Respuesta

M_x = 48,75 kN·m

7.Centroide y momento de inercia

Respuesta: I_x = 2,019 × 10⁶ mm⁴

Áreas compuestas: divide la sección en rectángulos. El centroide es la media ponderada por áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. El momento de inercia respecto al eje que pasa por el centroide suma el bh³/12 propio de cada parte y su término de Steiner A·d², donde d es la distancia del centroide de la parte al centroide global. La tensión de flexión es σ = M·y/I.

Divide en dos rectángulos

Mide cada y desde el borde inferior.

ala: A_f = 100·10 = 1000 mm², y_f = 100 + 10/2 = 105 mm

alma: A_w = 8·100 = 800 mm², y_w = 100/2 = 50 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1000·105 + 800·50)/1800 = 80,56 mm

Teorema de Steiner

ala: 100·10³/12 + 1000·(105 − 80,56)² = 605864 mm⁴

alma: 8·100³/12 + 800·(50 − 80,56)² = 1,414 × 10⁶ mm⁴

I_x = 605864 + 1,414 × 10⁶ = 2,019 × 10⁶ mm⁴ = 2,019 × 10⁶ mm⁴

Respuesta

I_x = 2,019 × 10⁶ mm⁴

8.Centroide y momento de inercia

Respuesta: M_allow = 9,64 kN·m

Centroide

ȳ = (1800·207,5 + 2000·100)/3800 = 150,9 mm

borde superior: c = 215 − 150,9 = 64,08 mm

Momento de inercia

I = 120·15³/12 + 1800·56,58² + 10·200³/12 + 2000·50,92² = 1,765 × 10⁷ mm⁴

Momento admisible por cada borde

Momento negativo: la parte superior está traccionada y la inferior comprimida.

borde superior: M = 35·1,765 × 10⁷/64,08 = 9,64 kN·m

borde inferior: M = 120·1,765 × 10⁷/150,9 = 14,03 kN·m

Valor determinante

M_allow = min = 9,64 kN·m (borde superior)

Respuesta

M_allow = 9,64 kN·m

9.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: θ_s = 79,72 °

Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R.

Ángulo en el círculo

En el círculo de Mohr el punto más alto (+R) está a 90° del punto principal σ₁; en el elemento eso son 45°.

cos 2θ_s = −40/42,72 = −0,9363, sin 2θ_s = −(−15)/42,72 = 0,3511

2θ_s = atan2(15, −40) = 159,4°

Ángulo en el elemento

θ_s = 79,72°

comprobación: θ_s − θ_p = 79,72 − (−55,28) = 135°

Respuesta

θ_s = 79,72°

Los ángulos positivos son en sentido antihorario.

10.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: |τ_n| = 5,873 MPa

Tensiones en la pared

r = 1200/2 = 600 mm

σ_h = pr/t = 0,5·600/12 = 25 MPa

σ_a = pr/(2t) = 12,5 MPa

Transforma a la costura

Toma x a lo largo del eje (σ_a) e y en dirección circunferencial (σ_h). La normal de la costura forma 90° − α con el eje.

|τ_n| = (25 − 12,5)·sin 55°·cos 55° = 5,873 MPa

Respuesta

|τ_n| = 5,873 MPa

11.Flecha de la viga

Respuesta: δ = 8,719 mm

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

w = 20 N/mm, L = 2500 mm

EI = 1,12 × 10¹³ N·mm²

Flecha

δ = wL⁴/(8EI) = 20·2500⁴/(8·1,12 × 10¹³) = 8,719 mm

Respuesta

δ = 8,719 mm

12.Flecha de la viga

Respuesta: I_req = 180 × 10⁶ mm⁴

Límite de flecha

δ_allow = L/360 = 8000/360 = 22,22 mm

Momento de inercia necesario

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·15·8000⁴/(384·200000·22,22) = 1,8 × 10⁸ mm⁴

I_req = 180 × 10⁶ mm⁴

Respuesta

I_req = 180 × 10⁶ mm⁴

13.Pandeo de pilares

Respuesta: P_cr = 2,366 kN

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en P_cr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Menor momento de inercia

Una sección circular tiene el mismo I respecto a cualquier eje.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Longitud de pandeo

KL = 2·2000 = 4000 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/4000² = 2366 N = 2,366 kN

Respuesta

P_cr = 2,366 kN

14.Pandeo de pilares

Respuesta: d = 107,7 mm

Carga crítica necesaria

P_cr = n·P = 3·95000 = 285000 N

KL = 2·2000 = 4000 mm

Despeja el diámetro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·285000·4000²/(π³·70000))^(1/4) = 107,7 mm

Respuesta

d = 107,7 mm

Comprobación: la esbeltez KL/r es 148,6, así que el pilar es esbelto y Euler es válido.

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