Resistencia de materiales: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 14 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

Problemas nuevos Volver a la asignatura

En la ventana de impresión, elige «Guardar como PDF» para conservar una copia en tu dispositivo.

1Fórmulas y métodos

Tensión y deformación axial

Tensión normal: σ = F/A
Deformación: ε = ΔL/L
Ley de Hooke: σ = E·ε
Alargamiento: ΔL = FL/(EA)
Deformación térmica: ε_T = α·ΔT

Torsión de ejes

Tensión cortante: τ = T·r/J
Eje macizo: J = πd⁴/32
Eje hueco: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ)
Potencia: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Halla el momento polar de inercia: J = πd⁴/32 para un eje macizo.
Tensión tangencial en la superficie: τ = T·r/J, con r el radio exterior.
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ) en radianes.
Si te dan la potencia, halla primero el par con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cortante y momento flector

Cortante y momento: V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
Tensión de flexión: σ = M·y/I
Rectángulo: I = bh³/12
Módulo resistente: W = I/y_max
Viga biapoyada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.

Centroide y momento de inercia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectángulo: I = bh³/12
Teorema de Steiner: I = I_c + A·d²
Sección compuesta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Radio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensiones principales: σ_1,2 = C ± R
Dirección principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcula el centro del círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcula el radio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Las tensiones principales son C ± R y la tensión tangencial máxima en el plano es R.
Los ángulos en el círculo son el doble que los ángulos en el elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flecha de la viga

Carga puntual en el centro del vano: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoyada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Voladizo, carga en el extremo: δ = PL³/(3EI)
Voladizo, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposición: δ = δ₁ + δ₂

Pandeo de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Factor de longitud de pandeo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 empotrado–empotrado, 0,7 empotrado–articulado, 2 empotrado–libre
Tensión crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Problemas de práctica

1.Tensión y deformación axialMedia

Una varilla de acero (diámetro 40 mm, E = 200 GPa) está dentro de un tubo de cobre (diámetro exterior 80 mm, diámetro interior 50 mm, E = 120 GPa). Ambos miden 300 mm de largo y se comprimen juntos entre placas rígidas con 250 kN. Halla el acortamiento δ.

P = 250 kNbarra: Ø40 mm, E = 200 GPatubo: Ø80/Ø50 mm, E = 120 GPaL = 300 mm

δ = mm

2.Tensión y deformación axialDifícil

La barra escalonada está empotrada en la pared y cargada en su extremo libre. Halla la tensión normal máxima σ_max en la barra.

P = 115 kNtramo 1: Ø35 mm, 0,5 m, acero (E = 200 GPa)tramo 2: Ø12 mm, 0,5 m, aluminio (E = 70 GPa)

σ_max = MPa

3.Torsión de ejesMedia

Un eje macizo de acero está empotrado en la pared y se tuerce con un par T en su extremo libre. Halla el ángulo de torsión φ del extremo libre, en grados.

T = 1000 N·md = 40 mmL = 2 mG = 80 GPa

φ = °

4.Torsión de ejesDifícil

Un eje hueco debe transmitir 5 kW a 1450 rpm. Su diámetro interior debe ser 0,75 veces su diámetro exterior, y la tensión cortante no debe superar 50 MPa. Halla el diámetro exterior mínimo d_o.

P = 5 kWN = 1450 rpmd_i/d_o = 0,75τ_allow = 50 MPa

d_o = mm

5.Cortante y momento flectorMedia

Halla el momento flector M_x en la sección x = 3 m desde el apoyo A. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.

L = 5 mw = 4 kN/m de 0 a 5 mx = 3 m

M_x = kN·m

6.Cortante y momento flectorDifícil

Las marcas A a G dividen la viga en seis partes iguales. ¿En qué marca es mayor el momento flector en valor absoluto, positivo o negativo? Haz clic en ella en el diagrama.

20 kN @ 0 m45 kN @ 6 m25 kN @ 2 m5 kN/m, 1–5 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.Centroide y momento de inerciaMedia

Una sección en I simétrica tiene alas de 160 mm de ancho y 10 mm de espesor, un canto total de 280 mm y un alma de 8 mm de espesor. Halla su momento de inercia I_x respecto al eje centroidal horizontal x.

B = 160 mmH = 280 mmt_f = 10 mmt_w = 8 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centroide y momento de inerciaDifícil

Una placa de 150 mm × 150 mm tiene un recorte rectangular de 30 mm de ancho y 30 mm de alto, centrado en la línea central vertical con su centro a 52,5 mm por encima del fondo. Halla el momento de inercia I_x respecto al eje horizontal que pasa por el centroide.

b = 150 mmh = 150 mmrecorte: 30 × 30 mmcentro del agujero: y = 52,5 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Círculo de Mohr y transformación de tensionesMedia

Un punto de una pieza cargada tiene σₓ = −20 MPa, σᵧ = 120 MPa y τₓᵧ = 30 MPa (tracción positiva). Halla la tensión cortante máxima en el plano τ_max.

σ_x = −20 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = 30 MPa

τ_max = MPa

10.Círculo de Mohr y transformación de tensionesDifícil

Un punto de una pieza cargada tiene σₓ = 80 MPa, σᵧ = 0 MPa y τₓᵧ = 60 MPa (tracción positiva). Halla la tensión cortante τ_θ en un plano cuya normal está girada 40° en sentido antihorario respecto al eje x (positiva en el mismo sentido que τₓᵧ).

σ_x = 80 MPaσ_y = 0 MPaτ_xy = 60 MPaθ = 40°

τ_θ = MPa

11.Flecha de la vigaMedia

Una viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida w en toda su luz. Halla el giro θ_A de la viga en el apoyo A, en radianes.

w = 10 kN/mL = 8 mE = 200 GPa (acero)I = 120 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

12.Flecha de la vigaDifícil

Una viga está empotrada en A y simplemente apoyada en B (viga empotrada y apoyada). Soporta una carga uniformemente repartida w en toda su longitud. EI es constante. Halla el valor del momento flector M_A en el empotramiento.

L = 3 mw = 5 kN/m

M_A = kN·m

13.Pandeo de pilaresMedia

Un pilar de longitud L de acero está empotrado en ambos extremos. Con la fórmula de Euler, halla su carga crítica de pandeo P_cr.

L = 3 mE = 200 GPa (acero)d = 40 mm

P_cr = kN

14.Pandeo de pilaresDifícil

Un pilar macizo circular de longitud L de aluminio está empotrado en la base y articulado arriba. Debe soportar 150 kN con un coeficiente de seguridad de 2 frente al pandeo. Halla el diámetro mínimo d.

P = 150 kNn = 2L = 5 mE = 70 GPa (aluminio)

d = mm

3Disoluciones

1.Tensión y deformación axial

Respuesta: δ = 0,1212 mm

Dos materiales: en serie (uno tras otro) cada tramo soporta la misma fuerza y los alargamientos se suman: δ = P·Σ L/(E·A). En paralelo (lado a lado entre placas rígidas) ambas partes se acortan lo mismo, así que sus deformaciones unitarias son iguales: la parte más rígida toma la mayor porción, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, y σ_i = E_i·ε. Una barra sujeta entre dos muros rígidos con una carga en la unión es estáticamente indeterminada: los dos tramos se reparten la carga en proporción a su rigidez k = EA/L.

Áreas

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²

Rigidez axial combinada

ΣEA = 200·10³·1257 + 120·10³·3063 = 6,189 × 10⁸ N

Acortamiento

δ = 250000·300/6,189 × 10⁸ = 0,1212 mm

Respuesta

δ = 0,1212 mm

2.Tensión y deformación axial

Respuesta: σ_max = 1017 MPa

Elementos con carga axial: cada tramo prismático cumple δ = PL/(AE). En tramos en serie los alargamientos se suman.

La misma fuerza en ambos tramos

El extremo libre soporta P, así que cada sección de la barra soporta el mismo esfuerzo axial P. Solo cambian las áreas y los materiales.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 119,5 MPa

σ₂ = 1017 MPa

Tensión máxima

El tramo más delgado tiene menos área, así que soporta la tensión mayor.

σ_max = 1017 MPa

Respuesta

σ_max = 1017 MPa

3.Torsión de ejes

Respuesta: φ = 5,699 °

Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τ_max = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω.

Momento polar de inercia

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Ángulo de torsión

φ = TL/(GJ) = 1000·1000·2000/(80000·251327) = 0,09947 rad

φ = 0,09947·180/π = 5,699°

Respuesta

φ = 5,699°

4.Torsión de ejes

Respuesta: d_o = 16,99 mm

Par

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 5000/151,8 = 32,93 N·m

Diámetro exterior a partir de la tensión admisible

T = 32,93 N·m = 32929 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,75⁴ = 0,6836

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·32929/(π·50·0,6836)) = 16,99 mm

d_i = 0,75·16,99 = 12,74 mm

Respuesta

d_o = 16,99 mm

Un eje macizo necesitaría d = 14,97 mm; el hueco es algo mayor pero mucho más ligero.

5.Cortante y momento flector

Respuesta: M_x = 12 kN·m

Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte.

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la viga.

Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 4·5 = 20 kN, aplicada en x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 4·5·2,5

R_B = 50/5 = 10 kN

ΣF_y = 0: R_A = 20 − 10 = 10 kN

Corta en x = 3 m y quédate con la parte izquierda

Solo aparecen las fuerzas a la izquierda del corte. Un tramo de carga repartida actúa como una fuerza en el centro de ese tramo.

M = R_A·x − (cada carga a la izquierda del corte × su distancia al corte)

M_x = 10·3 − 4·3·1,5 = 12 kN·m

Respuesta

M_x = 12 kN·m

6.Cortante y momento flector

Respuesta: F (x = 5 m)

Mayor momento flector: M cambia de pendiente allí donde cambia el esfuerzo cortante, así que sus picos están donde el esfuerzo cortante cruza el cero: bajo una carga puntual, dentro de una carga distribuida, o sobre un apoyo de un voladizo. En el empotramiento de una ménsula, el momento es máximo en la pared. Compara el valor de M en esos lugares, positivo o negativo.

Reacciones en los apoyos

Toma momentos respecto a un apoyo y luego usa el equilibrio de fuerzas verticales.

R₁ = 42,5 kN, R₂ = 67,5 kN

Momento flector en cada marca

Suma los momentos de todas las fuerzas a un lado del corte. El momento positivo hace que la viga se comba hacia abajo; el negativo, hacia arriba.

M_A = 0, M_B = −20, M_C = 0, M_D = −10, M_E = −25, M_F = −45 kN·m, M_G = 0

Respuesta

Marca F: M_F = −45 kN·m

7.Centroide y momento de inercia

Respuesta: I_x = 70,06 × 10⁶ mm⁴

Momento de inercia: para un rectángulo respecto a su propio eje centroidal I = bh³/12, y respecto a su base bh³/3 (teorema de Steiner I = I_c + A·d²). Un hueco se trata restando su I, siempre que ambas partes compartan el mismo eje. El módulo resistente elástico es S = I/c, donde c es la distancia a la fibra extrema.

Rectángulo exterior menos los dos huecos laterales

Los dos huecos juntos miden (B − t_w) de ancho y h_w = H − 2t_f de alto, y comparten el eje x.

h_w = 280 − 2·10 = 260 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (160·280³ − 152·260³)/12

I_x = 7,006 × 10⁷ mm⁴ = 70,06 × 10⁶ mm⁴

Respuesta

I_x = 70,06 × 10⁶ mm⁴

8.Centroide y momento de inercia

Respuesta: I_x = 41,65 × 10⁶ mm⁴

Secciones con huecos: trata un hueco como un área negativa. El centroide es ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), con A₁, y₁ para la placa completa y A₂, y₂ para el hueco. Para el momento de inercia (segundo momento de área) respecto al eje centroidal, usa el teorema de los ejes paralelos para cada parte y resta el hueco: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), donde d es la distancia del centroide propio de cada parte al eje que pasa por ȳ. Un rectángulo tiene I_c = bh³/12 y un círculo I_c = πd⁴/64.

Centroide

ȳ = (22500·75 − 900·52,5)/(22500 − 900) = 75,94 mm

Placa completa respecto a ȳ

150·150³/12 + 22500·−0,9375² = 42,21 × 10⁶ mm⁴

Agujero respecto a ȳ

30·30³/12 + 900·−23,44² = 0,5619 × 10⁶ mm⁴

Resta

I_x = 41,65 × 10⁶ mm⁴

Respuesta

I_x = 41,65 × 10⁶ mm⁴

9.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: τ_max = 76,16 MPa

Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R.

Radio del círculo de Mohr

τ_max = R = √(((−20 − 120)/2)² + 30²) = 76,16 MPa

Respuesta

τ_max = 76,16 MPa

10.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: τ_θ = −28,97 MPa

Ecuación de transformación

τ_θ = −40·0,9848 + 60·0,1736 = −28,97 MPa

Respuesta

τ_θ = −28,97 MPa

11.Flecha de la viga

Respuesta: θ_A = 0,008889 rad

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición). El giro θ = dv/dx es la primera integral de M/(EI); con unidades coherentes sale en radianes.

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

w = 10 N/mm, L = 8000 mm

EI = 2,4 × 10¹³ N·mm²

Giro en el extremo

θ_A = wL³/(24EI) = 10·8000³/(24·2,4 × 10¹³) = 0,008889 rad

Respuesta

θ_A = 0,008889 rad

Eso son 0,5093°.

12.Flecha de la viga

Respuesta: M_A = 5,625 kN·m

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición). En una viga hiperestática, quita un apoyo redundante e impón que la flecha ahí sea nula (compatibilidad).

Quita el apoyo adicional

Sin el apoyo adicional la viga es un voladizo. Su extremo libre descendería bajo la carga.

δ_load = wL⁴/(8EI)

Compatibilidad en el apoyo B

La reacción del apoyo R_B por sí sola levanta el extremo libre R_BL³/(3EI). El apoyo mantiene B con flecha nula, así que ambas deben anularse. EI se simplifica.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·5·3/8 = 5,625 kN

Momento en el empotramiento

Momentos respecto a A de las cargas y de la reacción del apoyo.

M_A = wL²/2 − R_B·L = 22,5 − 16,88 = 5,625 kN·m

Respuesta

M_A = 5,625 kN·m

13.Pandeo de pilares

Respuesta: P_cr = 110,2 kN

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en P_cr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Menor momento de inercia

Una sección circular tiene el mismo I respecto a cualquier eje.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Longitud de pandeo

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/1500² = 110245 N = 110,2 kN

Respuesta

P_cr = 110,2 kN

14.Pandeo de pilares

Respuesta: d = 102 mm

Carga crítica necesaria

P_cr = n·P = 2·150000 = 300000 N

KL = 0,7·5000 = 3500 mm

Despeja el diámetro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·300000·3500²/(π³·70000))^(1/4) = 102 mm

Respuesta

d = 102 mm

Comprobación: la esbeltez KL/r es 137,2, así que el pilar es esbelto y Euler es válido.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials