Resistencia de materiales: pack de repaso

Hojas de fórmulas, los pasos clave de los métodos de cada tema y 14 problemas de práctica, con las soluciones completas al final.

Problemas nuevos Volver a la asignatura

En la ventana de impresión, elige «Guardar como PDF» para conservar una copia en tu dispositivo.

1Fórmulas y métodos

Tensión y deformación axial

Tensión normal: σ = F/A
Deformación: ε = ΔL/L
Ley de Hooke: σ = E·ε
Alargamiento: ΔL = FL/(EA)
Deformación térmica: ε_T = α·ΔT

Torsión de ejes

Tensión cortante: τ = T·r/J
Eje macizo: J = πd⁴/32
Eje hueco: J = π(D⁴ − d⁴)/32
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ)
Potencia: P = T·ω = 2πnT/60

Método

Halla el momento polar de inercia: J = πd⁴/32 para un eje macizo.
Tensión tangencial en la superficie: τ = T·r/J, con r el radio exterior.
Ángulo de torsión: φ = TL/(GJ) en radianes.
Si te dan la potencia, halla primero el par con P = T·ω, ω = 2πn/60.

Cortante y momento flector

Cortante y momento: V = ΣF a un lado, M = ΣF·d a un lado
Tensión de flexión: σ = M·y/I
Rectángulo: I = bh³/12
Módulo resistente: W = I/y_max
Viga biapoyada, carga uniforme: M_max = wL²/8

Método

Halla las reacciones en los apoyos a partir del equilibrio de toda la viga.
Corta la viga por la sección que necesitas y quédate con un lado.
Esfuerzo cortante: suma de las fuerzas verticales de ese lado. Momento flector: suma de sus momentos respecto al corte.
Para el momento máximo, busca dónde el esfuerzo cortante es cero.

Centroide y momento de inercia

Centroide: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Rectángulo: I = bh³/12
Teorema de Steiner: I = I_c + A·d²
Sección compuesta: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Centro: C = (σ_x + σ_y)/2
Radio: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
Tensiones principales: σ_1,2 = C ± R
Dirección principal: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
Plano inclinado: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

Método

Calcula el centro del círculo de Mohr: C = (σx + σy)/2.
Calcula el radio: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
Las tensiones principales son C ± R y la tensión tangencial máxima en el plano es R.
Los ángulos en el círculo son el doble que los ángulos en el elemento: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

Flecha de la viga

Carga puntual en el centro del vano: δ = PL³/(48EI)
Carga uniforme, viga biapoyada: δ = 5wL⁴/(384EI)
Voladizo, carga en el extremo: δ = PL³/(3EI)
Voladizo, carga uniforme: δ = wL⁴/(8EI)
Superposición: δ = δ₁ + δ₂

Pandeo de pilares

Carga crítica de Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Factor de longitud de pandeo: K = 1 articulado–articulado, 0,5 empotrado–empotrado, 0,7 empotrado–articulado, 2 empotrado–libre
Tensión crítica: σ_cr = P_cr/A
Esbeltez: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Problemas de práctica

1.Tensión y deformación axialMedia

Halla el alargamiento δ de la barra de latón bajo la carga axial.

P = 110 kNd = 20 mmL = 1 mE = 100 GPa

δ = mm

2.Tensión y deformación axialDifícil

La barra escalonada está empotrada en la pared y cargada en su extremo libre. Halla la tensión normal máxima σ_max en la barra.

P = 100 kNtramo 1: Ø35 mm, 0,5 m, cobre (E = 117 GPa)tramo 2: Ø12 mm, 1,5 m, aluminio (E = 70 GPa)

σ_max = MPa

3.Torsión de ejesMedia

Un eje macizo de aluminio está empotrado en la pared y se tuerce con un par T en su extremo libre. Halla el ángulo de torsión φ del extremo libre, en grados.

T = 200 N·md = 40 mmL = 2,5 mG = 26 GPa

φ = °

4.Torsión de ejesDifícil

Un eje hueco debe transmitir 15 kW a 750 rpm. Su diámetro interior debe ser 0,75 veces su diámetro exterior, y la tensión cortante no debe superar 75 MPa. Halla el diámetro exterior mínimo d_o.

P = 15 kWN = 750 rpmd_i/d_o = 0,75τ_allow = 75 MPa

d_o = mm

5.Cortante y momento flectorMedia

Las marcas A a G dividen la viga en seis partes iguales. ¿En qué marca es mayor el momento flector en valor absoluto, positivo o negativo? Haz clic en ella en el diagrama.

50 kN @ 2 m10 kN @ 3 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.Cortante y momento flectorDifícil

Halla el momento flector M_x en la sección x = 3 m desde el apoyo A. Toma positivos los momentos que flexionan la viga hacia abajo y el cortante hacia arriba en la cara izquierda.

L = 4 mP = 40 kN en 3 mw = 6 kN/m de 0 a 4 mx = 3 m

M_x = kN·m

7.Centroide y momento de inerciaMedia

Una placa de 100 mm × 150 mm tiene un agujero circular de diámetro 30 mm en su línea central vertical, con su centro a 60 mm por encima del fondo. Halla el momento de inercia I_x respecto al eje horizontal que pasa por el centroide.

b = 100 mmh = 150 mmd = 30 mmcentro del agujero: y = 60 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.Centroide y momento de inerciaDifícil

Una sección en I soldada tiene un ala superior de 190 × 24 mm, un alma de 370 mm de alto y 14 mm de espesor, y un ala inferior de 290 × 16 mm (ancho × espesor). Halla su momento de inercia I_x respecto al eje horizontal x que pasa por su centroide.

ala superior: 190 × 24 mmalma: 14 × 370 mmala inferior: 290 × 16 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.Círculo de Mohr y transformación de tensionesMedia

Un punto de una placa delgada está en tensión plana: σₓ = 130 MPa, σᵧ = 60 MPa y τₓᵧ = −50 MPa, con σ_z = 0. Halla la tensión cortante máxima absoluta τ_abs en el punto (considerando todos los planos en tres dimensiones).

σ_x = 130 MPaσ_y = 60 MPaτ_xy = −50 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

10.Círculo de Mohr y transformación de tensionesDifícil

Un punto de una pieza cargada tiene σₓ = −80 MPa, σᵧ = 10 MPa y τₓᵧ = 20 MPa (tracción positiva). Halla la tensión normal σ_θ en un plano cuya normal está girada 25° en sentido antihorario respecto al eje x.

σ_x = −80 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = 20 MPaθ = 25°

σ_θ = MPa

11.Flecha de la vigaMedia

Una viga simplemente apoyada soporta una carga puntual P a a = 5 m del apoyo A. Halla la flecha δ_P bajo la carga.

P = 19 kNa = 5 mL = 8 mE = 200 GPa (acero)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.Flecha de la vigaDifícil

Una viga simplemente apoyada soporta una carga uniformemente repartida w y una carga puntual P en el centro del vano. Usando superposición, halla la flecha en el centro δ_max.

P = 23 kNw = 5 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (acero)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.Pandeo de pilaresMedia

Un pilar de longitud L de aluminio está empotrado en la base y articulado arriba. Con la fórmula de Euler, halla su carga crítica de pandeo P_cr.

L = 1 mE = 70 GPa (aluminio)d = 20 mm

P_cr = kN

14.Pandeo de pilaresDifícil

Un pilar de longitud L de aluminio está empotrado en la base y libre arriba. Halla su esbeltez y la tensión crítica de pandeo σ_cr con la fórmula de Euler.

L = 1 mE = 70 GPa (aluminio)d = 25 mm

σ_cr = MPa

3Disoluciones

1.Tensión y deformación axial

Respuesta: δ = 3,501 mm

Ley de Hooke: en el rango elástico σ = E·ε. Junto con σ = P/A y ε = δ/L se obtiene δ = PL/(AE).

Tensión

A = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ = P/A = 110·1000/314,2 = 350,1 MPa

Deformación (ley de Hooke)

E for latón = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 350,1/100000 = 0,003501 = 3501 µε

Alargamiento

δ = ε·L = 0,003501·1000 mm = 3,501 mm

Respuesta

δ = 3,501 mm

2.Tensión y deformación axial

Respuesta: σ_max = 884,2 MPa

Elementos con carga axial: cada tramo prismático cumple δ = PL/(AE). En tramos en serie los alargamientos se suman.

La misma fuerza en ambos tramos

El extremo libre soporta P, así que cada sección de la barra soporta el mismo esfuerzo axial P. Solo cambian las áreas y los materiales.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 103,9 MPa

σ₂ = 884,2 MPa

Tensión máxima

El tramo más delgado tiene menos área, así que soporta la tensión mayor.

σ_max = 884,2 MPa

Respuesta

σ_max = 884,2 MPa

3.Torsión de ejes

Respuesta: φ = 4,384 °

Torsión de ejes circulares: la tensión cortante crece linealmente desde cero en el centro hasta τ_max = T·r/J en la superficie, con J = πd⁴/32 para un eje macizo y J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 para uno hueco. El ángulo de torsión es φ = TL/(GJ) en radianes. Potencia y par se relacionan por P = T·ω.

Momento polar de inercia

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

Ángulo de torsión

φ = TL/(GJ) = 200·1000·2500/(26000·251327) = 0,07652 rad

φ = 0,07652·180/π = 4,384°

Respuesta

φ = 4,384°

4.Torsión de ejes

Respuesta: d_o = 26,67 mm

Par

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 15000/78,54 = 191 N·m

Diámetro exterior a partir de la tensión admisible

T = 191 N·m = 190986 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,75⁴ = 0,6836

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·190986/(π·75·0,6836)) = 26,67 mm

d_i = 0,75·26,67 = 20 mm

Respuesta

d_o = 26,67 mm

Un eje macizo necesitaría d = 23,49 mm; el hueco es algo mayor pero mucho más ligero.

5.Cortante y momento flector

Respuesta: C (x = 2 m)

Mayor momento flector: M cambia de pendiente allí donde cambia el esfuerzo cortante, así que sus picos están donde el esfuerzo cortante cruza el cero: bajo una carga puntual, dentro de una carga distribuida, o sobre un apoyo de un voladizo. En el empotramiento de una ménsula, el momento es máximo en la pared. Compara el valor de M en esos lugares, positivo o negativo.

Reacciones en los apoyos

Toma momentos respecto a un apoyo y luego usa el equilibrio de fuerzas verticales.

R₁ = 38,33 kN, R₂ = 21,67 kN

Momento flector en cada marca

Suma los momentos de todas las fuerzas a un lado del corte. El momento positivo hace que la viga se comba hacia abajo; el negativo, hacia arriba.

M_A = 0, M_B = 38,33, M_C = 76,67 kN·m, M_D = 65, M_E = 43,33, M_F = 21,67, M_G = 0

Respuesta

Marca C: M_C = 76,67 kN·m

6.Cortante y momento flector

Respuesta: M_x = 39 kN·m

Método de las secciones: corta la viga donde quieras conocer los esfuerzos internos y quédate con un lado. El cortante V equilibra las fuerzas verticales de ese lado, y el momento flector M equilibra sus momentos respecto al corte.

Reacciones en los apoyos

Equilibrio de toda la viga.

Resultante de la carga repartida: W = w·ℓ = 6·4 = 24 kN, aplicada en x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 40·3 + 6·4·2

R_B = 168/4 = 42 kN

ΣF_y = 0: R_A = 64 − 42 = 22 kN

Corta en x = 3 m y quédate con la parte izquierda

Solo aparecen las fuerzas a la izquierda del corte. Un tramo de carga repartida actúa como una fuerza en el centro de ese tramo.

M = R_A·x − (cada carga a la izquierda del corte × su distancia al corte)

M_x = 22·3 − 6·3·1,5 = 39 kN·m

Respuesta

M_x = 39 kN·m

7.Centroide y momento de inercia

Respuesta: I_x = 27,92 × 10⁶ mm⁴

Secciones con huecos: trata un hueco como un área negativa. El centroide es ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), con A₁, y₁ para la placa completa y A₂, y₂ para el hueco. Para el momento de inercia (segundo momento de área) respecto al eje centroidal, usa el teorema de los ejes paralelos para cada parte y resta el hueco: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), donde d es la distancia del centroide propio de cada parte al eje que pasa por ȳ. Un rectángulo tiene I_c = bh³/12 y un círculo I_c = πd⁴/64.

Centroide

ȳ = (15000·75 − 706,9·60)/(15000 − 706,9) = 75,74 mm

Placa completa respecto a ȳ

100·150³/12 + 15000·−0,7418² = 28,13 × 10⁶ mm⁴

Agujero respecto a ȳ

π·30⁴/64 + 706,9·−15,74² = 0,2149 × 10⁶ mm⁴

Resta

I_x = 27,92 × 10⁶ mm⁴

Respuesta

I_x = 27,92 × 10⁶ mm⁴

8.Centroide y momento de inercia

Respuesta: I_x = 409,2 × 10⁶ mm⁴

Áreas compuestas: divide la sección en rectángulos. El centroide es la media ponderada por áreas ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. El momento de inercia respecto al eje que pasa por el centroide suma el bh³/12 propio de cada parte y su término de Steiner A·d², donde d es la distancia del centroide de la parte al centroide global. La tensión de flexión es σ = M·y/I.

Divide en tres rectángulos

Mide cada y desde el borde inferior.

ala superior: A = 4560 mm², y = 398 mm

alma: A = 5180 mm², y = 201 mm

ala inferior: A = 4640 mm², y = 8 mm

Centroide

ȳ = (4560·398 + 5180·201 + 4640·8)/14380 = 201,2 mm

Teorema de Steiner

ala superior: 190·24³/12 + 4560·196,8² = 1,768 × 10⁸ mm⁴

alma: 14·370³/12 + 5180·0,1947² = 5,91 × 10⁷ mm⁴

ala inferior: 290·16³/12 + 4640·193,2² = 1,733 × 10⁸ mm⁴

I_x = 1,768 × 10⁸ + 5,91 × 10⁷ + 1,733 × 10⁸

I_x = 4,092 × 10⁸ mm⁴ = 409,2 × 10⁶ mm⁴

Respuesta

I_x = 409,2 × 10⁶ mm⁴

9.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: τ_abs = 78,02 MPa

Transformación de tensiones en estado plano: en un plano girado θ, σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. El círculo de Mohr muestra todos los planos a la vez: su centro está en C = (σₓ + σᵧ)/2 y su radio es R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). Las tensiones principales son C ± R, y la tensión cortante máxima en el plano es R. En tres dimensiones la tensión cortante máxima absoluta es (σ_max − σ_min)/2 entre las tres tensiones principales; en tensión plana la tercera es nula.

Tensiones principales en el plano

C = 95 MPa, R = √(35² + (−50)²) = 61,03 MPa

σ₁ = 156 MPa, σ₂ = 33,97 MPa, σ_z = 0

El mayor de los tres círculos

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(122,1, 156, 33,97)/2 = 78,02 MPa

Respuesta

τ_abs = 78,02 MPa

Aquí manda el círculo fuera del plano: el máximo absoluto es mayor que el máximo en el plano R.

10.Círculo de Mohr y transformación de tensiones

Respuesta: σ_θ = −48,6 MPa

Ecuación de transformación

σ_θ = −35 + −45·0,6428 + 20·0,766 = −48,6 MPa

Respuesta

σ_θ = −48,6 MPa

11.Flecha de la viga

Respuesta: δ_P = 38,72 mm

Flecha de vigas: las flechas se obtienen integrando dos veces la curvatura M/(EI). Los casos habituales están tabulados, por ejemplo PL³/(3EI) para un voladizo con carga en el extremo y 5wL⁴/(384EI) para una viga simplemente apoyada con carga uniforme completa. Las flechas de cargas distintas se suman (superposición).

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 19000 N, a = 5000 mm, b = 3000 mm, L = 8000 mm

EI = 4,6 × 10¹² N·mm²

Flecha bajo la carga

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 19000·5000²·3000²/(3·4,6 × 10¹²·8000) = 38,72 mm

Respuesta

δ_P = 38,72 mm

12.Flecha de la viga

Respuesta: δ_max = 2,529 mm

Unidades coherentes

Trabaja en N y mm: P en N, w en N/mm (kN/m = N/mm), L en mm, E en N/mm² (GPa × 1000), I en mm⁴.

P = 23000 N, w = 5 N/mm, L = 3000 mm, EI = 7,2 × 10¹² N·mm²

Cada carga por separado

δ_P = PL³/(48EI) = 23000·3000³/(48·7,2 × 10¹²) = 1,797 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·3000⁴/(384·7,2 × 10¹²) = 0,7324 mm

Súmalas

δ_max = 1,797 + 0,7324 = 2,529 mm

Respuesta

δ_max = 2,529 mm

13.Pandeo de pilares

Respuesta: P_cr = 11,07 kN

Pandeo de Euler: un pilar esbelto se vuelve inestable en P_cr = π²EI/(KL)², donde KL es la longitud de pandeo: K = 1 para articulado–articulado, 2 para empotrado–libre, 0,7 para empotrado–articulado y 0,5 para empotrado–empotrado. Pandea respecto al eje con el menor I. La fórmula vale para pilares esbeltos, cuya tensión crítica queda por debajo del límite elástico.

Menor momento de inercia

Una sección circular tiene el mismo I respecto a cualquier eje.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

Longitud de pandeo

KL = 0,7·1000 = 700 mm

Carga crítica

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·7854/700² = 11074 N = 11,07 kN

Respuesta

P_cr = 11,07 kN

14.Pandeo de pilares

Respuesta: σ_cr = 6,747 MPa

Menor momento de inercia

Una sección circular tiene el mismo I respecto a cualquier eje.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Radio de giro y esbeltez

A = 490,9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm

KL = 2·1000 = 2000 mm

KL/r = 2000/6,25 = 320

Tensión crítica

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/320² = 6,747 MPa

Respuesta

σ_cr = 6,747 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials