Resistencia de materiales: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 14 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Tensión y deformación axial

Tensión normal: σ = F/A
Deformación: ε = ΔL/L
Ley de Hooke: σ = E·ε
Alargamiento: ΔL = FL/(EA)
Deformación térmica: ε_T = α·ΔT

Torsión de ejes

Tensión cortante: τ = T·r/J
Eje macizo: J = πd⁴/32
Eje hueco: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ)
Potencia: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Halla el momento polar de inercia: J = πd⁴/32 para un eje macizo.
Tensión tangencial en la superficie: τ = T·r/J, con r el radio exterior.
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ) en radianes.
Si te dan la potencia, halla primero el par con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cortante y momento flector

Cortante y momento: V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
Tensión de flexión: σ = M·y/I
Rectángulo: I = bh³/12
Módulo resistente: W = I/y_max
Viga biapoyada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.

Centroide y momento de inercia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectángulo: I = bh³/12
Teorema de Steiner: I = I_c + A·d²
Sección compuesta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Radio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensiones principales: σ_1,2 = C ± R
Dirección principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcula el centro del círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcula el radio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Las tensiones principales son C ± R y la tensión tangencial máxima en el plano es R.
Los ángulos en el círculo son el doble que los ángulos en el elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flecha de la viga

Carga puntual en el centro del vano: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoyada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Voladizo, carga en el extremo: δ = PL³/(3EI)
Voladizo, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposición: δ = δ₁ + δ₂

Pandeo de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Factor de longitud de pandeo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 empotrado–empotrado, 0,7 empotrado–articulado, 2 empotrado–libre
Tensión crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Problemas de práctica

1.Tensión y deformación axialMedia

Halla la deformación axial ε en la barra de latón, en microdeformaciones (µε = 10⁻⁶).

P = 30 kNd = 25 mmL = 1 mE = 100 GPa

ε = µε

2.Tensión y deformación axialDifícil

La barra escalonada está empotrada en la pared y cargada en su extremo libre. Halla el alargamiento total δ.

P = 15 kNtramo 1: Ø35 mm, 0,5 m, latón (E = 100 GPa)tramo 2: Ø16 mm, 0,5 m, cobre (E = 117 GPa)

δ = mm

3.Torsión de ejesMedia

Un eje macizo de acero de 0,5 m de longitud transmite un par de 1500 N·m. El ángulo de torsión entre sus extremos no debe superar 0,5°. Halla el diámetro mínimo d que cumple este límite.

T = 1500 N·mL = 0,5 mG = 80 GPaφ_allow = 0,5°

d = mm

4.Torsión de ejesDifícil

Un eje hueco transmite 30 kW a 1800 rpm. Halla la tensión cortante máxima τ_max en el eje.

P = 30 kWN = 1800 rpmd_o = 50 mmd_i = 25 mm

τ_max = MPa

5.Cortante y momento flectorMedia

La viga simplemente apoyada soporta dos cargas puntuales. Halla el momento flector máximo M_max en la viga.

L = 10 mP₁ = 75 kN en 3 mP₂ = 60 kN en 9 m

M_max = kN·m

6.Cortante y momento flectorDifícil

Las marcas A a G dividen la viga en seis partes iguales. ¿En qué marca es mayor el momento flector en valor absoluto, positivo o negativo? Haz clic en ella en el diagrama.

60 kN @ 0 m40 kN @ 12 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.Centroide y momento de inerciaMedia

Un tubo circular tiene un diámetro exterior D = 100 mm y un diámetro interior d = 76 mm. Halla su radio de giro r respecto al eje centroidal horizontal.

D = 100 mmd = 76 mm

r = mm

8.Centroide y momento de inerciaDifícil

La sección en T se usa como viga con el ala arriba y soporta un momento flector positivo de 30 kN·m. Halla la tensión de flexión σ_inferior en el borde inferior.

b_f = 220 mmt_f = 30 mmt_w = 12 mmh_w = 160 mmM = 30 kN·m

σ_inferior = MPa

9.Círculo de Mohr y transformación de tensionesMedia

En un punto σₓ = 90 MPa, σᵧ = −80 MPa y τₓᵧ = 40 MPa (tracción positiva). El elemento se gira 30° en sentido antihorario. Halla la tensión normal σ_y′ en las caras del elemento girado perpendiculares al eje girado y′.

σ_x = 90 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = 40 MPaθ = 30°

σ_y′ = MPa

10.Círculo de Mohr y transformación de tensionesDifícil

Un punto de una placa delgada está en tensión plana: σₓ = 100 MPa, σᵧ = 90 MPa y τₓᵧ = −30 MPa (σ_z = 0). El material tiene un límite elástico de 355 MPa. Halla el coeficiente de seguridad n frente a la plastificación según el criterio de von Mises (energía de distorsión).

σ_x = 100 MPaσ_y = 90 MPaτ_xy = −30 MPaσ_Y = 355 MPa

n =

11.Flecha de la vigaMedia

Una viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida w en toda su luz. Halla la flecha máxima δ_max, en el centro del vano.

w = 12 kN/mL = 8 mE = 200 GPa (acero)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Flecha de la vigaDifícil

Una viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida w y una carga puntual P en el centro del vano. Usando superposición, halla la flecha en el centro δ_max.

P = 14 kNw = 4 kN/mL = 1,5 mE = 70 GPa (aluminio)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Pandeo de pilaresMedia

Un pilar de longitud L de acero está empotrado en la base y articulado arriba. Con la fórmula de Euler, halla su carga crítica de pandeo P_cr.

L = 5 mE = 200 GPa (acero)b × h = 30 × 100 mm

P_cr = kN

14.Pandeo de pilaresDifícil

Un pilar macizo circular de longitud L de acero está articulado en ambos extremos. Debe soportar 30 kN con un coeficiente de seguridad de 2 frente al pandeo. Halla el diámetro mínimo d.

P = 30 kNn = 2L = 4 mE = 200 GPa (acero)

d = mm

3Disoluciones

1.Tensión y deformación axial

Respuesta: ε = 611,2 µε

Ley de Hooke: en el rango elástico σ = E·ε. Junto con σ = P/A y ε = δ/L se obtiene δ = PL/(AE).

Tensión

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 30·1000/490,9 = 61,12 MPa

Deformación (ley de Hooke)

E for latón = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 61,12/100000 = 0,0006112 = 611,2 µε

Respuesta

ε = 611,2 µε

2.Tensión y deformación axial

Respuesta: δ = 0,3968 mm

Elementos con carga axial: cada tramo prismático cumple δ = PL/(AE). En tramos en serie los alargamientos se suman.

La misma fuerza en ambos tramos

El extremo libre soporta P, así que cada sección de la barra soporta el mismo esfuerzo axial P. Solo cambian las áreas y los materiales.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ₁ = 15,59 MPa

σ₂ = 74,6 MPa

Suma los alargamientos de los tramos

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 15,59·500/100000 = 0,07795 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 74,6·500/117000 = 0,3188 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 0,3968 mm

Respuesta

δ = 0,3968 mm

3.Torsión de ejes

Respuesta: d = 57,51 mm

Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τ_max = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω.

Momento polar necesario

T = 1500 N·m = 1,5 × 10⁶ N·mm

L = 0,5 m = 500 mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ = 0,5·π/180 = 0,008727 rad

J = TL/(Gφ) = 1,5 × 10⁶·500/(80000·0,008727) = 1,074 × 10⁶ mm⁴

Diámetro

d = (32J/π)^1/4 = 57,51 mm

Respuesta

d = 57,51 mm

En la práctica redondearías al siguiente tamaño normalizado.

4.Torsión de ejes

Respuesta: τ_max = 6,917 MPa

Par

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s

T = P/ω = 30000/188,5 = 159,2 N·m

Momento polar de inercia

J = π(50⁴ − 25⁴)/32 = 575243 mm⁴

Tensión cortante máxima

τ_max = T·(d_o/2)/J = 159155·25/575243 = 6,917 MPa

Respuesta

τ_max = 6,917 MPa

5.Cortante y momento flector

Respuesta: M_max = 175,5 kN·m

Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte. Momento máximo: como dM/dx = V, el momento flector alcanza su máximo donde el cortante pasa por cero, ya sea en una carga puntual o dentro de una carga repartida.

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la viga.

ΣM_A = 0: R_B·10 = 75·3 + 60·9

R_B = 765/10 = 76,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 135 − 76,5 = 58,5 kN

Momento bajo cada carga

Quédate con la parte a la izquierda de cada carga.

bajo P₁: M = R_A·3 = 58,5·3 = 175,5 kN·m

bajo P₂: M = R_B·1 = 76,5·1 = 76,5 kN·m

Valor máximo

M_max = 175,5 kN·m (bajo P₁)

Respuesta

M_max = 175,5 kN·m

6.Cortante y momento flector

Respuesta: B (x = 2 m)

Mayor momento flector: M cambia de pendiente allí donde cambia el esfuerzo cortante, así que sus picos están donde el esfuerzo cortante cruza el cero: bajo una carga puntual, dentro de una carga distribuida, o sobre un apoyo de un voladizo. En el empotramiento de una ménsula, el momento es máximo en la pared. Compara el valor de M en esos lugares, positivo o negativo.

Reacciones en los apoyos

Toma momentos respecto a un apoyo y luego usa el equilibrio de fuerzas verticales.

R₁ = 65 kN, R₂ = 35 kN

Momento flector en cada marca

Suma los momentos de todas las fuerzas a un lado del corte. El momento positivo hace que la viga se comba hacia abajo; el negativo, hacia arriba.

M_A = 0, M_B = −120 kN·m, M_C = −110, M_D = −100, M_E = −90, M_F = −80, M_G = 0

Respuesta

Marca B: M_B = −120 kN·m

7.Centroide y momento de inercia

Respuesta: r = 31,4 mm

Momento de inercia: para un rectángulo respecto a su propio eje centroidal I = bh³/12, y respecto a su base bh³/3 (teorema de Steiner I = I_c + A·d²). Un hueco se trata restando su I, siempre que ambas partes compartan el mismo eje. El módulo resistente elástico es S = I/c, donde c es la distancia a la fibra extrema. El radio de giro r = √(I/A) es la distancia a la que toda el área daría el mismo I; se usa en el pandeo de pilares.

Área neta y momento de inercia neto

A = π(D² − d²)/4 = 3318 mm²

I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 3,271 × 10⁶ mm⁴

Radio de giro

r = √(I/A) = √(3,271 × 10⁶/3318) = 31,4 mm

Respuesta

r = 31,4 mm

8.Centroide y momento de inercia

Respuesta: σ_inferior = 255,8 MPa

Áreas compuestas: divide la sección en rectángulos. El centroide es la media ponderada por áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. El momento de inercia respecto al eje que pasa por el centroide suma el bh³/12 propio de cada parte y su término de Steiner A·d², donde d es la distancia del centroide de la parte al centroide global. La tensión de flexión es σ = M·y/I.

Divide en dos rectángulos

Mide cada y desde el borde inferior.

ala: A_f = 220·30 = 6600 mm², y_f = 160 + 30/2 = 175 mm

alma: A_w = 12·160 = 1920 mm², y_w = 160/2 = 80 mm

Centroide

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (6600·175 + 1920·80)/8520 = 153,6 mm

Teorema de Steiner

ala: 220·30³/12 + 6600·(175 − 153,6)² = 3,52 × 10⁶ mm⁴

alma: 12·160³/12 + 1920·(80 − 153,6)² = 1,449 × 10⁷ mm⁴

I_x = 3,52 × 10⁶ + 1,449 × 10⁷ = 1,801 × 10⁷ mm⁴

Tensión de flexión

El borde inferior está a ȳ del eje.

y = 153,6 mm

σ = M·y/I = 3 × 10⁷·153,6/1,801 × 10⁷ = 255,8 MPa

Respuesta

σ_inferior = 255,8 MPa

9.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: σ_y′ = −72,14 MPa

Ecuación de transformación para la cara y′

σ_y′ = 5 − 85·0,5 − 40·0,866 = −72,14 MPa

Comprobación

La suma de las tensiones normales no cambia con el giro.

σ_x′ = 82,14 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 10 = σ_x + σ_y

Respuesta

σ_y′ = −72,14 MPa

10.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: n = 3,268

Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R. Criterios de plastificación: von Mises predice la plastificación cuando σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) alcanza σ_Y; Tresca, cuando la tensión cortante máxima absoluta alcanza σ_Y/2.

Tensiones principales

C = 95 MPa, R = 30,41 MPa

σ₁ = 125,4 MPa, σ₂ = 64,59 MPa, σ₃ = 0

Von Mises

σ_vM = √(125,4² − 125,4·64,59 + 64,59²) = 108,6 MPa

n = 355/108,6 = 3,268

Respuesta

n = 3,268

n > 1 significa que el punto no plastifica; Tresca es algo más conservador que von Mises.

11.Flecha de la viga

Respuesta: δ_max = 26,67 mm

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

w = 12 N/mm, L = 8000 mm

EI = 2,4 × 10¹³ N·mm²

Flecha

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·8000⁴/(384·2,4 × 10¹³) = 26,67 mm

Respuesta

δ_max = 26,67 mm

12.Flecha de la viga

Respuesta: δ_max = 1,486 mm

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 14000 N, w = 4 N/mm, L = 1500 mm, EI = 8,4 × 10¹¹ N·mm²

Cada carga por separado

δ_P = PL³/(48EI) = 14000·1500³/(48·8,4 × 10¹¹) = 1,172 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·4·1500⁴/(384·8,4 × 10¹¹) = 0,3139 mm

Súmalas

δ_max = 1,172 + 0,3139 = 1,486 mm

Respuesta

δ_max = 1,486 mm

13.Pandeo de pilares

Respuesta: P_cr = 36,26 kN

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en P_cr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Menor momento de inercia

Un rectángulo pandea respecto a su eje débil, usando la dimensión menor al cubo.

I_min = h·b³/12 = 100·30³/12 = 225000 mm⁴

Longitud de pandeo

KL = 0,7·5000 = 3500 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·225000/3500² = 36256 N = 36,26 kN

Respuesta

P_cr = 36,26 kN

14.Pandeo de pilares

Respuesta: d = 56,1 mm

Carga crítica necesaria

P_cr = n·P = 2·30000 = 60000 N

KL = 1·4000 = 4000 mm

Despeja el diámetro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·60000·4000²/(π³·200000))^(1/4) = 56,1 mm

Respuesta

d = 56,1 mm

Comprobación: la esbeltez KL/r es 285,2, así que el pilar es esbelto y Euler es válido.

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