Resistencia de materiales: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 14 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Tensión y deformación axial

Tensión normal: σ = F/A
Deformación: ε = ΔL/L
Ley de Hooke: σ = E·ε
Alargamiento: ΔL = FL/(EA)
Deformación térmica: ε_T = α·ΔT

Torsión de ejes

Tensión cortante: τ = T·r/J
Eje macizo: J = πd⁴/32
Eje hueco: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ)
Potencia: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Halla el momento polar de inercia: J = πd⁴/32 para un eje macizo.
Tensión tangencial en la superficie: τ = T·r/J, con r el radio exterior.
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ) en radianes.
Si te dan la potencia, halla primero el par con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cortante y momento flector

Cortante y momento: V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
Tensión de flexión: σ = M·y/I
Rectángulo: I = bh³/12
Módulo resistente: W = I/y_max
Viga biapoyada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.

Centroide y momento de inercia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectángulo: I = bh³/12
Teorema de Steiner: I = I_c + A·d²
Sección compuesta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Radio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensiones principales: σ_1,2 = C ± R
Dirección principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcula el centro del círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcula el radio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Las tensiones principales son C ± R y la tensión tangencial máxima en el plano es R.
Los ángulos en el círculo son el doble que los ángulos en el elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flecha de la viga

Carga puntual en el centro del vano: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoyada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Voladizo, carga en el extremo: δ = PL³/(3EI)
Voladizo, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposición: δ = δ₁ + δ₂

Pandeo de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Factor de longitud de pandeo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 empotrado–empotrado, 0,7 empotrado–articulado, 2 empotrado–libre
Tensión crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Problemas de práctica

1.Tensión y deformación axialMedia

Una barra está formada por un tramo de acero (diámetro 40 mm, longitud 500 mm, E = 200 GPa) unido extremo con extremo a un tramo de bronce (diámetro 30 mm, longitud 200 mm, E = 110 GPa). Está empotrada en un extremo y se tira del otro. Halla la carga axial P que la alarga 0,2 mm en total.

tramo 1: acero, Ø40 mm, 500 mm, E = 200 GPatramo 2: bronce, Ø30 mm, 200 mm, E = 110 GPaδ = 0,2 mm

P = kN

2.Tensión y deformación axialDifícil

Una varilla de acero (diámetro 25 mm, E = 200 GPa, tensión admisible 250 MPa) está dentro de un tubo de cobre (diámetro exterior 120 mm, diámetro interior 70 mm, E = 120 GPa, tensión admisible 50 MPa). Se comprimen juntos entre placas rígidas. Halla la mayor carga P_max.

barra: Ø25 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 250 MPatubo: Ø120/Ø70 mm, E = 120 GPa, σ_allow = 50 MPa

P_max = kN

3.Torsión de ejesMedia

Un eje macizo de latón está empotrado en la pared y se tuerce con un par T en su extremo libre. Halla el ángulo de torsión φ del extremo libre, en grados.

T = 750 N·md = 50 mmL = 2,5 mG = 39 GPa

φ = °

4.Torsión de ejesDifícil

Un eje macizo de latón de 20 mm de diámetro está empotrado en muros rígidos en sus dos extremos A y B. Se aplica un par de 750 N·m en C, a 1,5 m de A y a 2,5 m de B. Halla la tensión cortante máxima τ_max en el eje.

d = 20 mmT₀ = 750 N·ma = 1,5 mb = 2,5 m

τ_max = MPa

5.Cortante y momento flectorMedia

Halla el esfuerzo cortante V_x en la sección x = 0,5 m desde el apoyo A. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.

L = 8 mw = 10 kN/m de 0 a 8 mx = 0,5 m

V_x = kN

6.Cortante y momento flectorDifícil

Halla el momento flector M_x en la sección x = 6 m desde el apoyo A. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.

L = 10 mP = 45 kN en 6 mw = 2 kN/m de 0 a 10 mx = 6 m

M_x = kN·m

7.Centroide y momento de inerciaMedia

Una sección en U está colocada con el lado abierto hacia arriba: una placa de base de 240 mm de ancho con dos alas verticales de 90 mm de altura total. La base y las alas tienen todas 10 mm de espesor. Halla la altura ȳ del centroide sobre el borde inferior.

b = 240 mmh = 90 mmt = 10 mm

ȳ = mm

8.Centroide y momento de inerciaDifícil

Una viga de fundición tiene la sección en T de la figura, con el ala arriba. Las tensiones admisibles son 50 MPa a tracción y 150 MPa a compresión. Halla el mayor momento flector positivo M_allow que puede soportar la viga.

b_f = 100 mmt_f = 20 mmt_w = 20 mmh_w = 300 mmσ_t,allow = 50 MPaσ_c,allow = 150 MPa

M_allow = kN·m

9.Círculo de Mohr y transformación de tensionesMedia

Un punto de una pieza cargada tiene σₓ = −40 MPa, σᵧ = −20 MPa y τₓᵧ = −50 MPa (tracción positiva). Halla la tensión cortante máxima en el plano τ_max.

σ_x = −40 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = −50 MPa

τ_max = MPa

10.Círculo de Mohr y transformación de tensionesDifícil

Un punto de una pieza cargada tiene σₓ = −70 MPa, σᵧ = 40 MPa y τₓᵧ = 60 MPa (tracción positiva). Halla la tensión cortante τ_θ en un plano cuya normal está girada 30° en sentido horario respecto al eje x (positiva en el mismo sentido que τₓᵧ).

σ_x = −70 MPaσ_y = 40 MPaτ_xy = 60 MPaθ = -30°

τ_θ = MPa

11.Flecha de la vigaMedia

Una viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida w en toda su luz. Halla la flecha máxima δ_max, en el centro del vano.

w = 12 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (aluminio)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Flecha de la vigaDifícil

Una viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida w. Su flecha no puede superar luz/360. Halla el momento de inercia mínimo I_req que cumple este límite.

w = 5 kN/mL = 8 mE = 11 GPa (madera estructural)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Pandeo de pilaresMedia

Un pilar de longitud L de acero está empotrado en la base y articulado arriba. Con la fórmula de Euler, halla su carga crítica de pandeo P_cr.

L = 4 mE = 200 GPa (acero)d = 50 mm

P_cr = kN

14.Pandeo de pilaresDifícil

Un pilar macizo circular de longitud L de acero está articulado en ambos extremos. Debe soportar 125 kN con un coeficiente de seguridad de 3 frente al pandeo. Halla el diámetro mínimo d.

P = 125 kNn = 3L = 6 mE = 200 GPa (acero)

d = mm

3Disoluciones

1.Tensión y deformación axial

Respuesta: P = 43,84 kN

Dos materiales: en serie (uno tras otro) cada tramo soporta la misma fuerza y los alargamientos se suman: δ = P·Σ L/(E·A). En paralelo (lado a lado entre placas rígidas) ambas partes se acortan lo mismo, así que sus deformaciones unitarias son iguales: la parte más rígida toma la mayor porción, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, y σ_i = E_i·ε. Una barra sujeta entre dos muros rígidos con una carga en la unión es estáticamente indeterminada: los dos tramos se reparten la carga en proporción a su rigidez k = EA/L.

Áreas

A₁ = 1257 mm², A₂ = 706,9 mm²

Flexibilidades

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·1257) = 1,989 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 200/(110000·706,9) = 2,572 × 10⁻⁶ mm/N

Carga

P = 0,2/4,562 × 10⁻⁶ = 43844 N = 43,84 kN

Respuesta

P = 43,84 kN

2.Tensión y deformación axial

Respuesta: P_max = 414 kN

Áreas

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

Rigidez axial combinada

ΣEA = 200·10³·490,9 + 120·10³·7461 = 9,935 × 10⁸ N

Deformación determinante

ε = min(0,00125, 0,0004167) = 0,0004167 (cobre)

Mayor carga

P_max = 0,0004167·9,935 × 10⁸ = 413970 N = 414 kN

Respuesta

P_max = 414 kN

3.Torsión de ejes

Respuesta: φ = 4,489 °

Momento polar de inercia

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

Ángulo de torsión

φ = TL/(GJ) = 750·1000·2500/(39000·613592) = 0,07835 rad

φ = 0,07835·180/π = 4,489°

Respuesta

φ = 4,489°

4.Torsión de ejes

Respuesta: τ_max = 298,4 MPa

Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τ_max = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω. Cuando ambos extremos están empotrados, la estática por sí sola solo da T_A + T_B = T₀; la segunda ecuación es la compatibilidad (igual torsión de ambas partes en la sección cargada).

Equilibrio y compatibilidad

T_A + T_B = 750

T_A·a = T_B·b

T_A = 750·2,5/4 = 468,8 N·m

T_B = 750·1,5/4 = 281,3 N·m

Tensión cortante máxima

Manda el mayor de los dos pares (mismo diámetro).

τ_max = 16·468750/(π·20³) = 298,4 MPa

Respuesta

τ_max = 298,4 MPa

5.Cortante y momento flector

Respuesta: V_x = 35 kN

Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte.

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la viga.

Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 10·8 = 80 kN, aplicada en x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 10·8·4

R_B = 320/8 = 40 kN

ΣF_y = 0: R_A = 80 − 40 = 40 kN

Corta en x = 0,5 m y quédate con la parte izquierda

Solo aparecen las fuerzas a la izquierda del corte. Un tramo de carga repartida actúa como una fuerza en el centro de ese tramo.

V = R_A − (todas las cargas hacia abajo a la izquierda del corte)

V_x = 40 − 10·0,5 = 35 kN

Respuesta

V_x = 35 kN

6.Cortante y momento flector

Respuesta: M_x = 132 kN·m

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la viga.

Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 2·10 = 20 kN, aplicada en x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 45·6 + 2·10·5

R_B = 370/10 = 37 kN

ΣF_y = 0: R_A = 65 − 37 = 28 kN

Corta en x = 6 m y quédate con la parte izquierda

Solo aparecen las fuerzas a la izquierda del corte. Un tramo de carga repartida actúa como una fuerza en el centro de ese tramo.

M = R_A·x − (cada carga a la izquierda del corte × su distancia al corte)

M_x = 28·6 − 2·6·3 = 132 kN·m

Respuesta

M_x = 132 kN·m

7.Centroide y momento de inercia

Respuesta: ȳ = 23 mm

Áreas compuestas: divide la sección en rectángulos. El centroide es la media ponderada por áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. El momento de inercia respecto al eje que pasa por el centroide suma el bh³/12 propio de cada parte y su término de Steiner A·d², donde d es la distancia del centroide de la parte al centroide global. La tensión de flexión es σ = M·y/I.

Divide en rectángulos

Toma la base con su ancho completo y las dos alas encima de ella (altura h − t), para no contar nada dos veces.

base: A₁ = 240·10 = 2400 mm², y₁ = 5 mm

dos alas: A₂ = 2·10·80 = 1600 mm², y₂ = 10 + 80/2 = 50 mm

Centroide

ȳ = (2400·5 + 1600·50)/4000 = 23 mm

Respuesta

ȳ = 23 mm

8.Centroide y momento de inercia

Respuesta: M_allow = 21,96 kN·m

Centroide

ȳ = (2000·310 + 6000·150)/8000 = 190 mm

borde superior: c = 320 − 190 = 130 mm

Momento de inercia

I = 100·20³/12 + 2000·120² + 20·300³/12 + 6000·40² = 8,347 × 10⁷ mm⁴

Momento admisible por cada borde

Momento positivo: la parte superior está comprimida y la inferior traccionada.

borde superior: M = 150·8,347 × 10⁷/130 = 96,31 kN·m

borde inferior: M = 50·8,347 × 10⁷/190 = 21,96 kN·m

Valor determinante

M_allow = min = 21,96 kN·m (borde inferior)

Respuesta

M_allow = 21,96 kN·m

9.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: τ_max = 50,99 MPa

Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R.

Radio del círculo de Mohr

τ_max = R = √(((−40 − −20)/2)² + −50²) = 50,99 MPa

Respuesta

τ_max = 50,99 MPa

10.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: τ_θ = −17,63 MPa

Ecuación de transformación

τ_θ = −−55·−0,866 + 60·0,5 = −17,63 MPa

Respuesta

τ_θ = −17,63 MPa

11.Flecha de la viga

Respuesta: δ_max = 7,861 mm

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

w = 12 N/mm, L = 3000 mm

EI = 1,61 × 10¹² N·mm²

Flecha

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·3000⁴/(384·1,61 × 10¹²) = 7,861 mm

Respuesta

δ_max = 7,861 mm

12.Flecha de la viga

Respuesta: I_req = 1091 × 10⁶ mm⁴

Límite de flecha

δ_allow = L/360 = 8000/360 = 22,22 mm

Momento de inercia necesario

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·5·8000⁴/(384·11000·22,22) = 1,091 × 10⁹ mm⁴

I_req = 1091 × 10⁶ mm⁴

Respuesta

I_req = 1091 × 10⁶ mm⁴

13.Pandeo de pilares

Respuesta: P_cr = 77,24 kN

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en P_cr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Menor momento de inercia

Una sección circular tiene el mismo I respecto a cualquier eje.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Longitud de pandeo

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/2800² = 77244 N = 77,24 kN

Respuesta

P_cr = 77,24 kN

14.Pandeo de pilares

Respuesta: d = 108,6 mm

Carga crítica necesaria

P_cr = n·P = 3·125000 = 375000 N

KL = 1·6000 = 6000 mm

Despeja el diámetro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·375000·6000²/(π³·200000))^(1/4) = 108,6 mm

Respuesta

d = 108,6 mm

Comprobación: la esbeltez KL/r es 220,9, así que el pilar es esbelto y Euler es válido.

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