Tensión y deformación axial
- Tensión normal
- σ = F/A
- Deformación
- ε = ΔL/L
- Ley de Hooke
- σ = E·ε
- Alargamiento
- ΔL = FL/(EA)
- Deformación térmica
- εT = α·ΔT
Resistencia de materiales: pack de repaso
Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 14 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.
1Fórmulas y métodos
Torsión de ejes
- Tensión cortante
- τ = T·r/J
- Eje macizo
- J = πd⁴/32
- Eje hueco
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- Ángulo de torsión
- φ = TL/(GJ)
- Potencia
- P = T·ω = 2πnT/60
Método
- Halla el momento polar de inercia: J = πd⁴/32 para un eje macizo.
- Tensión tangencial en la superficie: τ = T·r/J, con r el radio exterior.
- Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ) en radianes.
- Si te dan la potencia, halla primero el par con P = T·ω, ω = 2πn/60.
Cortante y momento flector
- Cortante y momento
- V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
- Tensión de flexión
- σ = M·y/I
- Rectángulo
- I = bh³/12
- Módulo resistente
- W = I/ymax
- Viga biapoyada, carga uniforme
- Mmax = wL²/8
Método
- Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
- Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
- Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
- Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.
Centroide y momento de inercia
- Centroide
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- Rectángulo
- I = bh³/12
- Teorema de Steiner
- I = Ic + A·d²
- Sección compuesta
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
Círculo de Mohr y transformación de tensiones
- Centro
- C = (σx + σy)/2
- Radio
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- Tensiones principales
- σ1,2 = C ± R
- Dirección principal
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- Plano inclinado
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
Método
- Calcula el centro del círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
- Calcula el radio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- Las tensiones principales son C ± R y la tensión tangencial máxima en el plano es R.
- Los ángulos en el círculo son el doble que los ángulos en el elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
Flecha de la viga
- Carga puntual en el centro del vano
- δ = PL³/(48EI)
- Carga uniforme, viga biapoyada
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- Voladizo, carga en el extremo
- δ = PL³/(3EI)
- Voladizo, carga uniforme
- δ = wL⁴/(8EI)
- Superposición
- δ = δ1 + δ2
Pandeo de pilares
- Carga crítica de Euler
- Pcr = π²EI/(KL)²
- Factor de longitud de pandeo
- K = 1 articulado–articulado, 0,5 empotrado–empotrado, 0,7 empotrado–articulado, 2 empotrado–libre
- Tensión crítica
- σcr = Pcr/A
- Esbeltez
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2Problemas de práctica
1.Tensión y deformación axialMedia
Halla la deformación axial ε en la barra de latón, en microdeformaciones (µε = 10⁻⁶).
P = 15 kNd = 30 mmL = 1 mE = 100 GPa
ε = µε
2.Tensión y deformación axialDifícil
La barra escalonada está empotrada en la pared y cargada en su extremo libre. Halla la tensión normal máxima σmax en la barra.
P = 25 kNtramo 1: Ø35 mm, 2 m, aluminio (E = 70 GPa)tramo 2: Ø20 mm, 1,5 m, latón (E = 100 GPa)
σmax = MPa
3.Torsión de ejesMedia
Un eje macizo de acero está empotrado en la pared y se tuerce con un par T en su extremo libre. Halla el ángulo de torsión φ del extremo libre, en grados.
T = 750 N·md = 30 mmL = 1,5 mG = 80 GPa
φ = °
4.Torsión de ejesDifícil
Un eje macizo debe transmitir 50 kW a 750 rpm sin que la tensión cortante supere 50 MPa. Halla el diámetro mínimo d que sirve.
P = 50 kWN = 750 rpmτallow = 50 MPa
d = mm
5.Cortante y momento flectorMedia
La viga descansa sobre una articulación en A y un apoyo deslizante en B, y vuela 1 m más allá de B hasta el extremo libre C. Soporta una carga puntual P1 entre los apoyos y una carga puntual P2 en C. Halla el esfuerzo cortante Vx justo a la izquierda del apoyo B. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.
L = 6 mP1 = 60 kN en 1,5 mP2 = 80 kN en 6 mapoyos en x = 0 y x = 5 m
Vx = kN
6.Cortante y momento flectorDifícil
Halla el momento flector Mx en la sección x = 2 m desde el apoyo A. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.
L = 10 mP = 25 kN en 4 mw = 4 kN/m de 0 a 10 mx = 2 m
Mx = kN·m
7.Centroide y momento de inerciaMedia
Una placa de 120 mm × 150 mm tiene un agujero circular de diámetro 40 mm en su línea central vertical, con su centro a 60 mm por encima del fondo. Halla el momento de inercia Ix respecto al eje horizontal que pasa por el centroide.
b = 120 mmh = 150 mmd = 40 mmcentro del agujero: y = 60 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.Centroide y momento de inerciaDifícil
Una placa de 100 mm × 150 mm tiene un recorte rectangular de 60 mm de ancho y 50 mm de alto, centrado en la línea central vertical con su centro a 52,5 mm por encima del fondo. Halla el momento de inercia Ix respecto al eje horizontal que pasa por el centroide.
b = 100 mmh = 150 mmrecorte: 60 × 50 mmcentro del agujero: y = 52,5 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.Círculo de Mohr y transformación de tensionesMedia
En un punto σₓ = 80 MPa y σᵧ = −10 MPa. ¿Hasta qué valor τxy (en valor absoluto) puede llegar la tensión cortante antes de que la tensión principal mayor alcance 140 MPa?
σx = 80 MPaσy = −10 MPaσ1 = 140 MPa
τxy = MPa
10.Círculo de Mohr y transformación de tensionesDifícil
Un punto de una pieza cargada tiene σₓ = 20 MPa, σᵧ = 20 MPa y τₓᵧ = 30 MPa (tracción positiva). Halla la tensión normal σθ en un plano cuya normal está girada 60° en sentido antihorario respecto al eje x.
σx = 20 MPaσy = 20 MPaτxy = 30 MPaθ = 60°
σθ = MPa
11.Flecha de la vigaMedia
Una viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida w en toda su luz. Halla el giro θA de la viga en el apoyo A, en radianes.
w = 20 kN/mL = 6 mE = 70 GPa (aluminio)I = 57 × 10⁶ mm⁴
θA = rad
12.Flecha de la vigaDifícil
Una viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida w. Su flecha no puede superar luz/360. Halla el momento de inercia mínimo Ireq que cumple este límite.
w = 4 kN/mL = 2,5 mE = 70 GPa (aluminio)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.Pandeo de pilaresMedia
Un pilar de longitud L de acero está empotrado en ambos extremos. Con la fórmula de Euler, halla su carga crítica de pandeo Pcr.
L = 5 mE = 200 GPa (acero)b × h = 30 × 100 mm
Pcr = kN
14.Pandeo de pilaresDifícil
Un pilar de longitud L de acero está empotrado en la base y libre arriba. Halla su esbeltez y la tensión crítica de pandeo σcr con la fórmula de Euler.
L = 5 mE = 200 GPa (acero)d = 80 mm
σcr = MPa
3Disoluciones
1.Tensión y deformación axial
Respuesta: ε = 212,2 µε
Ley de Hooke: en el rango elástico σ = E·ε. Junto con σ = P/A y ε = δ/L se obtiene δ = PL/(AE).
Tensión
A = π·30²/4 = 706,9 mm²
σ = P/A = 15·1000/706,9 = 21,22 MPa
Deformación (ley de Hooke)
E for latón = 100 GPa = 100000 MPa.
ε = σ/E = 21,22/100000 = 0,0002122 = 212,2 µε
Respuesta
ε = 212,2 µε
2.Tensión y deformación axial
Respuesta: σmax = 79,58 MPa
Elementos con carga axial: cada tramo prismático cumple δ = PL/(AE). En tramos en serie los alargamientos se suman.
La misma fuerza en ambos tramos
El extremo libre soporta P, así que cada sección de la barra soporta el mismo esfuerzo axial P. Solo cambian las áreas y los materiales.
A1 = π·35²/4 = 962,1 mm², A2 = π·20²/4 = 314,2 mm²
σ1 = 25,98 MPa
σ2 = 79,58 MPa
Tensión máxima
El tramo más delgado tiene menos área, así que soporta la tensión mayor.
σmax = 79,58 MPa
Respuesta
σmax = 79,58 MPa
3.Torsión de ejes
Respuesta: φ = 10,13 °
Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τmax = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(do⁴ − di⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω.
Momento polar de inercia
J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴
Ángulo de torsión
φ = TL/(GJ) = 750·1000·1500/(80000·79522) = 0,1768 rad
φ = 0,1768·180/π = 10,13°
Respuesta
φ = 10,13°
4.Torsión de ejes
Respuesta: d = 40,18 mm
Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τmax = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(do⁴ − di⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω.
Par
ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s
T = P/ω = 50000/78,54 = 636,6 N·m
Diámetro a partir de la tensión admisible
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·636620/(π·50)) = 40,18 mm
Respuesta
d = 40,18 mm
En la práctica redondearías al siguiente tamaño normalizado.
5.Cortante y momento flector
Respuesta: Vx = −34 kN
Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte.
Reacciones en los apoyos
Equilibrio de toda la viga. La carga del voladizo también produce momento respecto a A.
ΣMA = 0: RB·5 = 60·1,5 + 80·6
RB = 570/5 = 114 kN
ΣFy = 0: RA = 140 − 114 = 26 kN
Corta justo a la izquierda de B y quédate con la parte izquierda
Vx = RA − P1 = 26 − 60 = −34 kN
Respuesta
Vx = −34 kN
6.Cortante y momento flector
Respuesta: Mx = 62 kN·m
Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte.
Reacciones en los apoyos
Equilibrio de toda la viga.
Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 4·10 = 40 kN, aplicada en x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 25·4 + 4·10·5
RB = 300/10 = 30 kN
ΣFy = 0: RA = 65 − 30 = 35 kN
Corta en x = 2 m y quédate con la parte izquierda
Solo aparecen las fuerzas a la izquierda del corte. Un tramo de carga repartida actúa como una fuerza en el centro de ese tramo.
M = RA·x − (cada carga a la izquierda del corte × su distancia al corte)
Mx = 35·2 − 4·2·1 = 62 kN·m
Respuesta
Mx = 62 kN·m
7.Centroide y momento de inercia
Respuesta: Ix = 33,32 × 10⁶ mm⁴
Secciones con huecos: trata un hueco como un área negativa. El centroide es ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), con A₁, y₁ para la placa completa y A₂, y₂ para el hueco. Para el momento de inercia (segundo momento de área) respecto al eje centroidal, usa el teorema de los ejes paralelos para cada parte y resta el hueco: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), donde d es la distancia del centroide propio de cada parte al eje que pasa por ȳ. Un rectángulo tiene Ic = bh³/12 y un círculo Ic = πd⁴/64.
Centroide
ȳ = (18000·75 − 1257·60)/(18000 − 1257) = 76,13 mm
Placa completa respecto a ȳ
120·150³/12 + 18000·−1,126² = 33,77 × 10⁶ mm⁴
Agujero respecto a ȳ
π·40⁴/64 + 1257·−16,13² = 0,4524 × 10⁶ mm⁴
Resta
Ix = 33,32 × 10⁶ mm⁴
Respuesta
Ix = 33,32 × 10⁶ mm⁴
8.Centroide y momento de inercia
Respuesta: Ix = 25,6 × 10⁶ mm⁴
Secciones con huecos: trata un hueco como un área negativa. El centroide es ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), con A₁, y₁ para la placa completa y A₂, y₂ para el hueco. Para el momento de inercia (segundo momento de área) respecto al eje centroidal, usa el teorema de los ejes paralelos para cada parte y resta el hueco: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), donde d es la distancia del centroide propio de cada parte al eje que pasa por ȳ. Un rectángulo tiene Ic = bh³/12 y un círculo Ic = πd⁴/64.
Centroide
ȳ = (15000·75 − 3000·52,5)/(15000 − 3000) = 80,63 mm
Placa completa respecto a ȳ
100·150³/12 + 15000·−5,625² = 28,6 × 10⁶ mm⁴
Agujero respecto a ȳ
60·50³/12 + 3000·−28,13² = 2,998 × 10⁶ mm⁴
Resta
Ix = 25,6 × 10⁶ mm⁴
Respuesta
Ix = 25,6 × 10⁶ mm⁴
9.Círculo de Mohr y transformación de tensiones
Respuesta: τxy = 94,87 MPa
Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R.
Radio necesario
C = (80 + (−10))/2 = 35 MPa
R = σ1 − C = 140 − 35 = 105 MPa
Tensión cortante
τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(105² − 45²) = 94,87 MPa
Respuesta
τxy = 94,87 MPa
10.Círculo de Mohr y transformación de tensiones
Respuesta: σθ = 45,98 MPa
Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R.
Ecuación de transformación
σθ = 20 + 0·−0,5 + 30·0,866 = 45,98 MPa
Respuesta
σθ = 45,98 MPa
11.Flecha de la viga
Respuesta: θA = 0,04511 rad
Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición). El giro θ = dv/dx es la primera integral de M/(EI); con unidades coherentes sale en radianes.
Unidades coherentes
Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.
w = 20 N/mm, L = 6000 mm
EI = 3,99 × 10¹² N·mm²
Giro en el extremo
θA = wL³/(24EI) = 20·6000³/(24·3,99 × 10¹²) = 0,04511 rad
Respuesta
θA = 0,04511 rad
Eso son 2,585°.
12.Flecha de la viga
Respuesta: Ireq = 4,185 × 10⁶ mm⁴
Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).
Límite de flecha
δallow = L/360 = 2500/360 = 6,944 mm
Momento de inercia necesario
I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·4·2500⁴/(384·70000·6,944) = 4,185 × 10⁶ mm⁴
Ireq = 4,185 × 10⁶ mm⁴
Respuesta
Ireq = 4,185 × 10⁶ mm⁴
13.Pandeo de pilares
Respuesta: Pcr = 71,06 kN
Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en Pcr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.
Menor momento de inercia
Un rectángulo pandea respecto a su eje débil, usando la dimensión menor al cubo.
Imin = h·b³/12 = 100·30³/12 = 225000 mm⁴
Longitud de pandeo
KL = 0,5·5000 = 2500 mm
Carga crítica
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·225000/2500² = 71061 N = 71,06 kN
Respuesta
Pcr = 71,06 kN
14.Pandeo de pilares
Respuesta: σcr = 7,896 MPa
Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en Pcr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.
Menor momento de inercia
Una sección circular tiene el mismo I respecto a cualquier eje.
I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴
Radio de giro y esbeltez
A = 5027 mm²
r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm
KL = 2·5000 = 10000 mm
KL/r = 10000/20 = 500
Tensión crítica
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/500² = 7,896 MPa
Respuesta
σcr = 7,896 MPa
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