Resistencia de materiales: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 14 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Tensión y deformación axial

Tensión normal
σ = F/A
Deformación
ε = ΔL/L
Ley de Hooke
σ = E·ε
Alargamiento
ΔL = FL/(EA)
Deformación térmica
εT = α·ΔT

Torsión de ejes

Tensión cortante
τ = T·r/J
Eje macizo
J = πd⁴/32
Eje hueco
J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ángulo de torsión
φ = TL/(GJ)
Potencia
P = T·ω = 2πnT/60

Método

  1. Halla el momento polar de inercia: J = πd⁴/32 para un eje macizo.
  2. Tensión tangencial en la superficie: τ = T·r/J, con r el radio exterior.
  3. Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ) en radianes.
  4. Si te dan la potencia, halla primero el par con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cortante y momento flector

Cortante y momento
V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
Tensión de flexión
σ = M·y/I
Rectángulo
I = bh³/12
Módulo resistente
W = I/ymax
Viga biapoyada, carga uniforme
Mmax = wL²/8

Método

  1. Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
  2. Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
  3. Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
  4. Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.

Centroide y momento de inercia

Centroide
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Rectángulo
I = bh³/12
Teorema de Steiner
I = Ic + A·d²
Sección compuesta
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Centro
C = (σx + σy)/2
Radio
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
Tensiones principales
σ1,2 = C ± R
Dirección principal
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
Plano inclinado
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

Método

  1. Calcula el centro del círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
  2. Calcula el radio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. Las tensiones principales son C ± R y la tensión tangencial máxima en el plano es R.
  4. Los ángulos en el círculo son el doble que los ángulos en el elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flecha de la viga

Carga puntual en el centro del vano
δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoyada
δ = 5wL⁴/(384EI)
Voladizo, carga en el extremo
δ = PL³/(3EI)
Voladizo, carga uniforme
δ = wL⁴/(8EI)
Superposición
δ = δ1 + δ2

Pandeo de pilares

Carga crítica de Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Factor de longitud de pandeo
K = 1 articulado–articulado, 0,5 empotrado–empotrado, 0,7 empotrado–articulado, 2 empotrado–libre
Tensión crítica
σcr = Pcr/A
Esbeltez
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Problemas de práctica

1.Tensión y deformación axialMedia
Ø 16 mmAluminio3 mP = 75 kN

Halla la deformación axial ε en la barra de aluminio, en microdeformaciones (µε = 10⁻⁶).

P = 75 kNd = 16 mmL = 3 mE = 70 GPa
ε = µε
2.Tensión y deformación axialDifícil
Ø 35 mmAluminio1,5 mØ 20 mmAluminio1 mP = 30 kN

La barra escalonada está empotrada en la pared y cargada en su extremo libre. Halla la tensión normal máxima σmax en la barra.

P = 30 kNtramo 1: Ø35 mm, 1,5 m, aluminio (E = 70 GPa)tramo 2: Ø20 mm, 1 m, aluminio (E = 70 GPa)
σmax = MPa
3.Torsión de ejesMedia
d = ?T = 250 N·mL = 2 m

Un eje macizo de acero de 2 m de longitud transmite un par de 250 N·m. El ángulo de torsión entre sus extremos no debe superar 3°. Halla el diámetro mínimo d que cumple este límite.

T = 250 N·mL = 2 mG = 80 GPaφallow = 3°
d = mm
4.Torsión de ejesDifícil
d = 50 mmTB​ = 500 N·mTC​ = 200 N·mABC1 m1 m

Un eje macizo de latón de 50 mm de diámetro está empotrado en A. En B, a 1 m de A, actúa un par de 500 N·m, y en el extremo libre C, 1 m más allá, actúa un par de 200 N·m en el mismo sentido. Halla el valor del ángulo de torsión φC del extremo C, en grados.

d = 50 mmTB = 500 N·mTC = 200 N·mAB = 1 mBC = 1 mG = 39 GPa
φC = °
5.Cortante y momento flectorMedia
P1​ = 75 kNP2​ = 20 kNABC4 m4 m2 m

La viga descansa sobre una articulación en A y un apoyo deslizante en B, y vuela 2 m más allá de B hasta el extremo libre C. Soporta una carga puntual P1 entre los apoyos y una carga puntual P2 en C. Halla el momento flector Mx bajo la carga P1. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.

L = 10 mP1 = 75 kN en 4 mP2 = 20 kN en 10 mapoyos en x = 0 y x = 8 m
Mx = kN·m
6.Cortante y momento flectorDifícil
w = 2 kN/mP = 30 kNABsección2 m1 m7 m

Halla el momento flector Mx en la sección x = 3 m desde el apoyo A. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.

L = 10 mP = 30 kN en 2 mw = 2 kN/m de 0 a 10 mx = 3 m
Mx = kN·m
7.Centroide y momento de inerciaMedia
1502401612xcotas en mm

Una sección en I simétrica tiene alas de 150 mm de ancho y 16 mm de espesor, un canto total de 240 mm y un alma de 12 mm de espesor. Halla su módulo resistente elástico Sx para flexión respecto al eje centroidal horizontal x.

B = 150 mmH = 240 mmtf = 16 mmtw = 12 mm
Sx = × 10³ mm³
8.Centroide y momento de inerciaDifícil
2103601810xM = 40 kN·mcotas en mm

Una sección en I simétrica tiene alas de 210 mm de ancho y 18 mm de espesor, un canto total de 360 mm y un alma de 10 mm de espesor. Soporta un momento flector de 40 kN·m respecto al eje x. Halla el valor de la tensión de flexión máxima σmax en la sección.

B = 210 mmH = 360 mmtf = 18 mmtw = 10 mmM = 40 kN·m
σmax = MPa
9.Círculo de Mohr y transformación de tensionesMedia
σx​ = 50σy​ = −70τxy​ = 30MPa

Un punto de una pieza cargada tiene σₓ = 50 MPa, σᵧ = −70 MPa y τₓᵧ = 30 MPa (tracción positiva). Halla el ángulo θp desde el eje x hasta la dirección de la tensión principal mayor, entre −90° y 90°.

σx = 50 MPaσy = −70 MPaτxy = 30 MPa
θp = °
10.Círculo de Mohr y transformación de tensionesDifícil
35°D = 1500 mm, t = 8 mm, p = 2,5 MPap

Un depósito cilíndrico de pared delgada, con un diámetro interior de 1500 mm y un espesor de pared de 8 mm, contiene gas a una presión manométrica de 2,5 MPa. Está fabricado con chapa soldada a lo largo de una costura helicoidal a 35° del eje del cilindro. Halla la tensión normal σn que actúa perpendicularmente a la costura de soldadura.

D = 1500 mmt = 8 mmp = 2,5 MPaα = 35°
σn = MPa
11.Flecha de la vigaMedia
w = 4 kN/mδL = 3 m

Un voladizo soporta una carga uniformemente repartida w en toda su longitud. Halla la flecha δ en el extremo libre.

w = 4 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (aluminio)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
12.Flecha de la vigaDifícil
w = 6 kN/mP = 8 kNδL = 3 m

Una viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida w y una carga puntual P en el centro del vano. Usando superposición, halla la flecha en el centro δmax.

P = 8 kNw = 6 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (acero)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
13.Pandeo de pilaresMedia
PL = 2,5 md = 80 mmsección

Un pilar de longitud L de acero está empotrado en la base y libre arriba. Con la fórmula de Euler, halla su carga crítica de pandeo Pcr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (acero)d = 80 mm
Pcr = kN
14.Pandeo de pilaresDifícil
P = 85 kNL = 6 md = ?sección

Un pilar macizo circular de longitud L de acero está empotrado en ambos extremos. Debe soportar 85 kN con un coeficiente de seguridad de 3 frente al pandeo. Halla el diámetro mínimo d.

P = 85 kNn = 3L = 6 mE = 200 GPa (acero)
d = mm

3Disoluciones

1.Tensión y deformación axial

Respuesta: ε = 5329 µε

Ley de Hooke: en el rango elástico σ = E·ε. Junto con σ = P/A y ε = δ/L se obtiene δ = PL/(AE).

Tensión

A = π·16²/4 = 201,1 mm²
σ = P/A = 75·1000/201,1 = 373 MPa

Deformación (ley de Hooke)

E for aluminio = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 373/70000 = 0,005329 = 5329 µε

Respuesta

ε = 5329 µε
2.Tensión y deformación axial

Respuesta: σmax = 95,49 MPa

Elementos con carga axial: cada tramo prismático cumple δ = PL/(AE). En tramos en serie los alargamientos se suman.

La misma fuerza en ambos tramos

El extremo libre soporta P, así que cada sección de la barra soporta el mismo esfuerzo axial P. Solo cambian las áreas y los materiales.

A1 = π·35²/4 = 962,1 mm², A2 = π·20²/4 = 314,2 mm²
σ1 = 31,18 MPa
σ2 = 95,49 MPa

Tensión máxima

El tramo más delgado tiene menos área, así que soporta la tensión mayor.

σmax = 95,49 MPa

Respuesta

σmax = 95,49 MPa
3.Torsión de ejes

Respuesta: d = 33,21 mm

Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τmax = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(do⁴ − di⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω.

Momento polar necesario

T = 250 N·m = 250000 N·mm
L = 2 m = 2000 mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
φ = 3·π/180 = 0,05236 rad
J = TL/(Gφ) = 250000·2000/(80000·0,05236) = 119366 mm⁴

Diámetro

d = (32J/π)1/4 = 33,21 mm

Respuesta

d = 33,21 mm

En la práctica redondearías al siguiente tamaño normalizado.

4.Torsión de ejes

Respuesta: φC = 2,155 °

Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τmax = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(do⁴ − di⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω.

Pares internos

Se toma positivo el sentido de TC.

TBC = TC = 200 N·m
TAB = TC + TB = 200 + 500 = 700 N·m

Torsión de cada tramo

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴
G = 39 GPa = 39000 MPa
φAB = 700000·1000/(39000·613592) = 0,02925 rad
φBC = 200000·1000/(39000·613592) = 0,008358 rad

Torsión del extremo C

φC = 0,02925 + 0,008358 = 0,03761 rad → |φC| = 2,155°

Respuesta

φC = 2,155°
5.Cortante y momento flector

Respuesta: Mx = 130 kN·m

Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte.

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la viga. La carga del voladizo también produce momento respecto a A.

ΣMA = 0: RB·8 = 75·4 + 20·10
RB = 500/8 = 62,5 kN
ΣFy = 0: RA = 95 − 62,5 = 32,5 kN

Corta bajo P1 y quédate con la parte izquierda

Mx = RA·4 = 32,5·4 = 130 kN·m

Respuesta

Mx = 130 kN·m
6.Cortante y momento flector

Respuesta: Mx = 63 kN·m

Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte.

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la viga.

Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 2·10 = 20 kN, aplicada en x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 30·2 + 2·10·5
RB = 160/10 = 16 kN
ΣFy = 0: RA = 50 − 16 = 34 kN
w = 2 kN/mP = 30 kNABRA​ = 34RB​ = 16sección2 m1 m7 m

Corta en x = 3 m y quédate con la parte izquierda

Solo aparecen las fuerzas a la izquierda del corte. Un tramo de carga repartida actúa como una fuerza en el centro de ese tramo.

M = RA·x − (cada carga a la izquierda del corte × su distancia al corte)
Mx = 34·3 − 30·(3 − 2) − 2·3·1,5 = 63 kN·m

Respuesta

Mx = 63 kN·m
7.Centroide y momento de inercia

Respuesta: Sx = 577,6 × 10³ mm³

Momento de inercia: para un rectángulo respecto a su propio eje centroidal I = bh³/12, y respecto a su base bh³/3 (teorema de Steiner I = Ic + A·d²). Un hueco se trata restando su I, siempre que ambas partes compartan el mismo eje. El módulo resistente elástico es S = I/c, donde c es la distancia a la fibra extrema.

Rectángulo exterior menos los dos huecos laterales

Los dos huecos juntos miden (B − tw) de ancho y hw = H − 2tf de alto, y comparten el eje x.

hw = 240 − 2·16 = 208 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (150·240³ − 138·208³)/12
Ix = 6,931 × 10⁷ mm⁴

Módulo resistente

c = H/2 = 120 mm
Sx = I/c = 6,931 × 10⁷/120
Sx = 577604 mm³ = 577,6 × 10³ mm³

Respuesta

Sx = 577,6 × 10³ mm³
8.Centroide y momento de inercia

Respuesta: σmax = 28,85 MPa

Áreas compuestas: divide la sección en rectángulos. El centroide es la media ponderada por áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. El momento de inercia respecto al eje que pasa por el centroide suma el bh³/12 propio de cada parte y su término de Steiner A·d², donde d es la distancia del centroide de la parte al centroide global. La tensión de flexión es σ = M·y/I.

Rectángulo exterior menos los dos huecos laterales

Los dos huecos juntos miden (B − tw) de ancho y hw = H − 2tf de alto, y comparten el eje x.

hw = 360 − 2·18 = 324 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (210·360³ − 200·324³)/12
Ix = 2,496 × 10⁸ mm⁴

Tensión de flexión

y = 180 mm
σ = M·y/I = 4 × 10⁷·180/2,496 × 10⁸ = 28,85 MPa

Respuesta

σmax = 28,85 MPa
9.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: θp = 13,28 °

Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R.

στxyCσ1​σ2​

Ángulo en el círculo

En el círculo de Mohr, el punto x está a un ángulo 2θp del eje σ; el cuadrante se deduce de los signos de σₓ − σᵧ y τₓᵧ.

2θp = atan2(2·30, 50 − −70) = 26,57°

Ángulo en el elemento

θp = 13,28°

Respuesta

θp = 13,28°

Los ángulos positivos son en sentido antihorario.

10.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: σn = 195,8 MPa

Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R. Cilindro de pared delgada: tensión circunferencial σh = pr/t y tensión axial σa = pr/(2t); son las tensiones principales en la pared.

Tensiones en la pared

r = 1500/2 = 750 mm
σh = pr/t = 2,5·750/8 = 234,4 MPa
σa = pr/(2t) = 117,2 MPa

Transforma a la costura

Toma x a lo largo del eje (σa) e y en dirección circunferencial (σh). La normal de la costura forma 90° − α con el eje.

σn = 117,2·sin²35° + 234,4·cos²35° = 195,8 MPa

Respuesta

σn = 195,8 MPa
11.Flecha de la viga

Respuesta: δ = 25,16 mm

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 3000 mm
EI = 1,61 × 10¹² N·mm²

Flecha

δ = wL⁴/(8EI) = 4·3000⁴/(8·1,61 × 10¹²) = 25,16 mm

Respuesta

δ = 25,16 mm
12.Flecha de la viga

Respuesta: δmax = 1,504 mm

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 8000 N, w = 6 N/mm, L = 3000 mm, EI = 7,2 × 10¹² N·mm²

Cada carga por separado

δP = PL³/(48EI) = 8000·3000³/(48·7,2 × 10¹²) = 0,625 mm
δw = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·3000⁴/(384·7,2 × 10¹²) = 0,8789 mm

Súmalas

δmax = 0,625 + 0,8789 = 1,504 mm

Respuesta

δmax = 1,504 mm
13.Pandeo de pilares

Respuesta: Pcr = 158,8 kN

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en Pcr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Menor momento de inercia

Una sección circular tiene el mismo I respecto a cualquier eje.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

Longitud de pandeo

KL = 2·2500 = 5000 mm

Carga crítica

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·2,011 × 10⁶/5000² = 158752 N = 158,8 kN

Respuesta

Pcr = 158,8 kN
14.Pandeo de pilares

Respuesta: d = 69,76 mm

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en Pcr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Carga crítica necesaria

Pcr = n·P = 3·85000 = 255000 N
KL = 0,5·6000 = 3000 mm

Despeja el diámetro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·255000·3000²/(π³·200000))^(1/4) = 69,76 mm

Respuesta

d = 69,76 mm

Comprobación: la esbeltez KL/r es 172, así que el pilar es esbelto y Euler es válido.

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