Resistencia de materiales: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 14 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Tensión y deformación axial

Tensión normal: σ = F/A
Deformación: ε = ΔL/L
Ley de Hooke: σ = E·ε
Alargamiento: ΔL = FL/(EA)
Deformación térmica: ε_T = α·ΔT

Torsión de ejes

Tensión cortante: τ = T·r/J
Eje macizo: J = πd⁴/32
Eje hueco: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ)
Potencia: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Halla el momento polar de inercia: J = πd⁴/32 para un eje macizo.
Tensión tangencial en la superficie: τ = T·r/J, con r el radio exterior.
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ) en radianes.
Si te dan la potencia, halla primero el par con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cortante y momento flector

Cortante y momento: V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
Tensión de flexión: σ = M·y/I
Rectángulo: I = bh³/12
Módulo resistente: W = I/y_max
Viga biapoyada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.

Centroide y momento de inercia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectángulo: I = bh³/12
Teorema de Steiner: I = I_c + A·d²
Sección compuesta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Radio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensiones principales: σ_1,2 = C ± R
Dirección principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcula el centro del círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcula el radio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Las tensiones principales son C ± R y la tensión tangencial máxima en el plano es R.
Los ángulos en el círculo son el doble que los ángulos en el elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flecha de la viga

Carga puntual en el centro del vano: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoyada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Voladizo, carga en el extremo: δ = PL³/(3EI)
Voladizo, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposición: δ = δ₁ + δ₂

Pandeo de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Factor de longitud de pandeo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 empotrado–empotrado, 0,7 empotrado–articulado, 2 empotrado–libre
Tensión crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Problemas de práctica

1.Tensión y deformación axialMedia

Una barra está formada por un tramo de acero (diámetro 40 mm, longitud 300 mm, E = 200 GPa) unido extremo con extremo a un tramo de cobre (diámetro 40 mm, longitud 500 mm, E = 120 GPa). Está empotrada en un extremo y se tira del otro. Halla la carga axial P que la alarga 0,25 mm en total.

tramo 1: acero, Ø40 mm, 300 mm, E = 200 GPatramo 2: cobre, Ø40 mm, 500 mm, E = 120 GPaδ = 0,25 mm

P = kN

2.Tensión y deformación axialDifícil

La barra escalonada está empotrada en la pared y cargada en su extremo libre. Halla el alargamiento total δ.

P = 55 kNtramo 1: Ø25 mm, 2 m, cobre (E = 117 GPa)tramo 2: Ø20 mm, 1,5 m, acero (E = 200 GPa)

δ = mm

3.Torsión de ejesMedia

En un ensayo de torsión, una probeta maciza de 12 mm de diámetro se tuerce con un par de 100 N·m. Los dos extremos de una longitud de medida de 200 mm giran 14,43° uno respecto al otro (el material sigue en régimen elástico). Halla el módulo de elasticidad transversal G del material.

T = 100 N·md = 12 mmL = 200 mmφ = 14,43°

G = GPa

4.Torsión de ejesDifícil

Un eje hueco transmite 50 kW a 1500 rpm. Halla la tensión cortante máxima τ_max en el eje.

P = 50 kWN = 1500 rpmd_o = 40 mmd_i = 20 mm

τ_max = MPa

5.Cortante y momento flectorMedia

Halla el momento flector M_x en la sección x = 8,5 m desde el apoyo A. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.

L = 10 mw = 6 kN/m de 0 a 10 mx = 8,5 m

M_x = kN·m

6.Cortante y momento flectorDifícil

Halla el momento flector M_x en la sección x = 3 m desde el apoyo A. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.

L = 8 mP = 40 kN en 3 mw = 6 kN/m de 0 a 8 mx = 3 m

M_x = kN·m

7.Centroide y momento de inerciaMedia

Halla el momento de inercia I_x de la sección en T respecto al eje horizontal x que pasa por su centroide.

b_f = 160 mmt_f = 30 mmt_w = 20 mmh_w = 240 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centroide y momento de inerciaDifícil

La sección en T se usa como viga con el ala arriba y soporta un momento flector positivo de 20 kN·m. Halla la tensión de flexión σ_inferior en el borde inferior.

b_f = 200 mmt_f = 10 mmt_w = 12 mmh_w = 180 mmM = 20 kN·m

σ_inferior = MPa

9.Círculo de Mohr y transformación de tensionesMedia

Un punto de una pieza cargada tiene σₓ = 160 MPa, σᵧ = −40 MPa y τₓᵧ = 30 MPa (tracción positiva). Halla el ángulo θ_p desde el eje x hasta la dirección de la tensión principal mayor, entre −90° y 90°.

σ_x = 160 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = 30 MPa

θ_p = °

10.Círculo de Mohr y transformación de tensionesDifícil

Un punto de una placa delgada está en tensión plana: σₓ = 100 MPa, σᵧ = −50 MPa y τₓᵧ = 30 MPa (σ_z = 0). Halla la tensión equivalente de von Mises σ_vM.

σ_x = 100 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = 30 MPa

σ_vM = MPa

11.Flecha de la vigaMedia

Una viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida w en toda su luz. Halla la flecha máxima δ_max, en el centro del vano.

w = 5 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (madera estructural)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Flecha de la vigaDifícil

Una viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida w y una carga puntual P en el centro del vano. Usando superposición, halla la flecha en el centro δ_max.

P = 20 kNw = 15 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (aluminio)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Pandeo de pilaresMedia

Un pilar de longitud L de acero está empotrado en la base y articulado arriba. Con la fórmula de Euler, halla su carga crítica de pandeo P_cr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (acero)b × h = 30 × 40 mm

P_cr = kN

14.Pandeo de pilaresDifícil

Un pilar de longitud L de acero está empotrado en la base y libre arriba. Halla su esbeltez y la tensión crítica de pandeo σ_cr con la fórmula de Euler.

L = 3 mE = 200 GPa (acero)d = 80 mm

σ_cr = MPa

3Disoluciones

1.Tensión y deformación axial

Respuesta: P = 55,44 kN

Dos materiales: en serie (uno tras otro) cada tramo soporta la misma fuerza y los alargamientos se suman: δ = P·Σ L/(E·A). En paralelo (lado a lado entre placas rígidas) ambas partes se acortan lo mismo, así que sus deformaciones unitarias son iguales: la parte más rígida toma la mayor porción, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, y σ_i = E_i·ε. Una barra sujeta entre dos muros rígidos con una carga en la unión es estáticamente indeterminada: los dos tramos se reparten la carga en proporción a su rigidez k = EA/L.

Áreas

A₁ = 1257 mm², A₂ = 1257 mm²

Flexibilidades

L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·1257) = 1,194 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 500/(120000·1257) = 3,316 × 10⁻⁶ mm/N

Carga

P = 0,25/4,509 × 10⁻⁶ = 55440 N = 55,44 kN

Respuesta

P = 55,44 kN

2.Tensión y deformación axial

Respuesta: δ = 3,228 mm

Elementos con carga axial: cada tramo prismático cumple δ = PL/(AE). En tramos en serie los alargamientos se suman.

La misma fuerza en ambos tramos

El extremo libre soporta P, así que cada sección de la barra soporta el mismo esfuerzo axial P. Solo cambian las áreas y los materiales.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 112 MPa

σ₂ = 175,1 MPa

Suma los alargamientos de los tramos

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 112·2000/117000 = 1,915 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 175,1·1500/200000 = 1,313 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 3,228 mm

Respuesta

δ = 3,228 mm

3.Torsión de ejes

Respuesta: G = 39,01 GPa

Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τ_max = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω.

Momento polar y ángulo

J = π·12⁴/32 = 2036 mm⁴

φ = 14,43·π/180 = 0,2519 rad

Módulo de elasticidad transversal

T = 100 N·m = 100000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 100000·200/(2036·0,2519) = 39009 MPa

G = 39,01 GPa

Respuesta

G = 39,01 GPa

Compara: acero ≈ 80 GPa, latón ≈ 39 GPa, aluminio ≈ 26 GPa.

4.Torsión de ejes

Respuesta: τ_max = 27,02 MPa

Par

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 50000/157,1 = 318,3 N·m

Momento polar de inercia

J = π(40⁴ − 20⁴)/32 = 235619 mm⁴

Tensión cortante máxima

τ_max = T·(d_o/2)/J = 318310·20/235619 = 27,02 MPa

Respuesta

τ_max = 27,02 MPa

5.Cortante y momento flector

Respuesta: M_x = 38,25 kN·m

Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte.

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la viga.

Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 6·10 = 60 kN, aplicada en x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 6·10·5

R_B = 300/10 = 30 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 30 = 30 kN

Corta en x = 8,5 m y quédate con la parte izquierda

Solo aparecen las fuerzas a la izquierda del corte. Un tramo de carga repartida actúa como una fuerza en el centro de ese tramo.

M = R_A·x − (cada carga a la izquierda del corte × su distancia al corte)

M_x = 30·8,5 − 6·8,5·4,25 = 38,25 kN·m

Respuesta

M_x = 38,25 kN·m

6.Cortante y momento flector

Respuesta: M_x = 120 kN·m

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la viga.

Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 6·8 = 48 kN, aplicada en x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 40·3 + 6·8·4

R_B = 312/8 = 39 kN

ΣF_y = 0: R_A = 88 − 39 = 49 kN

Corta en x = 3 m y quédate con la parte izquierda

Solo aparecen las fuerzas a la izquierda del corte. Un tramo de carga repartida actúa como una fuerza en el centro de ese tramo.

M = R_A·x − (cada carga a la izquierda del corte × su distancia al corte)

M_x = 49·3 − 6·3·1,5 = 120 kN·m

Respuesta

M_x = 120 kN·m

7.Centroide y momento de inercia

Respuesta: I_x = 67,14 × 10⁶ mm⁴

Áreas compuestas: divide la sección en rectángulos. El centroide es la media ponderada por áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. El momento de inercia respecto al eje que pasa por el centroide suma el bh³/12 propio de cada parte y su término de Steiner A·d², donde d es la distancia del centroide de la parte al centroide global. La tensión de flexión es σ = M·y/I.

Divide en dos rectángulos

Mide cada y desde el borde inferior.

ala: A_f = 160·30 = 4800 mm², y_f = 240 + 30/2 = 255 mm

alma: A_w = 20·240 = 4800 mm², y_w = 240/2 = 120 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4800·255 + 4800·120)/9600 = 187,5 mm

Teorema de Steiner

ala: 160·30³/12 + 4800·(255 − 187,5)² = 2,223 × 10⁷ mm⁴

alma: 20·240³/12 + 4800·(120 − 187,5)² = 4,491 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,223 × 10⁷ + 4,491 × 10⁷ = 6,714 × 10⁷ mm⁴ = 67,14 × 10⁶ mm⁴

Respuesta

I_x = 67,14 × 10⁶ mm⁴

8.Centroide y momento de inercia

Respuesta: σ_inferior = 178,3 MPa

Divide en dos rectángulos

Mide cada y desde el borde inferior.

ala: A_f = 200·10 = 2000 mm², y_f = 180 + 10/2 = 185 mm

alma: A_w = 12·180 = 2160 mm², y_w = 180/2 = 90 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2000·185 + 2160·90)/4160 = 135,7 mm

Teorema de Steiner

ala: 200·10³/12 + 2000·(185 − 135,7)² = 4,883 × 10⁶ mm⁴

alma: 12·180³/12 + 2160·(90 − 135,7)² = 1,034 × 10⁷ mm⁴

I_x = 4,883 × 10⁶ + 1,034 × 10⁷ = 1,522 × 10⁷ mm⁴

Tensión de flexión

El borde inferior está a ȳ del eje.

y = 135,7 mm

σ = M·y/I = 2 × 10⁷·135,7/1,522 × 10⁷ = 178,3 MPa

Respuesta

σ_inferior = 178,3 MPa

9.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: θ_p = 8,35 °

Ángulo en el círculo

En el círculo de Mohr, el punto x está a un ángulo 2θp del eje σ; el cuadrante se deduce de los signos de σₓ − σᵧ y τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·30, 160 − −40) = 16,7°

Ángulo en el elemento

θ_p = 8,35°

Respuesta

θ_p = 8,35°

Los ángulos positivos son en sentido antihorario.

10.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: σ_vM = 142,1 MPa

Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R. Criterios de plastificación: von Mises predice la plastificación cuando σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) alcanza σ_Y; Tresca, cuando la tensión cortante máxima absoluta alcanza σ_Y/2.

Tensiones principales

C = 25 MPa, R = 80,78 MPa

σ₁ = 105,8 MPa, σ₂ = −55,78 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(105,8² − 105,8·(−55,78) + (−55,78)²) = 142,1 MPa

Respuesta

σ_vM = 142,1 MPa

11.Flecha de la viga

Respuesta: δ_max = 2,63 mm

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 2000 mm

EI = 3,96 × 10¹¹ N·mm²

Flecha

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·2000⁴/(384·3,96 × 10¹¹) = 2,63 mm

Respuesta

δ_max = 2,63 mm

12.Flecha de la viga

Respuesta: δ_max = 13,04 mm

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 20000 N, w = 15 N/mm, L = 4000 mm, EI = 5,88 × 10¹² N·mm²

Cada carga por separado

δ_P = PL³/(48EI) = 20000·4000³/(48·5,88 × 10¹²) = 4,535 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·4000⁴/(384·5,88 × 10¹²) = 8,503 mm

Súmalas

δ_max = 4,535 + 8,503 = 13,04 mm

Respuesta

δ_max = 13,04 mm

13.Pandeo de pilares

Respuesta: P_cr = 161,1 kN

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en P_cr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Menor momento de inercia

Un rectángulo pandea respecto a su eje débil, usando la dimensión menor al cubo.

I_min = h·b³/12 = 40·30³/12 = 90000 mm⁴

Longitud de pandeo

KL = 0,7·1500 = 1050 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·90000/1050² = 161136 N = 161,1 kN

Respuesta

P_cr = 161,1 kN

14.Pandeo de pilares

Respuesta: σ_cr = 21,93 MPa

Menor momento de inercia

Una sección circular tiene el mismo I respecto a cualquier eje.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Radio de giro y esbeltez

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 2·3000 = 6000 mm

KL/r = 6000/20 = 300

Tensión crítica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/300² = 21,93 MPa

Respuesta

σ_cr = 21,93 MPa

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