Tensión y deformación axial
- Tensión normal
- σ = F/A
- Deformación
- ε = ΔL/L
- Ley de Hooke
- σ = E·ε
- Alargamiento
- ΔL = FL/(EA)
- Deformación térmica
- εT = α·ΔT
Resistencia de materiales: pack de repaso
Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 14 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.
1Fórmulas y métodos
Torsión de ejes
- Tensión cortante
- τ = T·r/J
- Eje macizo
- J = πd⁴/32
- Eje hueco
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- Ángulo de torsión
- φ = TL/(GJ)
- Potencia
- P = T·ω = 2πnT/60
Método
- Halla el momento polar de inercia: J = πd⁴/32 para un eje macizo.
- Tensión tangencial en la superficie: τ = T·r/J, con r el radio exterior.
- Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ) en radianes.
- Si te dan la potencia, halla primero el par con P = T·ω, ω = 2πn/60.
Cortante y momento flector
- Cortante y momento
- V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
- Tensión de flexión
- σ = M·y/I
- Rectángulo
- I = bh³/12
- Módulo resistente
- W = I/ymax
- Viga biapoyada, carga uniforme
- Mmax = wL²/8
Método
- Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
- Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
- Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
- Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.
Centroide y momento de inercia
- Centroide
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- Rectángulo
- I = bh³/12
- Teorema de Steiner
- I = Ic + A·d²
- Sección compuesta
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
Círculo de Mohr y transformación de tensiones
- Centro
- C = (σx + σy)/2
- Radio
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- Tensiones principales
- σ1,2 = C ± R
- Dirección principal
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- Plano inclinado
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
Método
- Calcula el centro del círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
- Calcula el radio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- Las tensiones principales son C ± R y la tensión tangencial máxima en el plano es R.
- Los ángulos en el círculo son el doble que los ángulos en el elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
Flecha de la viga
- Carga puntual en el centro del vano
- δ = PL³/(48EI)
- Carga uniforme, viga biapoyada
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- Voladizo, carga en el extremo
- δ = PL³/(3EI)
- Voladizo, carga uniforme
- δ = wL⁴/(8EI)
- Superposición
- δ = δ1 + δ2
Pandeo de pilares
- Carga crítica de Euler
- Pcr = π²EI/(KL)²
- Factor de longitud de pandeo
- K = 1 articulado–articulado, 0,5 empotrado–empotrado, 0,7 empotrado–articulado, 2 empotrado–libre
- Tensión crítica
- σcr = Pcr/A
- Esbeltez
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2Problemas de práctica
1.Tensión y deformación axialMedia
Una varilla de acero (diámetro 30 mm, E = 200 GPa) está dentro de un tubo de bronce (diámetro exterior 80 mm, diámetro interior 60 mm, E = 110 GPa). Ambos miden 800 mm de largo y se comprimen juntos entre placas rígidas con 200 kN. Halla el acortamiento δ.
P = 200 kNbarra: Ø30 mm, E = 200 GPatubo: Ø80/Ø60 mm, E = 110 GPaL = 800 mm
δ = mm
2.Tensión y deformación axialDifícil
La barra escalonada está empotrada en la pared y cargada en su extremo libre. Halla el alargamiento total δ.
P = 25 kNtramo 1: Ø40 mm, 1,5 m, aluminio (E = 70 GPa)tramo 2: Ø12 mm, 2 m, aluminio (E = 70 GPa)
δ = mm
3.Torsión de ejesMedia
En un ensayo de torsión, una probeta maciza de 10 mm de diámetro se tuerce con un par de 30 N·m. Los dos extremos de una longitud de medida de 400 mm giran 8,75° uno respecto al otro (el material sigue en régimen elástico). Halla el módulo de elasticidad transversal G del material.
T = 30 N·md = 10 mmL = 400 mmφ = 8,75°
G = GPa
4.Torsión de ejesDifícil
Un eje hueco transmite 50 kW a 1800 rpm. Halla la tensión cortante máxima τmax en el eje.
P = 50 kWN = 1800 rpmdo = 50 mmdi = 25 mm
τmax = MPa
5.Cortante y momento flectorMedia
La viga simplemente apoyada soporta dos cargas puntuales. Halla el momento flector máximo Mmax en la viga.
L = 5 mP1 = 40 kN en 3 mP2 = 50 kN en 4 m
Mmax = kN·m
6.Cortante y momento flectorDifícil
Halla el momento flector Mx en la sección x = 2,5 m desde el apoyo A. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.
L = 10 mP = 35 kN en 6 mw = 8 kN/m de 0 a 10 mx = 2,5 m
Mx = kN·m
7.Centroide y momento de inerciaMedia
Un tubo circular tiene un diámetro exterior D = 150 mm y un diámetro interior d = 138 mm. Halla su radio de giro r respecto al eje centroidal horizontal.
D = 150 mmd = 138 mm
r = mm
8.Centroide y momento de inerciaDifícil
La sección en T se usa como viga con el ala arriba y soporta un momento flector positivo de 25 kN·m. Halla el valor de la tensión de flexión σsuperior en el borde superior.
bf = 100 mmtf = 30 mmtw = 14 mmhw = 260 mmM = 25 kN·m
σsuperior = MPa
9.Círculo de Mohr y transformación de tensionesMedia
En un punto σₓ = 110 MPa y σᵧ = 50 MPa. ¿Hasta qué valor τxy (en valor absoluto) puede llegar la tensión cortante antes de que la tensión principal mayor alcance 135 MPa?
σx = 110 MPaσy = 50 MPaσ1 = 135 MPa
τxy = MPa
10.Círculo de Mohr y transformación de tensionesDifícil
Un punto de una pieza cargada tiene σₓ = −20 MPa, σᵧ = −10 MPa y τₓᵧ = −40 MPa (tracción positiva). Halla la tensión normal σθ en un plano cuya normal está girada 45° en sentido antihorario respecto al eje x.
σx = −20 MPaσy = −10 MPaτxy = −40 MPaθ = 45°
σθ = MPa
11.Flecha de la vigaMedia
Una viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida w en toda su luz. Halla la flecha máxima δmax, en el centro del vano.
w = 20 kN/mL = 1,5 mE = 11 GPa (madera estructural)I = 12 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
12.Flecha de la vigaDifícil
Una viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida w. Su flecha no puede superar luz/360. Halla el momento de inercia mínimo Ireq que cumple este límite.
w = 5 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (acero)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.Pandeo de pilaresMedia
Un pilar de longitud L de acero está empotrado en la base y libre arriba. Con la fórmula de Euler, halla su carga crítica de pandeo Pcr.
L = 6 mE = 200 GPa (acero)d = 60 mm
Pcr = kN
14.Pandeo de pilaresDifícil
Un pilar macizo circular de longitud L de aluminio está empotrado en la base y articulado arriba. Debe soportar 70 kN con un coeficiente de seguridad de 3 frente al pandeo. Halla el diámetro mínimo d.
P = 70 kNn = 3L = 6 mE = 70 GPa (aluminio)
d = mm
3Disoluciones
1.Tensión y deformación axial
Respuesta: δ = 0,4175 mm
Dos materiales: en serie (uno tras otro) cada tramo soporta la misma fuerza y los alargamientos se suman: δ = P·Σ L/(E·A). En paralelo (lado a lado entre placas rígidas) ambas partes se acortan lo mismo, así que sus deformaciones unitarias son iguales: la parte más rígida toma la mayor porción, Pi = P·EiAi/ΣEA, y σi = Ei·ε. Una barra sujeta entre dos muros rígidos con una carga en la unión es estáticamente indeterminada: los dos tramos se reparten la carga en proporción a su rigidez k = EA/L.
Áreas
Ar = π·30²/4 = 706,9 mm²
At = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²
Rigidez axial combinada
ΣEA = 200·10³·706,9 + 110·10³·2199 = 3,833 × 10⁸ N
Acortamiento
δ = 200000·800/3,833 × 10⁸ = 0,4175 mm
Respuesta
δ = 0,4175 mm
2.Tensión y deformación axial
Respuesta: δ = 6,742 mm
Elementos con carga axial: cada tramo prismático cumple δ = PL/(AE). En tramos en serie los alargamientos se suman.
La misma fuerza en ambos tramos
El extremo libre soporta P, así que cada sección de la barra soporta el mismo esfuerzo axial P. Solo cambian las áreas y los materiales.
A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·12²/4 = 113,1 mm²
σ1 = 19,89 MPa
σ2 = 221 MPa
Suma los alargamientos de los tramos
δ1 = σ1L1/E1 = 19,89·1500/70000 = 0,4263 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 221·2000/70000 = 6,316 mm
δ = δ1 + δ2 = 6,742 mm
Respuesta
δ = 6,742 mm
3.Torsión de ejes
Respuesta: G = 80,04 GPa
Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τmax = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(do⁴ − di⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω.
Momento polar y ángulo
J = π·10⁴/32 = 981,7 mm⁴
φ = 8,75·π/180 = 0,1527 rad
Módulo de elasticidad transversal
T = 30 N·m = 30000 N·mm
G = TL/(Jφ) = 30000·400/(981,7·0,1527) = 80038 MPa
G = 80,04 GPa
Respuesta
G = 80,04 GPa
Compara: acero ≈ 80 GPa, latón ≈ 39 GPa, aluminio ≈ 26 GPa.
4.Torsión de ejes
Respuesta: τmax = 11,53 MPa
Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τmax = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(do⁴ − di⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω.
Par
ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s
T = P/ω = 50000/188,5 = 265,3 N·m
Momento polar de inercia
J = π(50⁴ − 25⁴)/32 = 575243 mm⁴
Tensión cortante máxima
τmax = T·(do/2)/J = 265258·25/575243 = 11,53 MPa
Respuesta
τmax = 11,53 MPa
5.Cortante y momento flector
Respuesta: Mmax = 78 kN·m
Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte. Momento máximo: como dM/dx = V, el momento flector alcanza su máximo donde el cortante pasa por cero, ya sea en una carga puntual o dentro de una carga repartida.
Reacciones en los apoyos
Equilibrio de toda la viga.
ΣMA = 0: RB·5 = 40·3 + 50·4
RB = 320/5 = 64 kN
ΣFy = 0: RA = 90 − 64 = 26 kN
Momento bajo cada carga
Quédate con la parte a la izquierda de cada carga.
bajo P1: M = RA·3 = 26·3 = 78 kN·m
bajo P2: M = RB·1 = 64·1 = 64 kN·m
Valor máximo
Mmax = 78 kN·m (bajo P1)
Respuesta
Mmax = 78 kN·m
6.Cortante y momento flector
Respuesta: Mx = 110 kN·m
Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte.
Reacciones en los apoyos
Equilibrio de toda la viga.
Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 8·10 = 80 kN, aplicada en x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 35·6 + 8·10·5
RB = 610/10 = 61 kN
ΣFy = 0: RA = 115 − 61 = 54 kN
Corta en x = 2,5 m y quédate con la parte izquierda
Solo aparecen las fuerzas a la izquierda del corte. Un tramo de carga repartida actúa como una fuerza en el centro de ese tramo.
M = RA·x − (cada carga a la izquierda del corte × su distancia al corte)
Mx = 54·2,5 − 8·2,5·1,25 = 110 kN·m
Respuesta
Mx = 110 kN·m
7.Centroide y momento de inercia
Respuesta: r = 50,96 mm
Momento de inercia: para un rectángulo respecto a su propio eje centroidal I = bh³/12, y respecto a su base bh³/3 (teorema de Steiner I = Ic + A·d²). Un hueco se trata restando su I, siempre que ambas partes compartan el mismo eje. El módulo resistente elástico es S = I/c, donde c es la distancia a la fibra extrema. El radio de giro r = √(I/A) es la distancia a la que toda el área daría el mismo I; se usa en el pandeo de pilares.
Área neta y momento de inercia neto
A = π(D² − d²)/4 = 2714 mm²
I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 7,048 × 10⁶ mm⁴
Radio de giro
r = √(I/A) = √(7,048 × 10⁶/2714) = 50,96 mm
Respuesta
r = 50,96 mm
8.Centroide y momento de inercia
Respuesta: σsuperior = 42,71 MPa
Áreas compuestas: divide la sección en rectángulos. El centroide es la media ponderada por áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. El momento de inercia respecto al eje que pasa por el centroide suma el bh³/12 propio de cada parte y su término de Steiner A·d², donde d es la distancia del centroide de la parte al centroide global. La tensión de flexión es σ = M·y/I.
Divide en dos rectángulos
Mide cada y desde el borde inferior.
ala: Af = 100·30 = 3000 mm², yf = 260 + 30/2 = 275 mm
alma: Aw = 14·260 = 3640 mm², yw = 260/2 = 130 mm
Centroide
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (3000·275 + 3640·130)/6640 = 195,5 mm
Teorema de Steiner
ala: 100·30³/12 + 3000·(275 − 195,5)² = 1,918 × 10⁷ mm⁴
alma: 14·260³/12 + 3640·(130 − 195,5)² = 3,613 × 10⁷ mm⁴
Ix = 1,918 × 10⁷ + 3,613 × 10⁷ = 5,531 × 10⁷ mm⁴
Tensión de flexión
El borde superior está a h − ȳ del eje.
y = 290 − 195,5 = 94,49 mm
σ = M·y/I = 2,5 × 10⁷·94,49/5,531 × 10⁷ = 42,71 MPa
Respuesta
σsuperior = 42,71 MPa
9.Círculo de Mohr y transformación de tensiones
Respuesta: τxy = 46,1 MPa
Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R.
Radio necesario
C = (110 + 50)/2 = 80 MPa
R = σ1 − C = 135 − 80 = 55 MPa
Tensión cortante
τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(55² − 30²) = 46,1 MPa
Respuesta
τxy = 46,1 MPa
10.Círculo de Mohr y transformación de tensiones
Respuesta: σθ = −55 MPa
Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R.
Ecuación de transformación
σθ = −15 + −5·0 + −40·1 = −55 MPa
Respuesta
σθ = −55 MPa
11.Flecha de la viga
Respuesta: δmax = 9,988 mm
Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).
Unidades coherentes
Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.
w = 20 N/mm, L = 1500 mm
EI = 1,32 × 10¹¹ N·mm²
Flecha
δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·1500⁴/(384·1,32 × 10¹¹) = 9,988 mm
Respuesta
δmax = 9,988 mm
12.Flecha de la viga
Respuesta: Ireq = 7,5 × 10⁶ mm⁴
Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).
Límite de flecha
δallow = L/360 = 4000/360 = 11,11 mm
Momento de inercia necesario
I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·5·4000⁴/(384·200000·11,11) = 7,5 × 10⁶ mm⁴
Ireq = 7,5 × 10⁶ mm⁴
Respuesta
Ireq = 7,5 × 10⁶ mm⁴
13.Pandeo de pilares
Respuesta: Pcr = 8,721 kN
Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en Pcr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.
Menor momento de inercia
Una sección circular tiene el mismo I respecto a cualquier eje.
I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴
Longitud de pandeo
KL = 2·6000 = 12000 mm
Carga crítica
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/12000² = 8721 N = 8,721 kN
Respuesta
Pcr = 8,721 kN
14.Pandeo de pilares
Respuesta: d = 102,2 mm
Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en Pcr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.
Carga crítica necesaria
Pcr = n·P = 3·70000 = 210000 N
KL = 0,7·6000 = 4200 mm
Despeja el diámetro
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·210000·4200²/(π³·70000))^(1/4) = 102,2 mm
Respuesta
d = 102,2 mm
Comprobación: la esbeltez KL/r es 164,3, así que el pilar es esbelto y Euler es válido.
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