Resistencia de materiales: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 14 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Tensión y deformación axial

Tensión normal: σ = F/A
Deformación: ε = ΔL/L
Ley de Hooke: σ = E·ε
Alargamiento: ΔL = FL/(EA)
Deformación térmica: ε_T = α·ΔT

Torsión de ejes

Tensión cortante: τ = T·r/J
Eje macizo: J = πd⁴/32
Eje hueco: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ)
Potencia: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Halla el momento polar de inercia: J = πd⁴/32 para un eje macizo.
Tensión tangencial en la superficie: τ = T·r/J, con r el radio exterior.
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ) en radianes.
Si te dan la potencia, halla primero el par con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cortante y momento flector

Cortante y momento: V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
Tensión de flexión: σ = M·y/I
Rectángulo: I = bh³/12
Módulo resistente: W = I/y_max
Viga biapoyada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.

Centroide y momento de inercia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectángulo: I = bh³/12
Teorema de Steiner: I = I_c + A·d²
Sección compuesta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Radio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensiones principales: σ_1,2 = C ± R
Dirección principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcula el centro del círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcula el radio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Las tensiones principales son C ± R y la tensión tangencial máxima en el plano es R.
Los ángulos en el círculo son el doble que los ángulos en el elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flecha de la viga

Carga puntual en el centro del vano: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoyada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Voladizo, carga en el extremo: δ = PL³/(3EI)
Voladizo, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposición: δ = δ₁ + δ₂

Pandeo de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Factor de longitud de pandeo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 empotrado–empotrado, 0,7 empotrado–articulado, 2 empotrado–libre
Tensión crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Problemas de práctica

1.Tensión y deformación axialMedia

Halla la deformación axial ε en la barra de aluminio, en microdeformaciones (µε = 10⁻⁶).

P = 35 kNd = 30 mmL = 1,5 mE = 70 GPa

ε = µε

2.Tensión y deformación axialDifícil

Un tramo de acero (diámetro 25 mm, longitud 600 mm, E = 200 GPa) y un tramo de aluminio (diámetro 60 mm, longitud 400 mm, E = 70 GPa) se unen extremo con extremo y se fijan entre dos muros rígidos. Una carga axial de 80 kN actúa en la unión, hacia el tramo 2. Halla el valor de la tensión σ₂ en el tramo 2.

tramo 1: acero, Ø25 mm, 600 mm, E = 200 GPatramo 2: aluminio, Ø60 mm, 400 mm, E = 70 GPaP = 80 kN

σ₂ = MPa

3.Torsión de ejesMedia

Un eje macizo de acero está empotrado en la pared y se tuerce con un par T en su extremo libre. Halla el ángulo de torsión φ del extremo libre, en grados.

T = 500 N·md = 25 mmL = 2 mG = 80 GPa

φ = °

4.Torsión de ejesDifícil

Un eje hueco transmite 20 kW a 500 rpm. Halla la tensión cortante máxima τ_max en el eje.

P = 20 kWN = 500 rpmd_o = 50 mmd_i = 25 mm

τ_max = MPa

5.Cortante y momento flectorMedia

El voladizo está empotrado en A. Soporta una carga uniformemente repartida w en toda su longitud y una carga puntual P a 3,5 m de A. Halla el momento flector M_A en el empotramiento A. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.

L = 4 mP = 10 kN en 3,5 mw = 5 kN/m de 0 a 4 m

M_A = kN·m

6.Cortante y momento flectorDifícil

Halla el momento flector M_x en la sección x = 2 m desde el apoyo A. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.

L = 5 mP = 45 kN en 2 mw = 12 kN/m de 0 a 5 mx = 2 m

M_x = kN·m

7.Centroide y momento de inerciaMedia

Un tubo circular tiene un diámetro exterior D = 300 mm y un diámetro interior d = 268 mm. Halla su radio de giro r respecto al eje centroidal horizontal.

D = 300 mmd = 268 mm

r = mm

8.Centroide y momento de inerciaDifícil

Una sección en I simétrica tiene alas de 110 mm de ancho y 18 mm de espesor, un canto total de 360 mm y un alma de 12 mm de espesor. Soporta un momento flector de 40 kN·m respecto al eje x. Halla el valor de la tensión de flexión máxima σ_max en la sección.

B = 110 mmH = 360 mmt_f = 18 mmt_w = 12 mmM = 40 kN·m

σ_max = MPa

9.Círculo de Mohr y transformación de tensionesMedia

En un punto σₓ = 120 MPa y σᵧ = 10 MPa. ¿Hasta qué valor τ_xy (en valor absoluto) puede llegar la tensión cortante antes de que la tensión principal mayor alcance 160 MPa?

σ_x = 120 MPaσ_y = 10 MPaσ₁ = 160 MPa

τ_xy = MPa

10.Círculo de Mohr y transformación de tensionesDifícil

Un punto de una placa delgada está en tensión plana: σₓ = 10 MPa, σᵧ = 100 MPa y τₓᵧ = −40 MPa (σ_z = 0). El material tiene un límite elástico de 300 MPa. Halla el coeficiente de seguridad n frente a la plastificación según el criterio de Tresca (tensión cortante máxima).

σ_x = 10 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = −40 MPaσ_Y = 300 MPa

n =

11.Flecha de la vigaMedia

Un voladizo de longitud L está empotrado en A y soporta una carga puntual P a una distancia a = 1 m de A. Halla la flecha δ_B en el extremo libre B.

P = 11 kNa = 1 mL = 2 mE = 70 GPa (aluminio)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

12.Flecha de la vigaDifícil

Una viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida w. Su flecha no puede superar luz/360. Halla el momento de inercia mínimo I_req que cumple este límite.

w = 6 kN/mL = 6 mE = 70 GPa (aluminio)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.Pandeo de pilaresMedia

Un pilar de longitud L de acero está articulado en ambos extremos. Con la fórmula de Euler, halla su carga crítica de pandeo P_cr.

L = 4 mE = 200 GPa (acero)d = 25 mm

P_cr = kN

14.Pandeo de pilaresDifícil

Un pilar de longitud L de acero está articulado en ambos extremos. Halla su esbeltez y la tensión crítica de pandeo σ_cr con la fórmula de Euler.

L = 1 mE = 200 GPa (acero)d = 30 mm

σ_cr = MPa

3Disoluciones

1.Tensión y deformación axial

Respuesta: ε = 707,4 µε

Ley de Hooke: en el rango elástico σ = E·ε. Junto con σ = P/A y ε = δ/L se obtiene δ = PL/(AE).

Tensión

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 35·1000/706,9 = 49,51 MPa

Deformación (ley de Hooke)

E for aluminio = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 49,51/70000 = 0,0007074 = 707,4 µε

Respuesta

ε = 707,4 µε

2.Tensión y deformación axial

Respuesta: σ₂ = 21,26 MPa

Dos materiales: en serie (uno tras otro) cada tramo soporta la misma fuerza y los alargamientos se suman: δ = P·Σ L/(E·A). En paralelo (lado a lado entre placas rígidas) ambas partes se acortan lo mismo, así que sus deformaciones unitarias son iguales: la parte más rígida toma la mayor porción, P_i = P·E_iA_i/ΣEA, y σ_i = E_i·ε. Una barra sujeta entre dos muros rígidos con una carga en la unión es estáticamente indeterminada: los dos tramos se reparten la carga en proporción a su rigidez k = EA/L.

Rigideces

k₁ = 200000·490,9/600 = 163625 N/mm

k₂ = 70000·2827/400 = 494801 N/mm

Parte del tramo 2

F₂ = 80000·494801/658425 = 60119 N

Tensión

σ₂ = 60119/2827 = 21,26 MPa (compresión)

Respuesta

σ₂ = 21,26 MPa

3.Torsión de ejes

Respuesta: φ = 18,68 °

Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τ_max = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω.

Momento polar de inercia

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

Ángulo de torsión

φ = TL/(GJ) = 500·1000·2000/(80000·38350) = 0,3259 rad

φ = 0,3259·180/π = 18,68°

Respuesta

φ = 18,68°

4.Torsión de ejes

Respuesta: τ_max = 16,6 MPa

Par

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 20000/52,36 = 382 N·m

Momento polar de inercia

J = π(50⁴ − 25⁴)/32 = 575243 mm⁴

Tensión cortante máxima

τ_max = T·(d_o/2)/J = 381972·25/575243 = 16,6 MPa

Respuesta

τ_max = 16,6 MPa

5.Cortante y momento flector

Respuesta: M_A = −75 kN·m

Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte.

Quédate con la parte del extremo libre

P: −10·3,5 = −35 kN·m

w: −5·4²/2 = −40 kN·m

M_A = −35 − 40 = −75 kN·m

Respuesta

M_A = −75 kN·m

Negativo significa tracción en la cara superior.

6.Cortante y momento flector

Respuesta: M_x = 90 kN·m

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la viga.

Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 12·5 = 60 kN, aplicada en x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 45·2 + 12·5·2,5

R_B = 240/5 = 48 kN

ΣF_y = 0: R_A = 105 − 48 = 57 kN

Corta en x = 2 m y quédate con la parte izquierda

Solo aparecen las fuerzas a la izquierda del corte. Un tramo de carga repartida actúa como una fuerza en el centro de ese tramo.

M = R_A·x − (cada carga a la izquierda del corte × su distancia al corte)

M_x = 57·2 − 12·2·1 = 90 kN·m

Respuesta

M_x = 90 kN·m

7.Centroide y momento de inercia

Respuesta: r = 100,6 mm

Momento de inercia: para un rectángulo respecto a su propio eje centroidal I = bh³/12, y respecto a su base bh³/3 (teorema de Steiner I = I_c + A·d²). Un hueco se trata restando su I, siempre que ambas partes compartan el mismo eje. El módulo resistente elástico es S = I/c, donde c es la distancia a la fibra extrema. El radio de giro r = √(I/A) es la distancia a la que toda el área daría el mismo I; se usa en el pandeo de pilares.

Área neta y momento de inercia neto

A = π(D² − d²)/4 = 14275 mm²

I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 1,444 × 10⁸ mm⁴

Radio de giro

r = √(I/A) = √(1,444 × 10⁸/14275) = 100,6 mm

Respuesta

r = 100,6 mm

8.Centroide y momento de inercia

Respuesta: σ_max = 48,03 MPa

Áreas compuestas: divide la sección en rectángulos. El centroide es la media ponderada por áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. El momento de inercia respecto al eje que pasa por el centroide suma el bh³/12 propio de cada parte y su término de Steiner A·d², donde d es la distancia del centroide de la parte al centroide global. La tensión de flexión es σ = M·y/I.

Rectángulo exterior menos los dos huecos laterales

Los dos huecos juntos miden (B − t_w) de ancho y h_w = H − 2t_f de alto, y comparten el eje x.

h_w = 360 − 2·18 = 324 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (110·360³ − 98·324³)/12

I_x = 1,499 × 10⁸ mm⁴

Tensión de flexión

y = 180 mm

σ = M·y/I = 4 × 10⁷·180/1,499 × 10⁸ = 48,03 MPa

Respuesta

σ_max = 48,03 MPa

9.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: τ_xy = 77,46 MPa

Radio necesario

C = (120 + 10)/2 = 65 MPa

R = σ₁ − C = 160 − 65 = 95 MPa

Tensión cortante

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(95² − 55²) = 77,46 MPa

Respuesta

τ_xy = 77,46 MPa

10.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: n = 2,491

Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R. Criterios de plastificación: von Mises predice la plastificación cuando σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) alcanza σ_Y; Tresca, cuando la tensión cortante máxima absoluta alcanza σ_Y/2.

Tensiones principales

C = 55 MPa, R = 60,21 MPa

σ₁ = 115,2 MPa, σ₂ = −5,208 MPa, σ₃ = 0

Tresca

σ_max − σ_min = 120,4 MPa

n = 300/120,4 = 2,491

Respuesta

n = 2,491

n > 1 significa que el punto no plastifica; Tresca es algo más conservador que von Mises.

11.Flecha de la viga

Respuesta: δ_B = 2,297 mm

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 11000 N, a = 1000 mm, L = 2000 mm

EI = 3,99 × 10¹² N·mm²

Flecha en el extremo libre

Flecha en la carga más el giro en la carga por la longitud restante.

δ_P = Pa³/(3EI) = 0,919 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,001378 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 2,297 mm

Respuesta

δ_B = 2,297 mm

12.Flecha de la viga

Respuesta: I_req = 86,79 × 10⁶ mm⁴

Límite de flecha

δ_allow = L/360 = 6000/360 = 16,67 mm

Momento de inercia necesario

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·6·6000⁴/(384·70000·16,67) = 8,679 × 10⁷ mm⁴

I_req = 86,79 × 10⁶ mm⁴

Respuesta

I_req = 86,79 × 10⁶ mm⁴

13.Pandeo de pilares

Respuesta: P_cr = 2,366 kN

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en P_cr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Menor momento de inercia

Una sección circular tiene el mismo I respecto a cualquier eje.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Longitud de pandeo

KL = 1·4000 = 4000 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/4000² = 2366 N = 2,366 kN

Respuesta

P_cr = 2,366 kN

14.Pandeo de pilares

Respuesta: σ_cr = 111 MPa

Menor momento de inercia

Una sección circular tiene el mismo I respecto a cualquier eje.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

Radio de giro y esbeltez

A = 706,9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm

KL = 1·1000 = 1000 mm

KL/r = 1000/7,5 = 133,3

Tensión crítica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/133,3² = 111 MPa

Respuesta

σ_cr = 111 MPa

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