Resistencia de materiales: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 14 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

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1Fórmulas y métodos

Tensión y deformación axial

Tensión normal: σ = F/A
Deformación: ε = ΔL/L
Ley de Hooke: σ = E·ε
Alargamiento: ΔL = FL/(EA)
Deformación térmica: ε_T = α·ΔT

Torsión de ejes

Tensión cortante: τ = T·r/J
Eje macizo: J = πd⁴/32
Eje hueco: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ)
Potencia: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Halla el momento polar de inercia: J = πd⁴/32 para un eje macizo.
Tensión tangencial en la superficie: τ = T·r/J, con r el radio exterior.
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ) en radianes.
Si te dan la potencia, halla primero el par con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cortante y momento flector

Cortante y momento: V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
Tensión de flexión: σ = M·y/I
Rectángulo: I = bh³/12
Módulo resistente: W = I/y_max
Viga biapoyada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.

Centroide y momento de inercia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectángulo: I = bh³/12
Teorema de Steiner: I = I_c + A·d²
Sección compuesta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Radio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensiones principales: σ_1,2 = C ± R
Dirección principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcula el centro del círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcula el radio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Las tensiones principales son C ± R y la tensión tangencial máxima en el plano es R.
Los ángulos en el círculo son el doble que los ángulos en el elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flecha de la viga

Carga puntual en el centro del vano: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoyada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Voladizo, carga en el extremo: δ = PL³/(3EI)
Voladizo, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposición: δ = δ₁ + δ₂

Pandeo de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Factor de longitud de pandeo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 empotrado–empotrado, 0,7 empotrado–articulado, 2 empotrado–libre
Tensión crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Problemas de práctica

1.Tensión y deformación axialMedia

Halla la deformación axial ε en la barra de cobre, en microdeformaciones (µε = 10⁻⁶).

P = 80 kNd = 16 mmL = 3 mE = 117 GPa

ε = µε

2.Tensión y deformación axialDifícil

La barra escalonada está empotrada en la pared y cargada en su extremo libre. Halla el alargamiento total δ.

P = 65 kNtramo 1: Ø30 mm, 0,5 m, latón (E = 100 GPa)tramo 2: Ø12 mm, 0,5 m, latón (E = 100 GPa)

δ = mm

3.Torsión de ejesMedia

Un eje macizo de aluminio está empotrado en la pared y se tuerce con un par T en su extremo libre. Halla el ángulo de torsión φ del extremo libre, en grados.

T = 500 N·md = 40 mmL = 1,5 mG = 26 GPa

φ = °

4.Torsión de ejesDifícil

Un eje hueco debe transmitir 15 kW a 500 rpm. Su diámetro interior debe ser 0,5 veces su diámetro exterior, y la tensión cortante no debe superar 40 MPa. Halla el diámetro exterior mínimo d_o.

P = 15 kWN = 500 rpmd_i/d_o = 0,5τ_allow = 40 MPa

d_o = mm

5.Cortante y momento flectorMedia

Las marcas A a G dividen la viga en seis partes iguales. ¿En qué marca es mayor el momento flector en valor absoluto, positivo o negativo? Haz clic en ella en el diagrama.

50 kN @ 4 m6 kN/m, 0–5 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Cortante y momento flectorDifícil

La viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida w en toda su luz y una carga puntual P. Halla el momento flector máximo M_max en la viga.

L = 8 mP = 60 kN en 4 mw = 8 kN/m de 0 a 8 m

M_max = kN·m

7.Centroide y momento de inerciaMedia

Una placa de 120 mm × 150 mm tiene un agujero circular de diámetro 30 mm en su línea central vertical, con su centro a 45 mm por encima del fondo. Halla el momento de inercia I_x respecto al eje horizontal que pasa por el centroide.

b = 120 mmh = 150 mmd = 30 mmcentro del agujero: y = 45 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centroide y momento de inerciaDifícil

Una sección en I simétrica tiene alas de 120 mm de ancho y 24 mm de espesor, un canto total de 480 mm y un alma de 14 mm de espesor. Soporta un momento flector de 120 kN·m respecto al eje x. Halla el valor de la tensión de flexión σ_j en la unión del alma con el ala superior.

B = 120 mmH = 480 mmt_f = 24 mmt_w = 14 mmM = 120 kN·m

σ_j = MPa

9.Círculo de Mohr y transformación de tensionesMedia

Un punto de una pieza cargada tiene σₓ = 120 MPa, σᵧ = 20 MPa y τₓᵧ = 10 MPa (tracción positiva). Halla la tensión cortante máxima en el plano τ_max.

σ_x = 120 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = 10 MPa

τ_max = MPa

10.Círculo de Mohr y transformación de tensionesDifícil

Un depósito cilíndrico de pared delgada, con un diámetro interior de 400 mm y un espesor de pared de 5 mm, contiene gas a una presión manométrica de 0,8 MPa. Está fabricado con chapa soldada a lo largo de una costura helicoidal a 60° del eje del cilindro. Halla el valor de la tensión cortante |τ_n| que actúa a lo largo de la costura de soldadura.

D = 400 mmt = 5 mmp = 0,8 MPaα = 60°

|τ_n| = MPa

11.Flecha de la vigaMedia

Una viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida w en toda su luz. Halla la flecha máxima δ_max, en el centro del vano.

w = 8 kN/mL = 2,5 mE = 200 GPa (acero)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.Flecha de la vigaDifícil

Una viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida w y una carga puntual P en el centro del vano. Usando superposición, halla la flecha en el centro δ_max.

P = 4 kNw = 8 kN/mL = 2,5 mE = 11 GPa (madera estructural)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Pandeo de pilaresMedia

Un pilar de longitud L de aluminio está empotrado en la base y articulado arriba. Con la fórmula de Euler, halla su carga crítica de pandeo P_cr.

L = 1,5 mE = 70 GPa (aluminio)d = 40 mm

P_cr = kN

14.Pandeo de pilaresDifícil

Un pilar macizo circular de longitud L de acero está empotrado en la base y libre arriba. Debe soportar 125 kN con un coeficiente de seguridad de 2 frente al pandeo. Halla el diámetro mínimo d.

P = 125 kNn = 2L = 2,5 mE = 200 GPa (acero)

d = mm

3Disoluciones

1.Tensión y deformación axial

Respuesta: ε = 3401 µε

Ley de Hooke: en el rango elástico σ = E·ε. Junto con σ = P/A y ε = δ/L se obtiene δ = PL/(AE).

Tensión

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 80·1000/201,1 = 397,9 MPa

Deformación (ley de Hooke)

E for cobre = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 397,9/117000 = 0,003401 = 3401 µε

Respuesta

ε = 3401 µε

2.Tensión y deformación axial

Respuesta: δ = 3,333 mm

Elementos con carga axial: cada tramo prismático cumple δ = PL/(AE). En tramos en serie los alargamientos se suman.

La misma fuerza en ambos tramos

El extremo libre soporta P, así que cada sección de la barra soporta el mismo esfuerzo axial P. Solo cambian las áreas y los materiales.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 91,96 MPa

σ₂ = 574,7 MPa

Suma los alargamientos de los tramos

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 91,96·500/100000 = 0,4598 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 574,7·500/100000 = 2,874 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 3,333 mm

Respuesta

δ = 3,333 mm

3.Torsión de ejes

Respuesta: φ = 6,576 °

Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τ_max = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω.

Momento polar de inercia

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Ángulo de torsión

φ = TL/(GJ) = 500·1000·1500/(26000·251327) = 0,1148 rad

φ = 0,1148·180/π = 6,576°

Respuesta

φ = 6,576°

4.Torsión de ejes

Respuesta: d_o = 33,89 mm

Par

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 15000/52,36 = 286,5 N·m

Diámetro exterior a partir de la tensión admisible

T = 286,5 N·m = 286479 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,5⁴ = 0,9375

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·286479/(π·40·0,9375)) = 33,89 mm

d_i = 0,5·33,89 = 16,94 mm

Respuesta

d_o = 33,89 mm

Un eje macizo necesitaría d = 33,16 mm; el hueco es algo mayor pero mucho más ligero.

5.Cortante y momento flector

Respuesta: E (x = 4 m)

Mayor momento flector: M cambia de pendiente allí donde cambia el esfuerzo cortante, así que sus picos están donde el esfuerzo cortante cruza el cero: bajo una carga puntual, dentro de una carga distribuida, o sobre un apoyo de un voladizo. En el empotramiento de una ménsula, el momento es máximo en la pared. Compara el valor de M en esos lugares, positivo o negativo.

Reacciones en los apoyos

Toma momentos respecto a un apoyo y luego usa el equilibrio de fuerzas verticales.

R₁ = 34,17 kN, R₂ = 45,83 kN

Momento flector en cada marca

Suma los momentos de todas las fuerzas a un lado del corte. El momento positivo hace que la viga se comba hacia abajo; el negativo, hacia arriba.

M_A = 0, M_B = 31,17, M_C = 56,33, M_D = 75,5, M_E = 88,67 kN·m, M_F = 45,83, M_G = 0

Respuesta

Marca E: M_E = 88,67 kN·m

6.Cortante y momento flector

Respuesta: M_max = 184 kN·m

Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte. Momento máximo: como dM/dx = V, el momento flector alcanza su máximo donde el cortante pasa por cero, ya sea en una carga puntual o dentro de una carga repartida.

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la viga.

Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 8·8 = 64 kN, aplicada en x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 60·4 + 8·8·4

R_B = 496/8 = 62 kN

ΣF_y = 0: R_A = 124 − 62 = 62 kN

¿Dónde es V = 0?

V(4⁻) = R_A − w·4 = 30 kN

V(4⁺) = 30 − 60 = −30 kN

El cortante cambia de signo en la carga, así que el máximo está bajo la carga.

Momento máximo

M_max = R_A·4 − w·4²/2 = 62·4 − 8·4²/2 = 184 kN·m

Respuesta

M_max = 184 kN·m

Se produce en x = 4 m desde A.

7.Centroide y momento de inercia

Respuesta: I_x = 33,05 × 10⁶ mm⁴

Secciones con huecos: trata un hueco como un área negativa. El centroide es ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), con A₁, y₁ para la placa completa y A₂, y₂ para el hueco. Para el momento de inercia (segundo momento de área) respecto al eje centroidal, usa el teorema de los ejes paralelos para cada parte y resta el hueco: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), donde d es la distancia del centroide propio de cada parte al eje que pasa por ȳ. Un rectángulo tiene I_c = bh³/12 y un círculo I_c = πd⁴/64.

Centroide

ȳ = (18000·75 − 706,9·45)/(18000 − 706,9) = 76,23 mm

Placa completa respecto a ȳ

120·150³/12 + 18000·−1,226² = 33,78 × 10⁶ mm⁴

Agujero respecto a ȳ

π·30⁴/64 + 706,9·−31,23² = 0,729 × 10⁶ mm⁴

Resta

I_x = 33,05 × 10⁶ mm⁴

Respuesta

I_x = 33,05 × 10⁶ mm⁴

8.Centroide y momento de inercia

Respuesta: σ_j = 65,83 MPa

Áreas compuestas: divide la sección en rectángulos. El centroide es la media ponderada por áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. El momento de inercia respecto al eje que pasa por el centroide suma el bh³/12 propio de cada parte y su término de Steiner A·d², donde d es la distancia del centroide de la parte al centroide global. La tensión de flexión es σ = M·y/I.

Rectángulo exterior menos los dos huecos laterales

Los dos huecos juntos miden (B − t_w) de ancho y h_w = H − 2t_f de alto, y comparten el eje x.

h_w = 480 − 2·24 = 432 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (120·480³ − 106·432³)/12

I_x = 3,938 × 10⁸ mm⁴

Tensión de flexión

y = 240 − 24 = 216 mm

σ = M·y/I = 1,2 × 10⁸·216/3,938 × 10⁸ = 65,83 MPa

Respuesta

σ_j = 65,83 MPa

9.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: τ_max = 50,99 MPa

Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R.

Radio del círculo de Mohr

τ_max = R = √(((120 − 20)/2)² + 10²) = 50,99 MPa

Respuesta

τ_max = 50,99 MPa

10.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: |τ_n| = 6,928 MPa

Tensiones en la pared

r = 400/2 = 200 mm

σ_h = pr/t = 0,8·200/5 = 32 MPa

σ_a = pr/(2t) = 16 MPa

Transforma a la costura

Toma x a lo largo del eje (σ_a) e y en dirección circunferencial (σ_h). La normal de la costura forma 90° − α con el eje.

|τ_n| = (32 − 16)·sin 60°·cos 60° = 6,928 MPa

Respuesta

|τ_n| = 6,928 MPa

11.Flecha de la viga

Respuesta: δ_max = 1,695 mm

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

w = 8 N/mm, L = 2500 mm

EI = 2,4 × 10¹² N·mm²

Flecha

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·2500⁴/(384·2,4 × 10¹²) = 1,695 mm

Respuesta

δ_max = 1,695 mm

12.Flecha de la viga

Respuesta: δ_max = 4,069 mm

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 4000 N, w = 8 N/mm, L = 2500 mm, EI = 1,32 × 10¹² N·mm²

Cada carga por separado

δ_P = PL³/(48EI) = 4000·2500³/(48·1,32 × 10¹²) = 0,9864 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·2500⁴/(384·1,32 × 10¹²) = 3,083 mm

Súmalas

δ_max = 0,9864 + 3,083 = 4,069 mm

Respuesta

δ_max = 4,069 mm

13.Pandeo de pilares

Respuesta: P_cr = 78,75 kN

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en P_cr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Menor momento de inercia

Una sección circular tiene el mismo I respecto a cualquier eje.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

Longitud de pandeo

KL = 0,7·1500 = 1050 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/1050² = 78746 N = 78,75 kN

Respuesta

P_cr = 78,75 kN

14.Pandeo de pilares

Respuesta: d = 89,62 mm

Carga crítica necesaria

P_cr = n·P = 2·125000 = 250000 N

KL = 2·2500 = 5000 mm

Despeja el diámetro

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·250000·5000²/(π³·200000))^(1/4) = 89,62 mm

Respuesta

d = 89,62 mm

Comprobación: la esbeltez KL/r es 223,2, así que el pilar es esbelto y Euler es válido.

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